Страница 77 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.141 Андрей вышел из школы и направился к дому со скоростью $90 \text{ м/мин}$. Через $10 \text{ мин}$ из школы вышел Николай и пошёл в противоположном направлении со скоростью $100 \text{ м/мин}$. Какое расстояние будет между мальчиками: а) через $5 \text{ мин}$ после выхода Николая; б) через $20 \text{ мин}$ после выхода Андрея?

Подсказка. Определите, какое расстояние будет между мальчиками в момент выхода Николая из школы.

Для решения задачи введем обозначения:

$v_А$ - скорость Андрея, $v_А = 90$ м/мин.

$v_Н$ - скорость Николая, $v_Н = 100$ м/мин.

Андрей вышел из школы на 10 минут раньше Николая.

а) через 5 мин после выхода Николая

1. Сначала найдем расстояние, которое успел пройти Андрей за 10 минут, пока Николай еще не вышел из школы. Это и будет расстояние между ними в момент выхода Николая.

$S_1 = v_А \times 10 \text{ мин} = 90 \text{ м/мин} \times 10 \text{ мин} = 900 \text{ м}$.

2. После того как вышел Николай, мальчики начали двигаться одновременно в противоположных направлениях. Найдем их скорость удаления друг от друга, которая равна сумме их скоростей:

$v_{уд} = v_А + v_Н = 90 \text{ м/мин} + 100 \text{ м/мин} = 190 \text{ м/мин}$.

3. Теперь найдем, на какое расстояние они удалились друг от друга за 5 минут совместного движения:

$S_2 = v_{уд} \times 5 \text{ мин} = 190 \text{ м/мин} \times 5 \text{ мин} = 950 \text{ м}$.

4. Общее расстояние между мальчиками через 5 минут после выхода Николая будет состоять из начального расстояния (900 м) и расстояния, на которое они удалились за 5 минут (950 м).

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 900 \text{ м} + 950 \text{ м} = 1850 \text{ м}$.

Ответ: 1850 м.

б) через 20 мин после выхода Андрея

1. Найдем, какое расстояние прошел Андрей за 20 минут с момента своего выхода из школы.

$S_А = v_А \times 20 \text{ мин} = 90 \text{ м/мин} \times 20 \text{ мин} = 1800 \text{ м}$.

2. Николай вышел на 10 минут позже Андрея. Следовательно, к моменту, когда Андрей был в пути 20 минут, Николай шел только:

$t_Н = 20 \text{ мин} - 10 \text{ мин} = 10 \text{ мин}$.

3. Найдем, какое расстояние прошел Николай за свои 10 минут.

$S_Н = v_Н \times 10 \text{ мин} = 100 \text{ м/мин} \times 10 \text{ мин} = 1000 \text{ м}$.

4. Поскольку мальчики шли от школы в противоположных направлениях, общее расстояние между ними равно сумме расстояний, которые прошел каждый из них.

$S_{общ} = S_А + S_Н = 1800 \text{ м} + 1000 \text{ м} = 2800 \text{ м}$.

Ответ: 2800 м.

3.142 От автобусной станции отошёл автобус со скоростью 40 км/ч. Через час в противоположном направлении вышел другой автобус, скорость которого 60 км/ч.

a) Через какое время после выхода второго автобуса расстояние между ними будет равно 140 км?

б) Через какое время после выхода первого автобуса расстояние между ними будет равно 240 км?

а) Через какое время после выхода второго автобуса расстояние между ними будет равно 140 км?

Сначала определим, какое расстояние проехал первый автобус за тот час, пока второй еще не выехал.
Скорость первого автобуса $v_1 = 40$ км/ч. Время в пути $t_1 = 1$ час.
Расстояние, которое он проехал: $S_1 = v_1 \times t_1 = 40 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 40$ км.
В момент выезда второго автобуса расстояние между ними уже составляет 40 км. Им нужно увеличить это расстояние до 140 км.
Дополнительное расстояние, которое они должны проехать вместе: $S_{доп} = 140 \text{ км} - 40 \text{ км} = 100$ км.
Так как автобусы едут в противоположных направлениях, их скорости складываются. Найдем скорость удаления: $v_{уд} = v_1 + v_2 = 40 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч} = 100$ км/ч.
Теперь найдем время, за которое они вместе проедут оставшиеся 100 км. Это время и будет временем после выхода второго автобуса.
$t = \frac{S_{доп}}{v_{уд}} = \frac{100 \text{ км}}{100 \text{ км/ч}} = 1$ час.
Ответ: через 1 час.

б) Через какое время после выхода первого автобуса расстояние между ними будет равно 240 км?

