Страница 76 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.135 Смоделируйте ситуацию с помощью рисунка и заполните таблицу:

Подсказка. Рассмотрите рисунок 3.14. Какую скорость изображает отрезок AC; отрезки CB и CD; отрезок AB; отрезок AD? Для каждой ситуации, описанной в таблице, установите, какие отрезки на этом рисунке даны и какие надо найти.

Спланируйте ход решения и решите Рис. 3.14 задачу (3.136–3.139).

Для решения задачи и заполнения таблицы используются основные формулы, связывающие собственную скорость объекта ($V_{собств.}$), скорость течения реки ($V_{теч.}$), скорость по течению ($V_{по\ теч.}$) и скорость против течения ($V_{против\ теч.}$).

Скорость по течению вычисляется как сумма собственной скорости и скорости течения:
$V_{по\ теч.} = V_{собств.} + V_{теч.}$

Скорость против течения вычисляется как разность собственной скорости и скорости течения:
$V_{против\ теч.} = V_{собств.} - V_{теч.}$

Используя эти формулы, мы можем найти неизвестные значения для каждой строки таблицы.

Строка 1
Дано: собственная скорость $V_{собств.} = 12$ км/ч, скорость течения $V_{теч.} = 4$ км/ч.
Находим скорость по течению: $V_{по\ теч.} = 12 + 4 = 16$ км/ч.
Находим скорость против течения: $V_{против\ теч.} = 12 - 4 = 8$ км/ч.
Ответ: скорость по течению — 16 км/ч, скорость против течения — 8 км/ч.

Строка 2
Дано: собственная скорость $V_{собств.} = 25$ км/ч, скорость по течению $V_{по\ теч.} = 28$ км/ч.
Сначала находим скорость течения: $V_{теч.} = V_{по\ теч.} - V_{собств.} = 28 - 25 = 3$ км/ч.
Теперь находим скорость против течения: $V_{против\ теч.} = V_{собств.} - V_{теч.} = 25 - 3 = 22$ км/ч.
Ответ: скорость течения — 3 км/ч, скорость против течения — 22 км/ч.

Строка 3
Дано: собственная скорость $V_{собств.} = 24$ км/ч, скорость против течения $V_{против\ теч.} = 20$ км/ч.
Сначала находим скорость течения: $V_{теч.} = V_{собств.} - V_{против\ теч.} = 24 - 20 = 4$ км/ч.
Теперь находим скорость по течению: $V_{по\ теч.} = V_{собств.} + V_{теч.} = 24 + 4 = 28$ км/ч.
Ответ: скорость течения — 4 км/ч, скорость по течению — 28 км/ч.

Строка 4
Дано: скорость течения $V_{теч.} = 5$ км/ч, скорость по течению $V_{по\ теч.} = 17$ км/ч.
Сначала находим собственную скорость: $V_{собств.} = V_{по\ теч.} - V_{теч.} = 17 - 5 = 12$ км/ч.
Теперь находим скорость против течения: $V_{против\ теч.} = V_{собств.} - V_{теч.} = 12 - 5 = 7$ км/ч.
Ответ: собственная скорость — 12 км/ч, скорость против течения — 7 км/ч.

Итоговая заполненная таблица:

3.136 Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, проплыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние проплыл катер за это время, если скорость течения реки 2 км/ч?

Для того чтобы найти общее расстояние, которое проплыл катер, необходимо вычислить расстояние, пройденное по течению и против течения, а затем сложить полученные значения.

1. Сначала определим скорость катера при движении по течению реки. Она равна сумме собственной скорости катера и скорости течения:
$V_{по\;течению} = 15 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 17 \text{ км/ч}$.

2. Теперь найдем расстояние, которое катер проплыл по течению за 2 часа:
$S_{по\;течению} = V_{по\;течению} \times t = 17 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 34 \text{ км}$.

