Страница 52 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.12 Из пункта А в пункт С ведут разные дороги (рис. 3.1). Сколькими маршрутами можно проехать из пункта А в пункт С? Найдите самый короткий маршрут.

Рис. 3.1

Сколькими маршрутами можно проехать из пункта А в пункт С?

Чтобы определить общее количество маршрутов из пункта А в пункт С, проанализируем схему дорог. Любой путь из А в С должен пройти через промежуточный пункт P.
Сначала посчитаем количество способов добраться из пункта А в пункт P. Есть два варианта:
1. Через пункт B: маршрут А → B → P.
2. Через пункт D: маршрут А → D → P.
Итого, из А в P ведут 2 различных пути.

Далее посчитаем количество способов добраться из пункта P в пункт C. Также есть два варианта:
1. Через пункт M: маршрут P → M → C.
2. Через пункт N: маршрут P → N → C.
Итого, из P в C ведут 2 различных пути.

Общее количество маршрутов из А в С находится по правилу умножения в комбинаторике: нужно перемножить количество вариантов на каждом независимом участке пути.
$N = (\text{число путей из А в P}) \times (\text{число путей из P в C}) = 2 \times 2 = 4$.
Таким образом, существует 4 различных маршрута из А в С.

Ответ: из пункта А в пункт С можно проехать 4 маршрутами.

Найдите самый короткий маршрут.

Чтобы найти самый короткий маршрут, рассчитаем длину каждого из четырех возможных маршрутов путем сложения длин его участков.

1. Маршрут А → B → P → M → C:
Длина = $37 \text{ км} + 22 \text{ км} + 26 \text{ км} + 17 \text{ км} = 102 \text{ км}$.

2. Маршрут А → B → P → N → C:
Длина = $37 \text{ км} + 22 \text{ км} + 25 \text{ км} + 21 \text{ км} = 105 \text{ км}$.

3. Маршрут А → D → P → M → C:
Длина = $42 \text{ км} + 19 \text{ км} + 26 \text{ км} + 17 \text{ км} = 104 \text{ км}$.

4. Маршрут А → D → P → N → C:
Длина = $42 \text{ км} + 19 \text{ км} + 25 \text{ км} + 21 \text{ км} = 107 \text{ км}$.

Сравнив длины всех маршрутов ($102 \text{ км}$, $105 \text{ км}$, $104 \text{ км}$, $107 \text{ км}$), мы видим, что наименьшая длина составляет 102 км.

Ответ: самый короткий маршрут А → B → P → M → C, его длина составляет 102 км.

РАССУЖДАЕМ (3.13–3.14)

3.13 Сравните значения выражений, не выполняя вычислений:

а) $247 + 979$ и $250 + 980$;

б) $193 + 872$ и $190 + 870$;

в) $245 + 176$ и $250 + 180$;

г) $1288 + 976$ и $1200 + 900$.

Образец. а) Будем рассуждать следующим образом: так как 247 меньше, чем 250, и 979 меньше, чем 980, то и сумма 247 и 979 меньше, чем сумма 250 и 980: $247 + 979 < 250 + 980$.

Рис. 3.1

a) Сравним слагаемые в выражениях $247 + 979$ и $250 + 980$. Так как $247 < 250$ и $979 < 980$, то есть каждое слагаемое первой суммы меньше соответствующего слагаемого второй суммы, то и первая сумма будет меньше второй.

Ответ: $247 + 979 < 250 + 980$.

б) Сравним слагаемые в выражениях $193 + 872$ и $190 + 870$. Так как $193 > 190$ и $872 > 870$, то есть каждое слагаемое первой суммы больше соответствующего слагаемого второй суммы, то и первая сумма будет больше второй.

Ответ: $193 + 872 > 190 + 870$.

в) Сравним слагаемые в выражениях $245 + 176$ и $250 + 180$. Поскольку $245 < 250$ и $176 < 180$, а значит оба слагаемых первой суммы меньше соответствующих слагаемых второй, то и первая сумма меньше второй.

