Страница 64 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ (3.77–3.79)

3.77 Переставьте всеми возможными способами знаки действий в выражении $25 + 7 \cdot 3 - 2$ и найдите значение каждого выражения.

В выражении $25 \_ 7 \_ 3 \_ 2$ необходимо расставить знаки действий +, ·, - всеми возможными способами. Всего существует 6 уникальных перестановок этих знаков. Ниже приведены все варианты выражений и их значения, вычисленные с соблюдением порядка действий (сначала умножение, затем сложение и вычитание).

1. Знаки +, ·, -

Выражение: $25 + 7 \cdot 3 - 2$.

Сначала выполняем умножение, затем сложение и вычитание слева направо: $25 + (7 \cdot 3) - 2 = 25 + 21 - 2 = 46 - 2 = 44$.

Ответ: 44

2. Знаки +, -, ·

Выражение: $25 + 7 - 3 \cdot 2$.

Сначала выполняем умножение, затем сложение и вычитание слева направо: $25 + 7 - (3 \cdot 2) = 25 + 7 - 6 = 32 - 6 = 26$.

Ответ: 26

3. Знаки ·, +, -

Выражение: $25 \cdot 7 + 3 - 2$.

Сначала выполняем умножение, затем сложение и вычитание слева направо: $(25 \cdot 7) + 3 - 2 = 175 + 3 - 2 = 178 - 2 = 176$.

Ответ: 176

4. Знаки ·, -, +

Выражение: $25 \cdot 7 - 3 + 2$.

Сначала выполняем умножение, затем вычитание и сложение слева направо: $(25 \cdot 7) - 3 + 2 = 175 - 3 + 2 = 172 + 2 = 174$.

Ответ: 174

5. Знаки -, +, ·

Выражение: $25 - 7 + 3 \cdot 2$.

Сначала выполняем умножение, затем вычитание и сложение слева направо: $25 - 7 + (3 \cdot 2) = 25 - 7 + 6 = 18 + 6 = 24$.

Ответ: 24

6. Знаки -, ·, +

Выражение: $25 - 7 \cdot 3 + 2$.

Сначала выполняем умножение, затем вычитание и сложение слева направо: $25 - (7 \cdot 3) + 2 = 25 - 21 + 2 = 4 + 2 = 6$.

Ответ: 6

3.78 Расставьте в выражении $2 \cdot 2 - 2 : 2$ скобки всеми возможными способами и найдите значение каждого выражения.

Данное выражение: $2 \cdot 2 - 2 : 2$. Расставим скобки всеми возможными способами, которые меняют порядок действий, и найдем значения полученных выражений. Также вычислим значение исходного выражения без скобок.

1) Без скобок (стандартный порядок действий)
По правилам порядка выполнения арифметических операций, сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.
$2 \cdot 2 - 2 : 2 = 4 - 1 = 3$
Такой же результат получится, если поставить скобки, не меняющие порядок действий: $(2 \cdot 2) - 2 : 2$ или $2 \cdot 2 - (2 : 2)$.
Ответ: 3

2) Скобки вокруг первых трех чисел
Рассмотрим выражение $(2 \cdot 2 - 2) : 2$.
Сначала выполняем действия в скобках: сначала умножение, потом вычитание. Затем выполняем деление.
$(2 \cdot 2 - 2) : 2 = (4 - 2) : 2 = 2 : 2 = 1$
Ответ: 1

3) Скобки вокруг вычитания
Рассмотрим выражение $2 \cdot (2 - 2) : 2$.
Сначала выполняем действие в скобках, а затем умножение и деление слева направо.
$2 \cdot (2 - 2) : 2 = 2 \cdot 0 : 2 = 0 : 2 = 0$
Ответ: 0

4) Скобки вокруг последних трех чисел
Рассмотрим выражение $2 \cdot (2 - 2 : 2)$.
Сначала выполняем действия в скобках: сначала деление, потом вычитание. Затем выполняем умножение.
$2 \cdot (2 - 2 : 2) = 2 \cdot (2 - 1) = 2 \cdot 1 = 2$
Ответ: 2

3.79 В выражении $3 \cdot 3 + 3 : 3 - 3$ расставьте скобки так, чтобы в результате получилось число:

а) 3;

б) 9;

в) 1.

