Страница 74 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Изобразите схематически условие задачи с помощью рисунка и решите её двумя способами. Для каждого способа спланируйте ход решения (3.125–3.126).

3.125 a) Из одного пункта в противоположных направлениях одновременно выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч; через 3 ч?

б) Автобус и автомобиль, двигаясь по шоссе навстречу друг другу, встретились около поста дорожно-патрульной службы и продолжили движение каждый в своём направлении. Скорость автомобиля 70 км/ч, автобуса 55 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 ч; через 3 ч?

Схематическое условие задачи:
<-- Автомашина 1 (60 км/ч) -- [ПУНКТ] -- Автомашина 2 (80 км/ч) -->

Способ 1

План решения:
1. Найти расстояние, которое проехала первая автомашина ($S_1$).
2. Найти расстояние, которое проехала вторая автомашина ($S_2$).
3. Сложить эти расстояния, чтобы найти общее расстояние между ними ($S$).

Решение:

Через 2 часа:
1) $60 \cdot 2 = 120$ (км) — расстояние, которое проехала первая автомашина.
2) $80 \cdot 2 = 160$ (км) — расстояние, которое проехала вторая автомашина.
3) $120 + 160 = 280$ (км) — расстояние между автомашинами.

Через 3 часа:
1) $60 \cdot 3 = 180$ (км) — расстояние, которое проехала первая автомашина.
2) $80 \cdot 3 = 240$ (км) — расстояние, которое проехала вторая автомашина.
3) $180 + 240 = 420$ (км) — расстояние между автомашинами.

Способ 2

План решения:
1. Найти скорость удаления автомашин, сложив их скорости ($v_{уд}$).
2. Умножить скорость удаления на время ($t$), чтобы найти расстояние между ними ($S$).

Решение:

1) $60 + 80 = 140$ (км/ч) — скорость удаления автомашин.

Через 2 часа:
2) $140 \cdot 2 = 280$ (км) — расстояние между автомашинами.

Через 3 часа:
2) $140 \cdot 3 = 420$ (км) — расстояние между автомашинами.

Ответ: через 2 часа расстояние будет 280 км, через 3 часа — 420 км.

Схематическое условие задачи:
<-- Автобус (55 км/ч) -- [Пост ДПС] -- Автомобиль (70 км/ч) -->

Способ 1

План решения:
1. Найти расстояние, которое проехал автобус ($S_{авт}$).
2. Найти расстояние, которое проехал автомобиль ($S_{авто}$).
3. Сложить эти расстояния, чтобы найти общее расстояние между ними ($S$).

Решение:

Через 1 час:
1) $55 \cdot 1 = 55$ (км) — расстояние, которое проехал автобус.
2) $70 \cdot 1 = 70$ (км) — расстояние, которое проехал автомобиль.
3) $55 + 70 = 125$ (км) — расстояние между ними.

Через 3 часа:
1) $55 \cdot 3 = 165$ (км) — расстояние, которое проехал автобус.
2) $70 \cdot 3 = 210$ (км) — расстояние, которое проехал автомобиль.
3) $165 + 210 = 375$ (км) — расстояние между ними.

Способ 2

План решения:
1. Найти скорость удаления транспортных средств, сложив их скорости ($v_{уд}$).
2. Умножить скорость удаления на время ($t$), чтобы найти расстояние между ними ($S$).

Решение:

1) $55 + 70 = 125$ (км/ч) — скорость удаления.

Через 1 час:
2) $125 \cdot 1 = 125$ (км) — расстояние между ними.

Через 3 часа:
2) $125 \cdot 3 = 375$ (км) — расстояние между ними.

Ответ: через 1 час расстояние будет 125 км, через 3 часа — 375 км.

3.126 а) Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Расстояние между ними 500 км. Какое расстояние будет между ними через 2 ч; через 3 ч?

б) Таня и Алёша идут навстречу друг другу, чтобы встретиться. Сейчас расстояние между ними 800 м. Таня идёт со скоростью 70 м/мин, а Алёша – со скоростью 80 м/мин. Какое расстояние будет между ними через 3 мин; через 5 мин?

а)

Чтобы решить задачу, нам нужно найти скорость сближения двух автомашин. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

1. Найдем скорость сближения ($v_{сбл}$):
$v_{сбл} = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между машинами сокращается на 140 км.

2. Найдем расстояние, на которое машины сблизятся за 2 часа, и вычтем его из начального расстояния:

Расстояние сближения за 2 часа: $140 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 280 \text{ км}$.
Оставшееся расстояние через 2 часа: $500 \text{ км} - 280 \text{ км} = 220 \text{ км}$.