Ответ: $245 + 176 < 250 + 180$.

г) Сравним слагаемые в выражениях $1288 + 976$ и $1200 + 900$. Поскольку $1288 > 1200$ и $976 > 900$, а значит оба слагаемых первой суммы больше соответствующих слагаемых второй, то и первая сумма больше второй.

Ответ: $1288 + 976 > 1200 + 900$.

3.14 Как можно сравнить сумму $375 + 197$ с числом 600, не находя её точного значения? Для этого подберём два «удобных» круглых числа, в сумме дающих 600. Мы видим, что 375 меньше, чем 400, а 197 меньше, чем 200, значит, их сумма меньше, чем $400 + 200$, т. е. 600. Записать это рассуждение можно так: $375 + 197 < 400 + 200 = 600$. Этот приём называют оценкой. Пользуясь оценкой, сравните сумму с данным числом:

а) $289 + 655$ и 1000;

б) $336 + 208$ и 500;

в) $107 + 248$ и 300;

г) $28 + 57 + 49$ и 150.

а) Для сравнения суммы $289 + 655$ с числом $1000$ воспользуемся методом оценки. Округлим каждое слагаемое в большую сторону до ближайшего "удобного" круглого числа.
Число $289$ меньше, чем $300$.
Число $655$ меньше, чем $700$.
Следовательно, их сумма меньше суммы $300$ и $700$:
$289 + 655 < 300 + 700$
Так как $300 + 700 = 1000$, то получаем, что $289 + 655 < 1000$.
Ответ: $289 + 655 < 1000$.

б) Для сравнения суммы $336 + 208$ с числом $500$ оценим слагаемые, округлив их в меньшую сторону.
Число $336$ больше, чем $300$.
Число $208$ больше, чем $200$.
Следовательно, их сумма будет больше, чем сумма $300$ и $200$:
$336 + 208 > 300 + 200$
Так как $300 + 200 = 500$, то получаем, что $336 + 208 > 500$.
Ответ: $336 + 208 > 500$.

в) Для сравнения суммы $107 + 248$ с числом $300$ оценим слагаемые, округлив их в меньшую сторону.
Число $107$ больше, чем $100$.
Число $248$ больше, чем $200$.
Значит, их сумма больше, чем сумма $100$ и $200$:
$107 + 248 > 100 + 200$
Так как $100 + 200 = 300$, то получаем, что $107 + 248 > 300$.
Ответ: $107 + 248 > 300$.

г) Для сравнения суммы $28 + 57 + 49$ с числом $150$ оценим каждое слагаемое, округлив его в большую сторону до ближайшего "удобного" числа, оканчивающегося на ноль.
Число $28$ меньше, чем $30$.
Число $57$ меньше, чем $60$.
Число $49$ меньше, чем $50$.
Следовательно, их сумма будет меньше суммы округленных чисел:
$28 + 57 + 49 < 30 + 60 + 50$
Так как $30 + 60 + 50 = 140$, а $140 < 150$, то и исходная сумма меньше $150$.
Ответ: $28 + 57 + 49 < 150$.

3.15 Иногда при вычислениях полезно сделать предварительную прикидку результата, т. е. найти его приближённое значение. Найдите приближённое значение суммы, округлив слагаемые до старшего разряда, а затем найдите точное значение суммы. На сколько оно отличается от приближённого?

а) $284 + 634$;

б) $5473 + 2614$;

в) $1945 + 726$;

г) $495 + 226$;

д) $705 + 516 + 101$;

е) $1022 + 377 + 999$.