3. Далее определим скорость катера при движении против течения реки. Она равна разности собственной скорости катера и скорости течения:
$V_{против\;течения} = 15 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 13 \text{ км/ч}$.

4. Найдем расстояние, которое катер проплыл против течения за 3 часа:
$S_{против\;течения} = V_{против\;течения} \times t = 13 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 39 \text{ км}$.

5. Наконец, вычислим общее расстояние, сложив расстояние, пройденное по течению, и расстояние, пройденное против течения:
$S_{общее} = S_{по\;течению} + S_{против\;течения} = 34 \text{ км} + 39 \text{ км} = 73 \text{ км}$.

Ответ: 73 км.

3.137 Собственная скорость теплохода равна 27 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь между двумя пристанями, расстояние между которыми 120 км, если он будет плыть:

а) по течению реки;

б) против течения реки?

Для решения задачи необходимо найти скорость теплохода по течению и против течения, а затем рассчитать время для каждого случая по формуле $t = S / V$, где $S$ — расстояние (120 км), а $V$ — скорость.

Исходные данные:

• Собственная скорость теплохода ($V_{соб}$) = 27 км/ч
• Скорость течения реки ($V_{теч}$) = 3 км/ч
• Расстояние ($S$) = 120 км

а) по течению реки;

1. Сначала найдем скорость теплохода, когда он плывет по течению. Скорости складываются:
$V_{по~течению} = V_{соб} + V_{теч} = 27~км/ч + 3~км/ч = 30~км/ч$.

2. Теперь рассчитаем время, необходимое для преодоления расстояния в 120 км с этой скоростью:
$t = S / V_{по~течению} = 120~км / 30~км/ч = 4~ч$.

Ответ: 4 часа.

б) против течения реки?

1. Найдем скорость теплохода, когда он плывет против течения. Из собственной скорости вычитается скорость течения:
$V_{против~течения} = V_{соб} - V_{теч} = 27~км/ч - 3~км/ч = 24~км/ч$.

2. Рассчитаем время, необходимое для преодоления расстояния в 120 км с этой скоростью:
$t = S / V_{против~течения} = 120~км / 24~км/ч = 5~ч$.

Ответ: 5 часов.

3.138 Катер проплыл 72 км по течению реки и вернулся обратно. Какой путь занял у него больше времени и на сколько, если собственная скорость катера 21 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?

Для решения задачи необходимо определить скорость катера по течению и против течения, а затем рассчитать время, затраченное на каждый из путей.

1. Найдем скорость катера по течению реки.

Когда катер плывет по течению, его скорость складывается из собственной скорости и скорости течения реки.

$v_{по\;теч} = v_{собств} + v_{теч} = 21 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 24 \text{ км/ч}$

2. Рассчитаем время, затраченное на путь по течению.

Время находится по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ - расстояние, а $v$ - скорость.

$t_{по\;теч} = \frac{72 \text{ км}}{24 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$

3. Найдем скорость катера против течения реки.

Когда катер плывет против течения, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения.

$v_{против\;теч} = v_{собств} - v_{теч} = 21 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$

4. Рассчитаем время, затраченное на обратный путь (против течения).

$t_{против\;теч} = \frac{72 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

5. Сравним время и найдем разницу.

Путь по течению занял 3 часа, а путь против течения — 4 часа. Следовательно, путь против течения занял больше времени.

Найдем, на сколько больше времени было затрачено:

$\Delta t = t_{против\;теч} - t_{по\;теч} = 4 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 1 \text{ ч}$

Ответ: путь против течения (обратный путь) занял больше времени на 1 час.

3.139 а) Расстояние между причалами $24 \text{ км}$. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость моторной лодки $10 \text{ км/ч}$, а скорость течения $2 \text{ км/ч}$?

б) Туристы отправились на прогулку на катере. Они проплыли $36 \text{ км}$ по течению реки, сделали привал на $3 \text{ ч}$ и затем вернулись обратно. Сколько времени заняла вся прогулка, если собственная скорость катера $15 \text{ км/ч}$, а скорость течения реки $3 \text{ км/ч}$?