3. Аналогично найдем расстояние между машинами через 3 часа:

Расстояние сближения за 3 часа: $140 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 420 \text{ км}$.
Оставшееся расстояние через 3 часа: $500 \text{ км} - 420 \text{ км} = 80 \text{ км}$.

Ответ: через 2 часа расстояние между автомашинами будет 220 км, а через 3 часа — 80 км.

б)

Эта задача решается по тому же принципу. Таня и Алёша идут навстречу друг другу, поэтому их скорости сближения равны сумме их скоростей.

1. Найдем скорость сближения Тани и Алёши ($v_{сбл}$):
$v_{сбл} = 70 \text{ м/мин} + 80 \text{ м/мин} = 150 \text{ м/мин}$

2. Узнаем, какое расстояние будет между ними через 3 минуты. Для этого найдем, какой путь они пройдут вместе за это время, и вычтем его из начального расстояния.

Расстояние, которое они пройдут вместе за 3 минуты: $150 \text{ м/мин} \times 3 \text{ мин} = 450 \text{ м}$.
Оставшееся расстояние через 3 минуты: $800 \text{ м} - 450 \text{ м} = 350 \text{ м}$.

3. Теперь найдем расстояние между ними через 5 минут:

Расстояние, которое они пройдут вместе за 5 минут: $150 \text{ м/мин} \times 5 \text{ мин} = 750 \text{ м}$.
Оставшееся расстояние через 5 минут: $800 \text{ м} - 750 \text{ м} = 50 \text{ м}$.

Ответ: через 3 минуты расстояние между ними будет 350 м, а через 5 минут — 50 м.

Решите задачу, вычислив скорость сближения или скорость удаления

(3.127–3.129).

3.127 Два поезда отошли одновременно от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет равно 260 км; 520 км?

Для решения задачи сначала необходимо найти скорость удаления поездов. Поскольку поезда движутся от одной станции в противоположных направлениях, их скорость удаления равна сумме их скоростей.

1. Вычислим скорость удаления ( $v_{уд}$ ):

$v_{уд} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч} = 130 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между поездами увеличивается на 130 км.

2. Теперь, зная скорость удаления, найдем время ($t$) для каждого заданного расстояния ($S$) по формуле $t = S / v_{уд}$.

Для расстояния 260 км:

Подставим значения в формулу, чтобы найти время, через которое расстояние между поездами станет 260 км.

$t = \frac{260 \text{ км}}{130 \text{ км/ч}} = 2 \text{ часа}$

Ответ: расстояние между поездами будет равно 260 км через 2 часа.

Для расстояния 520 км:

Аналогично вычислим время для расстояния в 520 км.

$t = \frac{520 \text{ км}}{130 \text{ км/ч}} = 4 \text{ часа}$

Ответ: расстояние между поездами будет равно 520 км через 4 часа.

3.128 Два поезда движутся из двух городов навстречу друг другу со скоростями $60 \text{ км/ч}$ и $80 \text{ км/ч}$. На каком расстоянии друг от друга будут поезда за $1 \text{ ч}$ до встречи; за $2 \text{ ч}$ до встречи?

Для решения этой задачи используется понятие скорости сближения. Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются для определения того, как быстро сокращается расстояние между ними.

Дано:

• Скорость первого поезда $v_1 = 60 \text{ км/ч}$
• Скорость второго поезда $v_2 = 80 \text{ км/ч}$

1. Найдем скорость сближения поездов ($v_{сбл}$):
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$.
Это означает, что каждый час поезда становятся ближе друг к другу на 140 км.

Расстояние, на котором будут поезда за некоторое время до встречи, равно расстоянию, которое они оба проедут за это время со скоростью сближения.

за 1 ч до встречи

Чтобы найти расстояние между поездами за 1 час до их встречи, нужно умножить скорость сближения на это время ($t_1 = 1 \text{ ч}$):
$S_1 = v_{сбл} \times t_1 = 140 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 140 \text{ км}$.
Ответ: 140 км.

за 2 ч до встречи

Чтобы найти расстояние между поездами за 2 часа до их встречи, нужно умножить скорость сближения на это время ($t_2 = 2 \text{ ч}$):
$S_2 = v_{сбл} \times t_2 = 140 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 280 \text{ км}$.
Ответ: 280 км.

3.129 a) Велосипедист и мотоциклист едут навстречу друг другу. Скорость мотоциклиста $40 \text{ км/ч}$, а велосипедиста — $12 \text{ км/ч}$. Через какое время они встретятся, если сейчас между ними $52 \text{ км}$; $156 \text{ км}$?

