Страница 59 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.56 Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 80 $км/ч$ за 3 ч. Сколько суток потребуется, чтобы пройти это расстояние пешком со скоростью 5 $км/ч$?

1. Найдём расстояние между двумя городами.

Для этого воспользуемся формулой расстояния: расстояние равно произведению скорости на время. $S = v \cdot t$.

Скорость автомобиля ($v_{авт}$) равна 80 км/ч, а время в пути ($t_{авт}$) — 3 часа.

Рассчитаем расстояние:

$S = 80 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 240 \text{ км}$.

Таким образом, расстояние между городами составляет 240 км.

2. Найдём время, которое потребуется, чтобы пройти это расстояние пешком.

Для этого воспользуемся формулой времени: время равно частному от деления расстояния на скорость. $t = S / v$.

Расстояние ($S$) нам известно — 240 км, а скорость пешехода ($v_{пеш}$) — 5 км/ч.

Рассчитаем время:

$t_{пеш} = 240 \text{ км} / 5 \text{ км/ч} = 48 \text{ ч}$.

Чтобы пройти это расстояние пешком, потребуется 48 часов.

3. Переведём полученное время из часов в сутки.

Мы знаем, что в одних сутках 24 часа. Чтобы узнать, сколько суток составят 48 часов, нужно разделить 48 на 24.

$48 \text{ ч} / 24 \text{ ч/сутки} = 2 \text{ суток}$.

Ответ: 2 суток.

3.57 Поезд проехал 80 км за 1 ч 20 мин. Сколько километров проедет поезд за 35 мин при той же скорости?

Для решения задачи сначала необходимо найти скорость поезда. Чтобы это сделать, переведем время в пути в одну единицу измерения, например, в минуты.

В одном часе 60 минут, поэтому:

$1 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 60 \text{ мин } + 20 \text{ мин } = 80 \text{ мин }$

Теперь мы знаем, что поезд проехал 80 км за 80 минут. Найдем его скорость (v) по формуле $v = \frac{S}{t}$, где S — расстояние, а t — время.

$v = \frac{80 \text{ км}}{80 \text{ мин}} = 1 \text{ км/мин}$

Скорость поезда составляет 1 километр в минуту. Теперь найдем, какое расстояние (S) он проедет за 35 минут при той же скорости по формуле $S = v \cdot t$.

$S = 1 \text{ км/мин} \cdot 35 \text{ мин} = 35 \text{ км}$

Ответ: 35 км.

3.58 Прочитайте задачу и решите её, используя предложенный план.

Велосипедист выехал с туристической базы на станцию, расстояние до которой 6 км. Какое расстояние останется ему проехать через 24 мин, если он будет ехать со скоростью 12 км/ч?

1) Рассмотрите рисунок 3.3, на котором схематически изображено условие задачи.

Какой отрезок изображает всё расстояние; расстояние, которое проехал велосипедист за 24 мин; расстояние, которое осталось проехать?

2) Узнайте, сколько метров проезжает турист за одну минуту.

3) Определите, сколько метров проехал велосипедист за 24 мин.

4) Определите расстояние (в метрах), которое ему осталось проехать, и выразите его в километрах и метрах.

6 км

? км ? км

A

C

B

Турбаза

Станция

24 мин

Рис. 3.3

1) Рассмотрите рисунок 3.3, на котором схематически изображено условие задачи. Какой отрезок изображает всё расстояние; расстояние, которое проехал велосипедист за 24 мин; расстояние, которое осталось проехать?

На схематическом рисунке 3.3 отрезок AB изображает всё расстояние от турбазы до станции (6 км). Отрезок AC изображает расстояние, которое велосипедист проехал за 24 минуты. Отрезок CB изображает расстояние, которое ему осталось проехать.

Ответ: Всё расстояние — отрезок AB; расстояние, которое проехал велосипедист за 24 мин — отрезок AC; расстояние, которое осталось проехать — отрезок CB.

2) Узнайте, сколько метров проезжает турист за одну минуту.

Скорость велосипедиста равна 12 км/ч. Чтобы найти, сколько метров он проезжает за минуту, нужно перевести скорость в метры в минуту. В 1 километре 1000 метров, а в 1 часе 60 минут.

Сначала переведем километры в метры:

$12 \text{ км/ч} = 12 \cdot 1000 \text{ м/ч} = 12000 \text{ м/ч}$

Теперь разделим это расстояние на количество минут в часе:

$12000 \text{ м} / 60 \text{ мин} = 200 \text{ м/мин}$

Ответ: За одну минуту велосипедист проезжает 200 метров.

3) Определите, сколько метров проехал велосипедист за 24 мин.

Чтобы найти расстояние, нужно скорость (в м/мин) умножить на время (в мин). Велосипедист ехал 24 минуты со скоростью 200 м/мин.

$S = v \cdot t$

$200 \text{ м/мин} \cdot 24 \text{ мин} = 4800 \text{ м}$

Ответ: За 24 минуты велосипедист проехал 4800 метров.

4) Определите расстояние (в метрах), которое ему осталось проехать, и выразите его в километрах и метрах.