а)

Для решения этой задачи необходимо рассчитать время, затраченное на путь по течению и против течения, а затем сложить эти значения.

1. Найдем скорость моторной лодки по течению реки. Для этого сложим собственную скорость лодки и скорость течения:

$V_{по\;течению} = V_{собственная} + V_{течения} = 10\;км/ч + 2\;км/ч = 12\;км/ч$

2. Рассчитаем время, которое лодка потратит на путь по течению. Для этого разделим расстояние на скорость по течению:

$t_{по\;течению} = \frac{S}{V_{по\;течению}} = \frac{24\;км}{12\;км/ч} = 2\;ч$

3. Найдем скорость моторной лодки против течения реки. Для этого из собственной скорости лодки вычтем скорость течения:

$V_{против\;течения} = V_{собственная} - V_{течения} = 10\;км/ч - 2\;км/ч = 8\;км/ч$

4. Рассчитаем время, которое лодка потратит на обратный путь (против течения):

$t_{против\;течения} = \frac{S}{V_{против\;течения}} = \frac{24\;км}{8\;км/ч} = 3\;ч$

5. Найдем общее время в пути, сложив время движения по течению и против течения:

$t_{общее} = t_{по\;течению} + t_{против\;течения} = 2\;ч + 3\;ч = 5\;ч$

Ответ: 5 часов.

б)

Чтобы найти общее время прогулки, нужно сложить время движения по течению, время привала и время движения против течения.

1. Найдем скорость катера по течению реки:

$V_{по\;течению} = V_{собственная} + V_{течения} = 15\;км/ч + 3\;км/ч = 18\;км/ч$

2. Рассчитаем время, затраченное на путь по течению:

$t_{по\;течению} = \frac{S}{V_{по\;течению}} = \frac{36\;км}{18\;км/ч} = 2\;ч$

3. Найдем скорость катера против течения реки:

$V_{против\;течения} = V_{собственная} - V_{течения} = 15\;км/ч - 3\;км/ч = 12\;км/ч$

4. Рассчитаем время, затраченное на обратный путь (против течения):

$t_{против\;течения} = \frac{S}{V_{против\;течения}} = \frac{36\;км}{12\;км/ч} = 3\;ч$

5. Теперь найдем общее время прогулки, сложив время движения в обе стороны и время привала:

$t_{общее} = t_{по\;течению} + t_{против\;течения} + t_{привала} = 2\;ч + 3\;ч + 3\;ч = 8\;ч$

Ответ: 8 часов.

Моделируем (3.140-3.145) Изобразите условие задачи схематически с помощью рисунка и решите её.

3.140 От двух станций, расстояние между которыми 40 км, одновременно в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга, отправились два поезда. Скорость первого – 60 км/ч, второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между поездами: а) через 2 ч; б) через 5 ч?

Изобразим условие задачи в виде схемы:

Для решения задачи найдем скорость удаления поездов. Так как поезда движутся в противоположных направлениях, их скорость удаления ($v_{уд}$) равна сумме их скоростей ($v_1$ и $v_2$).

$v_{уд} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч} = 130 \text{ км/ч}$

Расстояние между поездами ($S$) через определенное время ($t$) будет равно начальному расстоянию между станциями ($S_0$) плюс общее расстояние, на которое они удалились друг от друга за это время. Формула для расчета:

$S = S_0 + v_{уд} \times t$

Теперь решим задачу для каждого случая.

Подставим в формулу время $t = 2$ ч, начальное расстояние $S_0 = 40$ км и скорость удаления $v_{уд} = 130$ км/ч:

$S = 40 + 130 \times 2 = 40 + 260 = 300$ (км)

Ответ: 300 км.

Подставим в формулу время $t = 5$ ч:

$S = 40 + 130 \times 5 = 40 + 650 = 690$ (км)

Ответ: 690 км.