Страница 67 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Укажите порядок действий при вычислении значения выражения:

а) $15 \cdot 3^2$;

б) $(15 \cdot 3)^2$;

в) $3 + 15^2$.

а) В выражении $15 \cdot 3^2$ присутствуют два действия: умножение и возведение в степень. Согласно порядку выполнения математических операций, возведение в степень имеет более высокий приоритет, чем умножение. Поэтому действия выполняются в следующем порядке:
1. Возведение в степень: $3^2 = 9$.
2. Умножение: $15 \cdot 9 = 135$.
Ответ: первым действием выполняется возведение в степень ($3^2$), вторым – умножение.

б) В выражении $(15 \cdot 3)^2$ присутствуют скобки, умножение и возведение в степень. Действия в скобках всегда выполняются в первую очередь. Таким образом, порядок действий следующий:
1. Умножение в скобках: $15 \cdot 3 = 45$.
2. Возведение результата в степень: $45^2 = 2025$.
Ответ: первым действием выполняется умножение в скобках ($15 \cdot 3$), вторым – возведение в степень.

в) В выражении $3 + 15^2$ есть сложение и возведение в степень. Возведение в степень является операцией более высокого порядка, чем сложение, поэтому оно выполняется первым.
1. Возведение в степень: $15^2 = 225$.
2. Сложение: $3 + 225 = 228$.
Ответ: первым действием выполняется возведение в степень ($15^2$), вторым – сложение.

РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ (3.92–3.94)

3.92 Запишите короче произведение и сумму:

а) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ и $2 + 2 + 2 + 2$;

б) $8 + 8 + 8$ и $8 \cdot 8 \cdot 8$.

а)

Чтобы записать короче произведение, в котором все множители равны, используется понятие степени. Основание степени — это повторяющийся множитель, а показатель степени — это количество раз, которое множитель повторяется.

В выражении $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ число 2 умножается само на себя 4 раза. Значит, это можно записать как 2 в 4-й степени:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Чтобы записать короче сумму, в которой все слагаемые равны, используется умножение. Сумма заменяется произведением слагаемого на их количество.

В выражении $2 + 2 + 2 + 2 + 2$ число 2 складывается 5 раз. Значит, это можно записать как произведение 2 на 5:

$2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 \cdot 2$

Ответ: $2^4$ и $5 \cdot 2$.

б)

Чтобы записать короче сумму $8 + 8 + 8$, мы видим, что слагаемое 8 повторяется 3 раза. Заменяем эту сумму произведением:

$8 + 8 + 8 = 3 \cdot 8$

Чтобы записать короче произведение $8 \cdot 8 \cdot 8$, мы видим, что множитель 8 повторяется 3 раза. Заменяем это произведение степенью:

$8 \cdot 8 \cdot 8 = 8^3$

Ответ: $3 \cdot 8$ и $8^3$.

3.93 Запишите в виде степени произведение чисел:

а) $3 \cdot 3$;

б) $10 \cdot 10 \cdot 10$;

в) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$;

г) $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$;

д) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$;

е) $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1$;

ж) $a \cdot a$;

з) $n \cdot n \cdot n$.

а) Произведение $3 \cdot 3$ представляет собой умножение числа 3 на само себя. Количество одинаковых множителей равно 2. Следовательно, это произведение можно записать в виде степени, где 3 — это основание степени, а 2 — показатель степени: $3 \cdot 3 = 3^2$.

Ответ: $3^2$.

б) В произведении $10 \cdot 10 \cdot 10$ число 10 повторяется как множитель 3 раза. Таким образом, основание степени равно 10, а показатель степени равен 3: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$.

Ответ: $10^3$.

в) Произведение $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ содержит 5 одинаковых множителей, равных 2. Запись этого произведения в виде степени имеет основание 2 и показатель 5: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$.

Ответ: $2^5$.

г) В выражении $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$ число 4 умножается на себя 4 раза. Это можно записать как степень с основанием 4 и показателем 4: $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^4$.

Ответ: $4^4$.

д) В данном произведении $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$ число 10 является множителем 5 раз. Следовательно, это произведение равно $10$ в пятой степени: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^5$.

Ответ: $10^5$.