а) Чтобы в результате выражения $3 \cdot 3 + 3 : 3 - 3$ получилось число 3, необходимо расставить скобки следующим образом: $3 \cdot (3 + 3) : 3 - 3$.
Проверим правильность, выполнив вычисления в соответствии с порядком действий:

1. Сначала выполняется действие в скобках: $3 + 3 = 6$.
2. Затем умножение: $3 \cdot 6 = 18$.
3. Далее деление: $18 : 3 = 6$.
4. В конце вычитание: $6 - 3 = 3$.
Полученное выражение: $3 \cdot (3 + 3) : 3 - 3 = 3 \cdot 6 : 3 - 3 = 18 : 3 - 3 = 6 - 3 = 3$.

Ответ: $3 \cdot (3 + 3) : 3 - 3$.

б) Чтобы в результате получилось число 9, скобки нужно расставить так: $3 \cdot (3 + 3 : 3) - 3$.
Проверим правильность, выполнив вычисления в соответствии с порядком действий:

1. Сначала выполняются действия в скобках, при этом деление имеет приоритет над сложением: $3 : 3 = 1$.
2. Затем сложение в скобках: $3 + 1 = 4$.
3. Далее умножение: $3 \cdot 4 = 12$.
4. В конце вычитание: $12 - 3 = 9$.
Полученное выражение: $3 \cdot (3 + 3 : 3) - 3 = 3 \cdot (3 + 1) - 3 = 3 \cdot 4 - 3 = 12 - 3 = 9$.

Ответ: $3 \cdot (3 + 3 : 3) - 3$.

в) Чтобы в результате получилось число 1, скобки нужно расставить так: $(3 \cdot 3 + 3) : 3 - 3$.
Проверим правильность, выполнив вычисления в соответствии с порядком действий:

1. Сначала выполняются действия в скобках, при этом умножение имеет приоритет над сложением: $3 \cdot 3 = 9$.
2. Затем сложение в скобках: $9 + 3 = 12$.
3. Далее деление: $12 : 3 = 4$.
4. В конце вычитание: $4 - 3 = 1$.
Полученное выражение: $(3 \cdot 3 + 3) : 3 - 3 = (9 + 3) : 3 - 3 = 12 : 3 - 3 = 4 - 3 = 1$.

Ответ: $(3 \cdot 3 + 3) : 3 - 3$.

3.80 Выполните действия:

а) $97 + 13662 : 27 + 36944 - 43 \cdot 809;$

б) $988 + 1530 : (12 \cdot 6 - 38) \cdot 15;$

в) $4080 - (352719 - 57837) : 98 + 307 \cdot 107;$

г) $40 \cdot (207 \cdot 54 - 793) - 270000 : 18;$

д) $215 \cdot (368 - 274) + 68 \cdot (127 + 128);$

е) $(8222 - 4781) : 37 - (1519 - 637) : 42.$

а) $97 + 13662 : 27 + 36944 - 43 \cdot 809$
Выполним действия в соответствии с порядком операций: сначала деление и умножение, затем сложение и вычитание слева направо.
1. Выполним деление: $13662 : 27 = 506$
2. Выполним умножение: $43 \cdot 809 = 34787$
3. Теперь выражение выглядит так: $97 + 506 + 36944 - 34787$
4. Выполним сложение: $97 + 506 = 603$
5. Продолжим сложение: $603 + 36944 = 37547$
6. Выполним вычитание: $37547 - 34787 = 2760$
Ответ: 2760

б) $988 + 1530 : (12 \cdot 6 - 38) \cdot 15$
Сначала выполняем действия в скобках, затем деление и умножение слева направо, и в конце сложение.
1. Действие в скобках (умножение): $12 \cdot 6 = 72$
2. Действие в скобках (вычитание): $72 - 38 = 34$
3. Теперь выражение выглядит так: $988 + 1530 : 34 \cdot 15$
4. Выполним деление: $1530 : 34 = 45$
5. Выполним умножение: $45 \cdot 15 = 675$
6. Выполним сложение: $988 + 675 = 1663$
Ответ: 1663

