Страница 75 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.131 a) Прочитайте задачу:

Два туриста идут по шоссе в одном направлении. Сейчас расстояние между ними $150 \text{ м}$. Скорость первого туриста $60 \text{ м/мин}$, скорость второго – $85 \text{ м/мин}$. Второй турист идёт быстрее и догоняет первого. Через сколько минут второй турист догонит первого?

Ситуация изображена схематически на рисунке 3.13. Решите задачу по плану:

1) Определите, на сколько метров второй турист приближается к первому за одну минуту. (Иными словами, найдите скорость сближения туристов.)

2) Определите, сколько времени понадобится второму туристу, чтобы догнать первого.

б) Когда Оля вышла из дома и пошла по дороге к школе, её подруга Ира была от неё на расстоянии $100 \text{ м}$. Через сколько минут Оля догонит Иру, если её скорость $75 \text{ м/мин}$, а скорость Иры $50 \text{ м/мин}$?

Подсказка. Сделайте рисунок и действуйте по плану задачи «а».

а)

1) Чтобы определить, на сколько метров второй турист приближается к первому за одну минуту, нужно найти их скорость сближения. Так как туристы идут в одном направлении и второй догоняет первого, скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сближения} = v_2 - v_1 = 85 \text{ м/мин} - 60 \text{ м/мин} = 25 \text{ м/мин}$.

Это означает, что каждую минуту расстояние между туристами сокращается на 25 метров.

2) Чтобы найти время, через которое второй турист догонит первого, нужно начальное расстояние между ними разделить на скорость сближения:

$t = S / v_{сближения} = 150 \text{ м} / 25 \text{ м/мин} = 6 \text{ мин}$.

Ответ: через 6 минут.

б)

Эта задача решается по тому же плану, что и задача «а». Оля догоняет Иру, которая находится впереди. Расстояние между ними 100 м.

1) Сначала найдем скорость сближения Оли и Иры. Так как они движутся в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сближения} = v_{Оли} - v_{Иры} = 75 \text{ м/мин} - 50 \text{ м/мин} = 25 \text{ м/мин}$.

2) Теперь, зная начальное расстояние (100 м) и скорость сближения, найдем время, через которое Оля догонит Иру:

$t = S / v_{сближения} = 100 \text{ м} / 25 \text{ м/мин} = 4 \text{ мин}$.

Ответ: через 4 минуты.

3.132 Прочитайте задачу и решите её разными способами:

а) Два велосипедиста едут по шоссе в одном направлении. Скорость первого велосипедиста $10 \, км/ч$, скорость второго – $12 \, км/ч$. Сейчас расстояние между ними $6 \, км$. Сможет ли второй велосипедист догнать первого через $3 \, ч$?

Подсказка. Можно действовать по плану задачи $3.131$ «а» и сравнить полученный результат с $3 \, ч$; другой способ – выяснить, где будут находиться на дороге велосипедисты относительно друг друга через $3 \, ч$ (используйте для наглядности рисунок).

б) Расстояние между посёлками А и В по шоссе $24 \, км$. Из посёлка А по направлению к посёлку В выехал велосипедист со скоростью $12 \, км/ч$. Одновременно с ним из посёлка В в том же направлении вышел пешеход со скоростью $4 \, км/ч$. Через какое время велосипедист сможет догнать пешехода?

а)

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Через скорость сближения

1. Сначала найдем скорость, с которой второй велосипедист догоняет первого. Это называется скоростью сближения. Так как они едут в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = 12 \text{ км/ч} - 10 \text{ км/ч} = 2 \text{ км/ч}$

2. Теперь мы знаем, что расстояние между велосипедистами сокращается на 2 км каждый час. Чтобы узнать, за какое время второй велосипедист покроет начальное расстояние в 6 км, разделим это расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{6 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$

Время, которое потребуется второму велосипедисту, чтобы догнать первого, составляет ровно 3 часа. Значит, он сможет это сделать.

Способ 2: Через расчет местоположения

1. Выясним, какое расстояние проедет каждый из велосипедистов за 3 часа.

Расстояние, которое проедет первый велосипедист: $S_1 = 10 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 30 \text{ км}$

Расстояние, которое проедет второй велосипедист: $S_2 = 12 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 36 \text{ км}$

2. Теперь определим их конечное положение. Предположим, что второй велосипедист стартует с отметки 0 км. Тогда первый в этот момент находится на отметке 6 км.

Положение первого велосипедиста через 3 часа: $6 \text{ км} + 30 \text{ км} = 36 \text{ км}$

Положение второго велосипедиста через 3 часа: $0 \text{ км} + 36 \text{ км} = 36 \text{ км}$

Поскольку через 3 часа они окажутся в одной и той же точке (на 36-м километре), это означает, что второй велосипедист догонит первого.

Ответ: да, сможет.

б)

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти время, через которое велосипедист догонит пешехода, нужно использовать понятие скорости сближения.

1. Найдем скорость сближения. Так как велосипедист и пешеход движутся в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_{вел} - v_{пеш} = 12 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$

Это означает, что расстояние между ними сокращается на 8 км каждый час.