е) Произведение $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1$ состоит из 8 множителей, равных 1. Это можно записать как степень с основанием 1 и показателем 8: $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1^8$.

Ответ: $1^8$.

ж) Произведение $a \cdot a$ — это умножение переменной $a$ на саму себя. Число множителей равно 2. Таким образом, выражение записывается в виде степени $a^2$, где $a$ — основание, а 2 — показатель.

Ответ: $a^2$.

з) В произведении $n \cdot n \cdot n$ переменная $n$ повторяется в качестве множителя 3 раза. Это соответствует степени с основанием $n$ и показателем 3: $n \cdot n \cdot n = n^3$.

Ответ: $n^3$.

3.94 Запишите короче в виде степени или произведения выражения:

a) $\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2}_{\text{20 множителей}}$ и $\underbrace{2 + 2 + \dots + 2}_{\text{20 слагаемых}};$

б) $\underbrace{10 + 10 + \dots + 10}_{\text{10 слагаемых}}$ и $\underbrace{10 \cdot 10 \cdot \dots \cdot 10}_{\text{10 множителей}};$

в) $\underbrace{5 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 5}_{\text{100 множителей}}$ и $\underbrace{5 + 5 + \dots + 5}_{\text{100 слагаемых}}.$

а)

Первое выражение представляет собой произведение, состоящее из 20 одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. По определению степени, такое произведение можно записать короче, где основанием степени является повторяющийся множитель, а показателем степени — их количество.
$2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 \text{ (20 множителей)} = 2^{20}$
Второе выражение — это сумма 20 одинаковых слагаемых, каждое из которых равно 2. По определению умножения, такую сумму можно записать в виде произведения этого слагаемого на их количество.
$2 + 2 + \ldots + 2 \text{ (20 слагаемых)} = 20 \cdot 2$

Ответ: $2^{20}$ и $20 \cdot 2$.

б)

Первое выражение — это сумма 10 одинаковых слагаемых, равных 10. Такую сумму можно записать в виде произведения.
$10 + 10 + \ldots + 10 \text{ (10 слагаемых)} = 10 \cdot 10$
Второе выражение — это произведение 10 одинаковых множителей, равных 10. Такое произведение можно записать в виде степени.
$10 \cdot 10 \cdot \ldots \cdot 10 \text{ (10 множителей)} = 10^{10}$

Ответ: $10 \cdot 10$ и $10^{10}$.

в)

Первое выражение — это произведение 100 одинаковых множителей, равных 5. Его можно записать в виде степени с основанием 5 и показателем 100.
$5 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 5 \text{ (100 множителей)} = 5^{100}$
Второе выражение — это сумма 100 одинаковых слагаемых, равных 5. Её можно записать в виде произведения числа слагаемых на само слагаемое.
$5 + 5 + \ldots + 5 \text{ (100 слагаемых)} = 100 \cdot 5$

Ответ: $5^{100}$ и $100 \cdot 5$.

3.95 Вычислите устно, прокомментируйте свои действия:

а) $2^2$, $5^2$, $1^2$, $7^2$.

б) $2^3$, $3^3$, $4^3$, $1^3$;

в) $6^2$, $10^3$, $9^2$, $5^3$;

г) $1^4$, $1^5$, $2^4$, $3^4$.

а) Возведение числа в квадрат (во вторую степень) означает умножение этого числа на само себя.
$2^2 = 2 \times 2 = 4$.
$5^2 = 5 \times 5 = 25$.
$1^2 = 1 \times 1 = 1$. Единица в любой степени равна единице.
$7^2 = 7 \times 7 = 49$.
Ответ: 4; 25; 1; 49.

б) Возведение числа в куб (в третью степень) означает умножение этого числа на само себя три раза.
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$.
$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.
$1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$. Единица в любой степени равна единице.
Ответ: 8; 27; 64; 1.

в) Для вычисления необходимо возвести числа в указанную степень.
$6^2 = 6 \times 6 = 36$.
$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$.
$9^2 = 9 \times 9 = 81$.
$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$.
Ответ: 36; 1000; 81; 125.

г) Возводим числа в четвертую и пятую степени.
$1^4 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$. Единица в любой степени равна единице.
$1^5 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$.
$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.
Ответ: 1; 1; 16; 81.