в) $4080 - (352719 - 57837) : 98 + 307 \cdot 107$
Сначала выполняем действие в скобках, затем деление и умножение, и в конце вычитание и сложение слева направо.
1. Действие в скобках: $352719 - 57837 = 294882$
2. Теперь выражение выглядит так: $4080 - 294882 : 98 + 307 \cdot 107$
3. Выполним деление: $294882 : 98 = 3009$
4. Выполним умножение: $307 \cdot 107 = 32849$
5. Теперь выражение выглядит так: $4080 - 3009 + 32849$
6. Выполним вычитание: $4080 - 3009 = 1071$
7. Выполним сложение: $1071 + 32849 = 33920$
Ответ: 33920

г) $40 \cdot (207 \cdot 54 - 793) - 270000 : 18$
Сначала выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце вычитание.
1. Действие в скобках (умножение): $207 \cdot 54 = 11178$
2. Действие в скобках (вычитание): $11178 - 793 = 10385$
3. Теперь выражение выглядит так: $40 \cdot 10385 - 270000 : 18$
4. Выполним умножение: $40 \cdot 10385 = 415400$
5. Выполним деление: $270000 : 18 = 15000$
6. Выполним вычитание: $415400 - 15000 = 400400$
Ответ: 400400

д) $215 \cdot (368 - 274) + 68 \cdot (127 + 128)$
Сначала выполняем действия в скобках, затем умножение, и в конце сложение.
1. Действие в первой скобке: $368 - 274 = 94$
2. Действие во второй скобке: $127 + 128 = 255$
3. Теперь выражение выглядит так: $215 \cdot 94 + 68 \cdot 255$
4. Выполним первое умножение: $215 \cdot 94 = 20210$
5. Выполним второе умножение: $68 \cdot 255 = 17340$
6. Выполним сложение: $20210 + 17340 = 37550$
Ответ: 37550

е) $(8222 - 4781) : 37 - (1519 - 637) : 42$
Сначала выполняем действия в скобках, затем деление, и в конце вычитание.
1. Действие в первой скобке: $8222 - 4781 = 3441$
2. Действие во второй скобке: $1519 - 637 = 882$
3. Теперь выражение выглядит так: $3441 : 37 - 882 : 42$
4. Выполним первое деление: $3441 : 37 = 93$
5. Выполним второе деление: $882 : 42 = 21$
6. Выполним вычитание: $93 - 21 = 72$
Ответ: 72

3.81 Найдите значение выражения:

а) $ (410 + 96) \cdot (1010 - 31248 : 62) - 170 \cdot 1500; $

б) $ (174208 - 208 \cdot (563 + 44)) : 333 + 2079 : 77; $

в) $ (18 \cdot 331 - (46348 + 67892) : 21) : 14 + 143 \cdot 26; $

г) $ (201 \cdot (400100 - 397964) + 5280) : 24 - 8154. $

а) $(410 + 96) \cdot (1010 - 31248 : 62) - 170 \cdot 1500$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание.

1. Выполним сложение в первых скобках: $410 + 96 = 506$.

2. Во вторых скобках сначала выполним деление: $31248 : 62 = 504$.

3. Затем выполним вычитание во вторых скобках: $1010 - 504 = 506$.

4. Теперь выражение выглядит так: $506 \cdot 506 - 170 \cdot 1500$. Выполним умножения слева направо.

5. Первое умножение: $506 \cdot 506 = 256036$.

6. Второе умножение: $170 \cdot 1500 = 255000$.

7. Выполним вычитание: $256036 - 255000 = 1036$.

Ответ: 1036.

б) $(174208 - 208 \cdot (563 + 44)) : 333 + 2079 : 77$

Решим по действиям, начиная с самых внутренних скобок.

1. Сложение во внутренних скобках: $563 + 44 = 607$.

2. Умножение внутри больших скобок: $208 \cdot 607 = 126256$.

3. Вычитание внутри больших скобок: $174208 - 126256 = 47952$.

4. Теперь выражение имеет вид: $47952 : 333 + 2079 : 77$. Выполним деления.

5. Первое деление: $47952 : 333 = 144$.

6. Второе деление: $2079 : 77 = 27$.

7. Выполним сложение: $144 + 27 = 171$.

Ответ: 171.

в) $(18 \cdot 331 - (46348 + 67892) : 21) : 14 + 143 \cdot 26$

Решим по действиям, соблюдая порядок операций.

1. Сложение во внутренних скобках: $46348 + 67892 = 114240$.

2. Деление результата на 21: $114240 : 21 = 5440$.

3. Умножение в больших скобках: $18 \cdot 331 = 5958$.