2. Начальное расстояние между посёлками, а значит и между велосипедистом и пешеходом, составляет 24 км. Чтобы найти время, через которое велосипедист догонит пешехода, разделим это расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{24 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$

Ответ: велосипедист сможет догнать пешехода через 3 часа.

3.133 АНАЛИЗИРУЕМ

а) Мальчик заметил, что на путь по течению реки было затрачено меньше времени, чем на тот же путь против течения. Чем это можно объяснить, если учесть, что мотор лодки работал одинаково хорошо во время всей поездки?

б) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь – 2 ч. В каком направлении течёт река?

а) Это явление объясняется принципом сложения скоростей. Когда лодка движется, её скорость относительно берега является результатом сложения её собственной скорости (скорости относительно воды, которую обеспечивает мотор) и скорости течения реки.

Обозначим собственную скорость лодки как $v_{л}$, а скорость течения реки — как $v_{т}$.

При движении лодки по течению (вниз по реке) её скорость относительно берега равна сумме скоростей:

$v_{по\;течению} = v_{л} + v_{т}$

Течение помогает лодке, увеличивая её итоговую скорость.

При движении лодки против течения (вверх по реке) её скорость относительно берега равна разности скоростей:

$v_{против\;течения} = v_{л} - v_{т}$

Течение мешает движению лодки, уменьшая её итоговую скорость.

Условие, что мотор работал одинаково хорошо, означает, что собственная скорость лодки $v_{л}$ была постоянной. Поскольку скорость течения $v_{т}$ положительна, то скорость по течению всегда больше скорости против течения ($v_{л} + v_{т} > v_{л} - v_{т}$).

Время движения $t$ связано с расстоянием $s$ и скоростью $v$ формулой $t = s/v$. Так как расстояние в обе стороны одинаково, а скорость движения по течению больше, то времени на этот путь будет затрачено меньше, чем на путь против течения.

Ответ: При движении по течению скорость реки складывается со скоростью лодки, увеличивая её общую скорость и сокращая время в пути. При движении против течения скорость реки вычитается из скорости лодки, уменьшая её общую скорость и увеличивая время в пути.

б) Чтобы определить направление течения реки, нужно сравнить время, затраченное на путь в каждом направлении. Движение по течению всегда занимает меньше времени, чем движение против течения на то же расстояние.

Сравним время движения теплохода:

Время на путь из пункта А в пункт В: $t_{А \to В} = 1 \text{ ч } 40 \text{ мин}$.

Время на обратный путь из пункта В в пункт А: $t_{В \to А} = 2 \text{ ч}$.

Переведем время в минуты для удобства сравнения:

$t_{А \to В} = 1 \cdot 60 + 40 = 100 \text{ мин}$

$t_{В \to А} = 2 \cdot 60 = 120 \text{ мин}$

Поскольку $100 \text{ мин} < 120 \text{ мин}$, то $t_{А \to В} < t_{В \to А}$.

Меньшее время было затрачено на путь из пункта А в пункт В. Это означает, что на этом отрезке пути теплоход двигался с большей скоростью, то есть по течению реки.

Ответ: Река течёт в направлении от пункта А к пункту В.

3.134 Скорость катера в стоячей воде равна $12\text{ км/ч}$, а скорость течения реки равна $3\text{ км/ч}$. Определите:

a) скорость катера по течению реки;

б) скорость катера против течения реки;

в) путь катера по течению реки за $3\text{ ч}$;

г) путь катера против течения реки за $5\text{ ч}$.

Для решения задачи используем следующие данные:

• Скорость катера в стоячей воде (собственная скорость): $v_{собст} = 12$ км/ч.
• Скорость течения реки: $v_{теч} = 3$ км/ч.

а) скорость катера по течению реки

Когда катер движется по течению, его скорость равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки. Формула для расчета скорости по течению:

$v_{по\ теч} = v_{собст} + v_{теч}$

Подставляем известные значения:

$v_{по\ теч} = 12 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$

Ответ: 15 км/ч.

б) скорость катера против течения реки

Когда катер движется против течения, его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения реки. Формула для расчета скорости против течения:

$v_{против\ теч} = v_{собст} - v_{теч}$

Подставляем известные значения:

$v_{против\ теч} = 12 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$

Ответ: 9 км/ч.

в) путь катера по течению реки за 3 ч

Путь рассчитывается по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ – путь, $v$ – скорость, а $t$ – время. Используем скорость катера по течению, найденную в пункте "а".

$t = 3$ ч

$S_{по\ теч} = v_{по\ теч} \cdot t = 15 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 45 \text{ км}$

Ответ: 45 км.

г) путь катера против течения реки за 5 ч

Аналогично, используем формулу для нахождения пути, но с использованием скорости катера против течения из пункта "б".

$t = 5$ ч

$S_{против\ теч} = v_{против\ теч} \cdot t = 9 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 45 \text{ км}$

Ответ: 45 км.