Общее расстояние от турбазы до станции составляет 6 км. Переведем его в метры:

$6 \text{ км} = 6 \cdot 1000 \text{ м} = 6000 \text{ м}$

Чтобы найти оставшееся расстояние, нужно из общего расстояния вычесть пройденное:

$6000 \text{ м} - 4800 \text{ м} = 1200 \text{ м}$

Теперь выразим полученное расстояние в километрах и метрах, зная, что 1 км = 1000 м:

$1200 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 200 \text{ м} = 1 \text{ км} \ 200 \text{ м}$

Ответ: Велосипедисту осталось проехать 1200 м, что составляет 1 км 200 м.

3.59 Изобразите схематически с помощью рисунка условие задачи, спланируйте ход решения и решите её:

а) Пётр идёт от дома до станции метро, расстояние до которой равно 1 км 700 м. Через 16 мин после выхода ему остаётся пройти 340 м. Сколько минут занимает у Петра весь путь от дома до метро?

б) Андрей идёт от дома до станции метро. Через 8 мин после выхода ему остаётся пройти 560 м, через 12 мин – 240 м. Сколько минут занимает у Андрея вся дорога и чему равно расстояние от дома до станции?

а)

Схематическое изображение условия:
Представим путь Петра в виде отрезка прямой, где начальная точка — «Дом», а конечная — «Метро». Общая длина этого отрезка составляет 1 км 700 м. Через 16 минут Пётр находится в некоторой точке на этом отрезке, и расстояние от этой точки до «Метро» равно 340 м.

План решения:
1. Переведём общее расстояние в метры для удобства вычислений.
2. Найдём расстояние, которое Пётр уже прошёл за 16 минут.
3. Вычислим скорость движения Петра (предполагая, что она постоянна).
4. Зная скорость и общее расстояние, найдём общее время, необходимое для всего пути.

Решение:
1. Общее расстояние от дома до метро $S_{общ}$ равно:
$S_{общ} = 1 \text{ км} \ 700 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 700 \text{ м} = 1700 \text{ м}$.
2. Через 16 минут Петру осталось пройти $S_{ост} = 340 \text{ м}$. Значит, он уже прошёл расстояние $S_{пройд}$:
$S_{пройд} = S_{общ} - S_{ост} = 1700 \text{ м} - 340 \text{ м} = 1360 \text{ м}$.
3. Найдём скорость Петра ($v$), разделив пройденное им расстояние на затраченное время $t = 16 \text{ мин}$:
$v = \frac{S_{пройд}}{t} = \frac{1360 \text{ м}}{16 \text{ мин}} = 85 \text{ м/мин}$.
4. Теперь, зная скорость, мы можем найти общее время в пути $T_{общ}$, разделив общее расстояние на эту скорость:
$T_{общ} = \frac{S_{общ}}{v} = \frac{1700 \text{ м}}{85 \text{ м/мин}} = 20 \text{ мин}$.

Ответ: 20 минут занимает у Петра весь путь от дома до метро.

б)

Схематическое изображение условия:
Путь Андрея также представим в виде отрезка «Дом» — «Метро». На этом пути есть две контрольные точки:
- Положение Андрея через 8 минут после выхода, откуда до «Метро» остаётся 560 м.
- Положение Андрея через 12 минут после выхода, откуда до «Метро» остаётся 240 м.

План решения:
1. Найдём, какое расстояние прошёл Андрей за промежуток времени с 8-й по 12-ю минуту.
2. Вычислим скорость движения Андрея.
3. Зная скорость, найдём общее расстояние от дома до станции.
4. Зная общее расстояние и скорость, найдём общее время в пути.

Решение:
1. Найдём, какое расстояние прошёл Андрей и сколько времени он на это потратил между двумя отметками.
Промежуток времени: $\Delta t = 12 \text{ мин} - 8 \text{ мин} = 4 \text{ мин}$.
За это время оставшееся расстояние уменьшилось, значит, он прошёл:
$\Delta S = 560 \text{ м} - 240 \text{ м} = 320 \text{ м}$.
2. Вычислим скорость Андрея ($v$), которая, как мы предполагаем, постоянна:
$v = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{320 \text{ м}}{4 \text{ мин}} = 80 \text{ м/мин}$.
3. Теперь найдём полное расстояние до станции ($S_{общ}$). Через 8 минут ($t_1 = 8 \text{ мин}$) ему оставалось пройти $S_{ост_1} = 560 \text{ м}$. Узнаем, сколько он прошёл за эти 8 минут:
$S_{пройд_1} = v \times t_1 = 80 \text{ м/мин} \times 8 \text{ мин} = 640 \text{ м}$.
Полное расстояние равно сумме пройденного и оставшегося пути:
$S_{общ} = S_{пройд_1} + S_{ост_1} = 640 \text{ м} + 560 \text{ м} = 1200 \text{ м}$.
4. Найдём общее время в пути ($T_{общ}$), разделив общее расстояние на скорость:
$T_{общ} = \frac{S_{общ}}{v} = \frac{1200 \text{ м}}{80 \text{ м/мин}} = 15 \text{ мин}$.

Ответ: вся дорога у Андрея занимает 15 минут, а расстояние от дома до станции равно 1200 м.