4. Вычитание в больших скобках: $5958 - 5440 = 518$.

5. Теперь выражение выглядит так: $518 : 14 + 143 \cdot 26$. Выполним деление и умножение.

6. Деление: $518 : 14 = 37$.

7. Умножение: $143 \cdot 26 = 3718$.

8. Выполним сложение: $37 + 3718 = 3755$.

Ответ: 3755.

г) $(201 \cdot (400100 - 397964) + 5280) : 24 - 8154$

Решим по действиям, начиная с внутренних скобок.

1. Вычитание во внутренних скобках: $400100 - 397964 = 2136$.

2. Умножение внутри больших скобок: $201 \cdot 2136 = 429336$.

3. Сложение внутри больших скобок: $429336 + 5280 = 434616$.

4. Теперь выражение имеет вид: $434616 : 24 - 8154$. Выполним деление.

5. Деление: $434616 : 24 = 18109$.

6. Выполним вычитание: $18109 - 8154 = 9955$.

Ответ: 9955.

3.82 Кусок проволоки длиной 110 см надо разрезать на куски длиной 15 см и 10 см так, чтобы не осталось обрезков. Как вы считаете, можно ли выполнить поставленную задачу, если будет отрезано 6 кусков длиной 15 см? 5 кусков длиной 15 см? Каким может быть число 15-сантиметровых кусков? Найдите все решения задачи и запишите их в виде числовых выражений.

Решите задачу (3.83-3.85).

Пусть $x$ — количество кусков проволоки длиной 15 см, а $y$ — количество кусков длиной 10 см. Так как общая длина проволоки составляет 110 см и ее нужно разрезать без остатка, мы можем составить уравнение: $15x + 10y = 110$ где $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами ($x \ge 0, y \ge 0$). Для удобства разделим обе части уравнения на 5: $3x + 2y = 22$

Можно ли выполнить задачу, если будет отрезано 6 кусков длиной 15 см?

Если $x = 6$, подставим это значение в уравнение: $3 \cdot 6 + 2y = 22$ $18 + 2y = 22$ $2y = 22 - 18$ $2y = 4$ $y = 2$
Мы получили целое неотрицательное число для $y$. Это означает, что можно отрезать 6 кусков по 15 см и 2 куска по 10 см.
Ответ: Да, можно.

Можно ли выполнить задачу, если будет отрезано 5 кусков длиной 15 см?

Если $x = 5$, подставим это значение в уравнение: $3 \cdot 5 + 2y = 22$ $15 + 2y = 22$ $2y = 22 - 15$ $2y = 7$ $y = 3.5$
Количество кусков не может быть дробным числом, поэтому такое разрезание невозможно.
Ответ: Нет, нельзя.

Каким может быть число 15-сантиметровых кусков?

Нам нужно найти все возможные целые неотрицательные значения $x$, для которых $y$ также будет целым и неотрицательным. Из уравнения $3x + 2y = 22$ выразим $y$: $y = \frac{22 - 3x}{2}$
Чтобы $y$ было целым числом, выражение $(22 - 3x)$ должно быть чётным. Так как 22 — чётное, то и $3x$ должно быть чётным. Это возможно, только если $x$ — чётное число.
Кроме того, должно выполняться условие $y \ge 0$, откуда $22 - 3x \ge 0$, то есть $3x \le 22$ или $x \le 7\frac{1}{3}$.
Таким образом, $x$ должен быть чётным неотрицательным целым числом, не превосходящим $7\frac{1}{3}$.
Ответ: Число 15-сантиметровых кусков может быть 0, 2, 4 или 6.

Найдите все решения задачи и запишите их в виде числовых выражений.

Для каждого возможного значения $x$ (0, 2, 4, 6) находим соответствующее значение $y$ и составляем числовое выражение.

• Если $x=0$: $y = \frac{22 - 3 \cdot 0}{2} = 11$. Выражение: $0 \cdot 15 + 11 \cdot 10 = 110$.
• Если $x=2$: $y = \frac{22 - 3 \cdot 2}{2} = \frac{16}{2} = 8$. Выражение: $2 \cdot 15 + 8 \cdot 10 = 110$.
• Если $x=4$: $y = \frac{22 - 3 \cdot 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$. Выражение: $4 \cdot 15 + 5 \cdot 10 = 110$.
• Если $x=6$: $y = \frac{22 - 3 \cdot 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Выражение: $6 \cdot 15 + 2 \cdot 10 = 110$.