а) $284 + 634$

1. Найдем приближенное значение суммы, округлив слагаемые до старшего разряда (сотен).
$284 \approx 300$ (так как цифра в разряде десятков 8 ≥ 5, округляем в большую сторону).
$634 \approx 600$ (так как цифра в разряде десятков 3 < 5, округляем в меньшую сторону).
Приближенная сумма: $300 + 600 = 900$.
2. Найдем точное значение суммы.
$284 + 634 = 918$.
3. Найдем, на сколько точное значение отличается от приближенного.
$918 - 900 = 18$.
Ответ: Приближенное значение суммы равно 900, точное значение – 918. Точное значение отличается от приближенного на 18.

б) $5473 + 2614$

1. Найдем приближенное значение суммы, округлив слагаемые до старшего разряда (тысяч).
$5473 \approx 5000$ (так как цифра в разряде сотен 4 < 5, округляем в меньшую сторону).
$2614 \approx 3000$ (так как цифра в разряде сотен 6 ≥ 5, округляем в большую сторону).
Приближенная сумма: $5000 + 3000 = 8000$.
2. Найдем точное значение суммы.
$5473 + 2614 = 8087$.
3. Найдем, на сколько точное значение отличается от приближенного.
$8087 - 8000 = 87$.
Ответ: Приближенное значение суммы равно 8000, точное значение – 8087. Точное значение отличается от приближенного на 87.

в) $1945 + 726$

1. Найдем приближенное значение суммы, округлив каждое слагаемое до его старшего разряда.
$1945 \approx 2000$ (округляем до тысяч, так как цифра в разряде сотен 9 ≥ 5).
$726 \approx 700$ (округляем до сотен, так как цифра в разряде десятков 2 < 5).
Приближенная сумма: $2000 + 700 = 2700$.
2. Найдем точное значение суммы.
$1945 + 726 = 2671$.
3. Найдем, на сколько точное значение отличается от приближенного.
$2700 - 2671 = 29$.
Ответ: Приближенное значение суммы равно 2700, точное значение – 2671. Точное значение отличается от приближенного на 29.

г) $495 + 226$

1. Найдем приближенное значение суммы, округлив слагаемые до старшего разряда (сотен).
$495 \approx 500$ (так как цифра в разряде десятков 9 ≥ 5).
$226 \approx 200$ (так как цифра в разряде десятков 2 < 5).
Приближенная сумма: $500 + 200 = 700$.
2. Найдем точное значение суммы.
$495 + 226 = 721$.
3. Найдем, на сколько точное значение отличается от приближенного.
$721 - 700 = 21$.
Ответ: Приближенное значение суммы равно 700, точное значение – 721. Точное значение отличается от приближенного на 21.

д) $705 + 516 + 101$

1. Найдем приближенное значение суммы, округлив слагаемые до старшего разряда (сотен).
$705 \approx 700$ (так как цифра в разряде десятков 0 < 5).
$516 \approx 500$ (так как цифра в разряде десятков 1 < 5).
$101 \approx 100$ (так как цифра в разряде десятков 0 < 5).
Приближенная сумма: $700 + 500 + 100 = 1300$.
2. Найдем точное значение суммы.
$705 + 516 + 101 = 1322$.
3. Найдем, на сколько точное значение отличается от приближенного.
$1322 - 1300 = 22$.
Ответ: Приближенное значение суммы равно 1300, точное значение – 1322. Точное значение отличается от приближенного на 22.

е) $1022 + 377 + 999$

1. Найдем приближенное значение суммы, округлив каждое слагаемое до его старшего разряда.
$1022 \approx 1000$ (округляем до тысяч, так как цифра в разряде сотен 0 < 5).
$377 \approx 400$ (округляем до сотен, так как цифра в разряде десятков 7 ≥ 5).
$999 \approx 1000$ (округляем до сотен, так как цифра в разряде десятков 9 ≥ 5).
Приближенная сумма: $1000 + 400 + 1000 = 2400$.
2. Найдем точное значение суммы.
$1022 + 377 + 999 = 2398$.
3. Найдем, на сколько точное значение отличается от приближенного.
$2400 - 2398 = 2$.
Ответ: Приближенное значение суммы равно 2400, точное значение – 2398. Точное значение отличается от приближенного на 2.