Пусть $t$ - это время, прошедшее с момента выхода первого автобуса.
За это время первый автобус проедет расстояние $S_1 = v_1 \times t = 40t$ км.
Второй автобус выехал на 1 час позже, значит, он будет в пути $(t - 1)$ час.
За это время второй автобус проедет расстояние $S_2 = v_2 \times (t - 1) = 60(t - 1)$ км.
Общее расстояние между ними - это сумма расстояний, пройденных каждым автобусом от станции, так как они едут в противоположных направлениях: $S_{общ} = S_1 + S_2$.
Составим уравнение, подставив известные значения:
$40t + 60(t - 1) = 240$
$40t + 60t - 60 = 240$
$100t = 240 + 60$
$100t = 300$
$t = \frac{300}{100} = 3$ часа.
Ответ: через 3 часа.

3.143 a) Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся?

б) От станции в направлении посёлка, расстояние до которого 24 км, вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из посёлка выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через сколько часов после своего выхода пешеход встретит велосипедиста?

а)

1. Сначала вычислим расстояние, которое скорый поезд прошел за 2 часа, пока пассажирский поезд еще не выехал. Для этого умножим скорость скорого поезда на время в пути:

$S_1 = v_{скор} \cdot t_1 = 80 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 160 \text{ км}$

2. Теперь найдем, какое расстояние осталось между поездами в момент, когда пассажирский поезд начал движение. Вычтем из общего расстояния то, что уже проехал скорый поезд:

$S_{ост} = S_{общ} - S_1 = 720 \text{ км} - 160 \text{ км} = 560 \text{ км}$

3. Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения:

$v_{сбл} = v_{скор} + v_{пасс} = 80 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$

4. Чтобы найти время до встречи с момента выезда пассажирского поезда, разделим оставшееся расстояние на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{560 \text{ км}}{140 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Ответ: через 4 часа после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся.

б)

1. Определим расстояние, которое прошел пешеход за 2 часа до того, как выехал велосипедист:

$S_1 = v_{пеш} \cdot t_1 = 4 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 8 \text{ км}$

2. Вычислим, какое расстояние было между пешеходом и велосипедистом в момент старта велосипедиста:

$S_{ост} = S_{общ} - S_1 = 24 \text{ км} - 8 \text{ км} = 16 \text{ км}$

3. Так как они движутся навстречу друг другу, найдем их скорость сближения, сложив их скорости:

$v_{сбл} = v_{пеш} + v_{вел} = 4 \text{ км/ч} + 12 \text{ км/ч} = 16 \text{ км/ч}$

4. Теперь найдем время, которое пройдет с момента выезда велосипедиста до их встречи:

$t_{встр} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{16 \text{ км}}{16 \text{ км/ч}} = 1 \text{ ч}$

5. В задаче спрашивается, через сколько часов после своего выхода пешеход встретит велосипедиста. Пешеход уже шел 2 часа до выезда велосипедиста, и после этого шел еще 1 час до встречи. Сложим эти два промежутка времени:

$t_{общ} = t_1 + t_{встр} = 2 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 3 \text{ ч}$

Ответ: через 3 часа после своего выхода пешеход встретит велосипедиста.

3.144 Дима вышел из школы и направился к стадиону со скоростью 100 м/мин. Через 5 мин после его выхода от стадиона к школе направился Олег со скоростью 80 м/мин. Чему равно расстояние между школой и стадионом, если:

а) Олег встретил Диму через 10 мин после своего выхода;

б) Дима встретил Олега через 20 мин после выхода?

Обозначим скорость Димы как $v_Д = 100$ м/мин, а скорость Олега как $v_О = 80$ м/мин. Дима вышел из школы, а Олег через 5 минут вышел со стадиона навстречу Диме.

а)

По условию, Олег встретил Диму через 10 минут после своего выхода. Это означает, что время Олега в пути до встречи $t_О = 10$ мин.

Так как Дима вышел на 5 минут раньше, его время в пути до встречи $t_Д$ составило:
$t_Д = t_О + 5 \text{ мин} = 10 + 5 = 15$ мин.

За это время Дима прошел расстояние $S_Д$:
$S_Д = v_Д \cdot t_Д = 100 \text{ м/мин} \cdot 15 \text{ мин} = 1500$ м.

Олег за свое время в пути прошел расстояние $S_О$:
$S_О = v_О \cdot t_О = 80 \text{ м/мин} \cdot 10 \text{ мин} = 800$ м.

Общее расстояние между школой и стадионом равно сумме расстояний, которые они прошли навстречу друг другу до момента встречи:
$S = S_Д + S_О = 1500 \text{ м} + 800 \text{ м} = 2300$ м.

Ответ: 2300 м (или 2,3 км).

б)

По условию, Дима встретил Олега через 20 минут после своего выхода. Это означает, что время Димы в пути до встречи $t_Д = 20$ мин.

Так как Олег вышел на 5 минут позже, его время в пути до встречи $t_О$ составило:
$t_О = t_Д - 5 \text{ мин} = 20 - 5 = 15$ мин.

За это время Дима прошел расстояние $S_Д$:
$S_Д = v_Д \cdot t_Д = 100 \text{ м/мин} \cdot 20 \text{ мин} = 2000$ м.

Олег за свое время в пути прошел расстояние $S_О$:
$S_О = v_О \cdot t_О = 80 \text{ м/мин} \cdot 15 \text{ мин} = 1200$ м.