б) Андрей едет на велосипеде и в каждую минуту проезжает $200 \text{ м}$. Сергей идёт ему навстречу со скоростью $80 \text{ м/мин}$. Через сколько минут они встретятся, если сейчас расстояние между ними $840 \text{ м}$; $1 \text{ км } 400 \text{ м}$?

а)

Эта задача на встречное движение. Чтобы найти время, через которое велосипедист и мотоциклист встретятся, нужно сначала найти их общую скорость сближения. Скорость сближения равна сумме их скоростей, так как они движутся навстречу друг другу.

1. Найдем скорость сближения ($v_{сбл}$):
$v_{сбл} = v_{мотоциклиста} + v_{велосипедиста} = 40 \text{ км/ч} + 12 \text{ км/ч} = 52 \text{ км/ч}$

2. Теперь, зная скорость сближения, можно найти время до встречи ($t$) для каждого из указанных расстояний ($S$) по формуле $t = S / v_{сбл}$.

- Если расстояние между ними 52 км:
$t = \frac{52 \text{ км}}{52 \text{ км/ч}} = 1 \text{ час}$

- Если расстояние между ними 156 км:
$t = \frac{156 \text{ км}}{52 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа}$

Ответ: через 1 час; через 3 часа.

б)

Эта задача также на встречное движение. Сначала определим скорости участников и приведем все единицы к единому формату.

Скорость Андрея на велосипеде: $v_{Андрея} = 200 \text{ м/мин}$.
Скорость Сергея (пешком): $v_{Сергея} = 80 \text{ м/мин}$.

1. Найдем их скорость сближения, сложив скорости:
$v_{сбл} = v_{Андрея} + v_{Сергея} = 200 \text{ м/мин} + 80 \text{ м/мин} = 280 \text{ м/мин}$

2. Найдем время до встречи для каждого случая.

- Если расстояние между ними 840 м:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{840 \text{ м}}{280 \text{ м/мин}} = 3 \text{ минуты}$

- Если расстояние между ними 1 км 400 м. Сначала переведем расстояние в метры:
$S = 1 \text{ км} 400 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 400 \text{ м} = 1400 \text{ м}$
Теперь найдем время:
$t = \frac{1400 \text{ м}}{280 \text{ м/мин}} = 5 \text{ минут}$

Ответ: через 3 минуты; через 5 минут.

3.130 РАССУЖДАЕМ

a) Коля и его сестра Катя одновременно вышли из дома и направились по одной дороге в школу. Скорость Коли 70 м/мин, а скорость Кати 55 м/мин. Какое расстояние будет между ними через 4 мин?

Подсказка. Будем рассуждать так: Коля за 4 мин пройдёт $70 \cdot 4 = 280$ (м), а Катя $55 \cdot 4 = 220$ (м). Значит, через 4 мин между ними будет расстояние $280 - 220 = 60$ (м).

Можно рассуждать иначе. Скорость Коли больше скорости Кати, а значит, он удаляется от неё со скоростью $70 - 55 = 15$ (м/мин). Доведите решение задачи до конца.

б) Автомобиль и автобус одновременно выехали от вокзала на шоссе и отправились в одном направлении со скоростью 70 км/ч и 50 км/ч соответственно. Какое расстояние будет между ними через 2 ч?

а) Для решения этой задачи воспользуемся вторым способом, предложенным в подсказке, и найдем скорость удаления. Поскольку Коля и Катя движутся в одном направлении, а скорость Коли больше, он будет удаляться от Кати. Скорость удаления равна разности их скоростей.

1) Найдем скорость удаления Коли от Кати:
$v_{удаления} = v_{Коли} - v_{Кати} = 70 \text{ м/мин} - 55 \text{ м/мин} = 15 \text{ м/мин}$.

2) Теперь найдем расстояние, которое будет между ними через 4 минуты. для этого умножим скорость удаления на время:
$S = v_{удаления} \cdot t = 15 \text{ м/мин} \cdot 4 \text{ мин} = 60 \text{ м}$.

Ответ: 60 м.

б) Эта задача решается по тому же принципу. Автомобиль и автобус движутся в одном направлении, но с разными скоростями. Так как скорость автомобиля больше, он будет удаляться от автобуса. Найдем скорость их удаления друг от друга.

1) Найдем скорость удаления автомобиля от автобуса:
$v_{удаления} = v_{автомобиля} - v_{автобуса} = 70 \text{ км/ч} - 50 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$.

2) Теперь вычислим, какое расстояние будет между ними через 2 часа, умножив скорость удаления на время:
$S = v_{удаления} \cdot t = 20 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 40 \text{ км}$.

Ответ: 40 км.