3.16 Книгохранилище библиотеки занимает три комнаты. В одной комнате 8200 книг, в другой – 12400 книг, а в третьей – 13500 книг. Сколько примерно тысяч книг находится в книгохранилище библиотеки? Выберите правильный ответ.

1) 108 тыс.

2) 341 тыс.

3) 23 тыс.

4) 34 тыс.

Чтобы определить, сколько примерно тысяч книг находится в книгохранилище, необходимо выполнить два действия: сначала найти общее количество книг, а затем округлить результат до тысяч.

1. Найдем общее количество книг, сложив их число во всех трех комнатах:

В первой комнате — 8 200 книг.

Во второй комнате — 12 400 книг.

В третьей комнате — 13 500 книг.

Общее количество книг равно сумме:

$8200 + 12400 + 13500 = 34100$ книг.

2. Теперь выразим полученное количество в тысячах. Для этого разделим общее число книг на 1000:

$34100 \div 1000 = 34.1$ тыс. книг.

Вопрос требует указать примерное количество тысяч книг. Значение 34.1 тыс. наиболее близко к целому числу 34 тыс.

Среди предложенных вариантов:

1. 108 тыс.
2. 341 тыс.
3. 23 тыс.
4. 34 тыс.

Правильным ответом является вариант под номером 4.

Ответ: 4) 34 тыс.

3.17 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

а) Представьте себе, что вы находитесь в магазине электротоваров и хотите быстро прикинуть, в какую сумму обойдётся покупка плеера за 1490 р. и музыкального диска за 199 р. Замените данные числа близкими круглыми числами и определите, сколько примерно денег потребуется на эту покупку.

б) Теперь вы в продуктовом магазине покупаете овощи и фрукты. Пакет выдерживает груз не более 5 кг. Порвётся ли пакет, если в нём переносить вместе 950 г помидоров, 1 кг 30 г огурцов, 1 кг 700 г яблок, или для этого потребуется ещё один пакет? Ответьте на вопрос, выполнив прикидку.

а) Чтобы быстро прикинуть общую стоимость покупки, необходимо заменить данные числа близкими к ним круглыми числами. Это упростит сложение в уме.

1. Стоимость плеера 1490 рублей. Это число очень близко к 1500. Округлим его: $1490 \approx 1500$ р.

2. Стоимость музыкального диска 199 рублей. Это число очень близко к 200. Округлим его: $199 \approx 200$ р.

3. Теперь сложим полученные круглые числа, чтобы получить примерную сумму покупки: $1500 + 200 = 1700$ р.

Таким образом, на покупку потребуется примерно 1700 рублей.

Ответ: примерно 1700 р.

б) Чтобы определить, порвётся ли пакет, нужно найти общую массу всех продуктов и сравнить её с максимальной грузоподъёмностью пакета, которая составляет 5 кг. Для этого сначала приведём все массы к одной единице измерения, например, к килограммам, зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

1. Масса помидоров: $950 \text{ г} = 0,95 \text{ кг}$.

2. Масса огурцов: $1 \text{ кг } 30 \text{ г} = 1 + \frac{30}{1000} \text{ кг} = 1,03 \text{ кг}$.

3. Масса яблок: $1 \text{ кг } 700 \text{ г} = 1 + \frac{700}{1000} \text{ кг} = 1,7 \text{ кг}$.

Теперь сложим все массы, чтобы найти общий вес продуктов:

$0,95 \text{ кг} + 1,03 \text{ кг} + 1,7 \text{ кг} = 3,68 \text{ кг}$.

Сравним полученный результат с максимальной грузоподъёмностью пакета:

$3,68 \text{ кг} < 5 \text{ кг}$.

Общая масса продуктов меньше максимальной грузоподъёмности пакета. Следовательно, пакет не порвётся.

Ответ: пакет не порвётся, второй пакет не потребуется.