Общее расстояние между школой и стадионом равно сумме расстояний, которые они прошли навстречу друг другу до момента встречи:
$S = S_Д + S_О = 2000 \text{ м} + 1200 \text{ м} = 3200$ м.

Ответ: 3200 м (или 3,2 км).

3.145 Сергей и Глеб каждый день делают пробежку по дорожкам парка. Сергей бежит со скоростью 200 м/мин, а Глеб — со скоростью 160 м/мин. Они бегут по одной дорожке навстречу друг другу, и расстояние между ними в некоторый момент равно 900 м. Через сколько минут между ними будет 540 м?

Подсказка. Задача имеет два решения: один раз такое расстояние будет между мальчиками до встречи, а другой раз — после встречи.

Данная задача имеет два решения, как указано в подсказке. Это происходит потому, что расстояние в 540 м между мальчиками будет в двух случаях: когда они еще не встретились и когда они уже встретились и продолжили движение.

Для начала найдем скорость сближения Сергея и Глеба. Поскольку они бегут навстречу друг другу, их скорости складываются:

$v_{сближения} = v_{Сергея} + v_{Глеба} = 200 \text{ м/мин} + 160 \text{ м/мин} = 360 \text{ м/мин}.$

Это означает, что каждую минуту расстояние между ними сокращается на 360 метров.

Случай 1: до встречи

Изначально расстояние между мальчиками составляет 900 м. Мы хотим найти время, через которое расстояние между ними станет 540 м. Это значит, что им нужно вместе пробежать расстояние, равное разнице между начальным и конечным расстояниями.

$S_1 = 900 \text{ м} - 540 \text{ м} = 360 \text{ м}.$

Теперь найдем время, за которое они вместе преодолеют это расстояние, двигаясь со скоростью сближения 360 м/мин:

$t_1 = \frac{S_1}{v_{сближения}} = \frac{360 \text{ м}}{360 \text{ м/мин}} = 1 \text{ минута}.$

Ответ: 1 минута.

Случай 2: после встречи

Во втором случае мальчики сначала должны встретиться, а затем, продолжая бежать, удалиться друг от друга на 540 м.
Чтобы встретиться, им нужно вместе преодолеть всё начальное расстояние — 900 м.
После встречи им нужно будет пробежать еще 540 м (суммарно), чтобы расстояние между ними стало 540 м.
Таким образом, общее расстояние, которое они должны пробежать вместе от начального момента, составляет:

$S_2 = 900 \text{ м} + 540 \text{ м} = 1440 \text{ м}.$

Скорость, с которой они удаляются друг от друга после встречи, равна их скорости сближения (360 м/мин). Найдем время, которое потребуется, чтобы преодолеть общее расстояние $S_2$:

$t_2 = \frac{S_2}{v_{сближения}} = \frac{1440 \text{ м}}{360 \text{ м/мин}} = 4 \text{ минуты}.$

Ответ: 4 минуты.

3.146 Два друга-охотника вышли навстречу друг другу из леса с двух сторон поляны и оказались на расстоянии 450 м друг от друга. Один шёл со скоростью 70 м/мин, другой — со скоростью 80 м/мин. Собака одного из охотников побежала навстречу другому. Добежав до него, она вернулась к хозяину и, повернув, снова бросилась к его другу. Так она продолжала свой бег до встречи двух охотников. Определите, какое расстояние пробежала собака, если она бегала со скоростью 12 км/ч.

Подсказка. Определите сначала, сколько времени бегала собака между двумя охотниками.

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, в течение какого времени собака бегала. Собака прекратила свой бег в тот момент, когда охотники встретились. Следовательно, время бега собаки равно времени, которое потребовалось охотникам, чтобы встретиться.

1. Определение времени до встречи охотников.

Охотники движутся навстречу друг другу. Чтобы найти время до их встречи, сначала вычислим их общую скорость сближения. Скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 70 \text{ м/мин} + 80 \text{ м/мин} = 150 \text{ м/мин}$.

Теперь, зная начальное расстояние между ними ($S = 450$ м) и скорость сближения, мы можем найти время ($t$), через которое они встретятся:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{450 \text{ м}}{150 \text{ м/мин}} = 3 \text{ мин}$.

Таким образом, охотники встретятся через 3 минуты, и всё это время собака бегала.

2. Определение расстояния, которое пробежала собака.

Скорость собаки дана в км/ч. Для удобства расчётов переведём её в м/мин:

$12 \text{ км/ч} = 12 \times \frac{1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{12000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = 200 \text{ м/мин}$.

Теперь, зная скорость собаки ($v_{собаки} = 200$ м/мин) и время её бега ($t = 3$ мин), мы можем найти расстояние ($S_{собаки}$), которое она пробежала:

$S_{собаки} = v_{собаки} \times t = 200 \text{ м/мин} \times 3 \text{ мин} = 600 \text{ м}$.

Ответ: собака пробежала 600 метров.