Ответ:
$0 \cdot 15 + 11 \cdot 10 = 110$
$2 \cdot 15 + 8 \cdot 10 = 110$
$4 \cdot 15 + 5 \cdot 10 = 110$
$6 \cdot 15 + 2 \cdot 10 = 110$

3.83 а) Бригада должна была выпустить 2400 станков за 30 дней. Но она изготавливала на 20 станков в день больше, чем планировала. На сколько дней раньше был выполнен этот заказ?

б) За 4 ч автомобиль должен был проехать 240 км. Но он увеличил скорость на 20 км/ч. На сколько меньше времени он потратил на дорогу?

а)

1. Сначала найдем плановую производительность бригады, то есть сколько станков в день они должны были выпускать по плану. Для этого общее количество станков разделим на количество дней:
$2400 \text{ станков} \div 30 \text{ дней} = 80 \text{ станков/день}$

2. Теперь найдем фактическую производительность бригады. По условию, она была на 20 станков в день больше, чем плановая:
$80 \text{ станков/день} + 20 \text{ станков/день} = 100 \text{ станков/день}$

3. Зная фактическую производительность, найдем, за сколько дней бригада выполнила весь заказ:
$2400 \text{ станков} \div 100 \text{ станков/день} = 24 \text{ дня}$

4. Чтобы узнать, на сколько дней раньше был выполнен заказ, вычтем из планового времени фактическое:
$30 \text{ дней} - 24 \text{ дня} = 6 \text{ дней}$

Ответ: заказ был выполнен на 6 дней раньше.

б)

1. Сначала найдем плановую скорость автомобиля. Для этого разделим расстояние на запланированное время:
$240 \text{ км} \div 4 \text{ ч} = 60 \text{ км/ч}$

2. Теперь найдем фактическую скорость автомобиля, которая, по условию, была на 20 км/ч больше:
$60 \text{ км/ч} + 20 \text{ км/ч} = 80 \text{ км/ч}$

3. Зная фактическую скорость, найдем, сколько времени автомобиль потратил на дорогу:
$240 \text{ км} \div 80 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

4. Чтобы узнать, на сколько меньше времени было потрачено, вычтем из планового времени фактическое:
$4 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 1 \text{ ч}$

Ответ: он потратил на дорогу на 1 час меньше.

3.84 a) Две сотрудницы редакции, работая вместе, набрали на компьютере 264 страницы рукописи книги за 12 ч. Одна из них набирала 12 страниц в час. Сколько страниц в час набирала другая сотрудница?

б) Отец и сын, работая вместе, покрасили забор длиной 168 м за 12 ч. Если бы отец красил забор один, он выполнил бы эту работу за 21 ч. За сколько часов покрасил бы этот забор сын?

а)
1. Найдем общую производительность (скорость набора) двух сотрудниц. Для этого разделим общее количество набранных страниц на время, затраченное на работу:
$264 \text{ страницы} \div 12 \text{ ч} = 22 \text{ страницы/час}$
2. Теперь, зная общую производительность и производительность первой сотрудницы (12 страниц/час), найдем производительность второй. Для этого вычтем из общей производительности производительность первой:
$22 \text{ страницы/час} - 12 \text{ страниц/час} = 10 \text{ страниц/час}$
Ответ: вторая сотрудница набирала 10 страниц в час.

б)
1. Найдем общую производительность отца и сына при совместной работе. Для этого разделим длину забора на время работы:
$168 \text{ м} \div 12 \text{ ч} = 14 \text{ м/ч}$
2. Найдем производительность отца, когда он работает один. Для этого разделим длину забора на время, за которое он его красит один:
$168 \text{ м} \div 21 \text{ ч} = 8 \text{ м/ч}$
3. Найдем производительность сына. Для этого из общей производительности вычтем производительность отца:
$14 \text{ м/ч} - 8 \text{ м/ч} = 6 \text{ м/ч}$
4. Теперь, зная производительность сына, найдем время, за которое он покрасит забор один. Для этого разделим длину забора на производительность сына:
$168 \text{ м} \div 6 \text{ м/ч} = 28 \text{ ч}$
Ответ: сын покрасил бы этот забор за 28 часов.