Страница 68 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.96 Вычислите:

а) $17^2$;

б) $6^3$;

в) $22^2$;

г) $10^4$;

д) $10^5$;

е) $110^2$;

ж) $15^3$;

з) $42^2$.

а) Возведение в квадрат означает умножение числа на само себя. Вычислим $17^2$:
$17^2 = 17 \cdot 17 = 289$
Ответ: 289

б) Возведение в куб (третью степень) означает умножение числа на само себя три раза. Вычислим $6^3$:
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$
Ответ: 216

в) Вычислим квадрат числа 22. Для этого умножим 22 на 22:
$22^2 = 22 \cdot 22 = 484$
Ответ: 484

г) Возведение числа 10 в степень $n$ равно числу, состоящему из единицы и $n$ нулей. Вычислим $10^4$:
$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$
Ответ: 10000

д) Аналогично предыдущему пункту, вычислим $10^5$. Это будет единица с пятью нулями:
$10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100000$
Ответ: 100000

е) Чтобы вычислить $110^2$, умножим 110 на 110. Это можно представить как $(11 \cdot 10)^2$:
$110^2 = 110 \cdot 110 = (11 \cdot 10) \cdot (11 \cdot 10) = 11 \cdot 11 \cdot 100 = 121 \cdot 100 = 12100$
Ответ: 12100

ж) Вычислим куб числа 15. Для этого умножим 15 на себя три раза:
$15^3 = 15 \cdot 15 \cdot 15 = 225 \cdot 15 = 3375$
Ответ: 3375

з) Вычислим квадрат числа 42. Для этого умножим 42 на 42:
$42^2 = 42 \cdot 42 = 1764$
Ответ: 1764

3.97 Сравните значения выражений. Можно ли сделать это, не выполняя вычислений?

а) $5^3$ и $5 \cdot 3$;

б) $12^2$ и $12 \cdot 2$;

в) $2^5$ и $5^2$;

г) $3^4$ и $4^3$.

Сравнить значения выражений можно, не всегда выполняя полные вычисления, особенно в случаях а) и б). Для этого нужно понимать определение степени: $a^n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. В случаях, когда и основания, и показатели степеней различны (в, г), надёжнее и проще выполнить вычисления.

а) Сравним $5^3$ и $5 \cdot 3$.
По определению степени, $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5$.
Нам нужно сравнить $5 \cdot 5 \cdot 5$ и $5 \cdot 3$.
Можно разделить оба выражения на общий множитель 5. Тогда нужно сравнить $5 \cdot 5$ и $3$.
Так как $5 \cdot 5 = 25$, а $25 > 3$, то и исходное выражение $5^3$ больше, чем $5 \cdot 3$.
Для проверки: $5^3 = 125$, а $5 \cdot 3 = 15$. Действительно, $125 > 15$.
Ответ: $5^3 > 5 \cdot 3$.

б) Сравним $12^2$ и $12 \cdot 2$.
По определению степени, $12^2 = 12 \cdot 12$.
Нам нужно сравнить два произведения: $12 \cdot 12$ и $12 \cdot 2$.
Так как один из множителей (число 12) в обоих выражениях одинаков, для сравнения достаточно посмотреть на вторые множители: 12 и 2.
Поскольку $12 > 2$, то и произведение $12 \cdot 12$ больше, чем $12 \cdot 2$.
Для проверки: $12^2 = 144$, а $12 \cdot 2 = 24$. Действительно, $144 > 24$.
Ответ: $12^2 > 12 \cdot 2$.

в) Сравним $2^5$ и $5^2$.
В этом случае и основания, и показатели степеней различны. Сравнение без вычислений затруднительно, поэтому найдем значения выражений.
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Так как $32 > 25$, делаем вывод, что $2^5 > 5^2$.
Ответ: $2^5 > 5^2$.

г) Сравним $3^4$ и $4^3$.
Аналогично предыдущему пункту, выполним вычисления для надежного сравнения.
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
Так как $81 > 64$, делаем вывод, что $3^4 > 4^3$.
Ответ: $3^4 > 4^3$.

3.98 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Если сторона квадрата равна 5 см (рис. 3.7), то его площадь равна произведению $5 \cdot 5$ (см²), или, иначе, $5^2$ см². Запишите с помощью степени выражение для вычисления площади квадрата со стороной 1 см; 2 см; 10 см; 12 см. Вычислите.

5 см

5 см

Рис. 3.7

Площадь квадрата ($S$) со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = a^2$. Нам нужно записать выражение для вычисления площади с помощью степени и вычислить его для каждой заданной длины стороны.

1 см: Выражение для вычисления площади квадрата со стороной 1 см: $S = 1^2$ см².Вычисление: $1^2 = 1 \cdot 1 = 1$ см².Ответ: 1 см².

2 см: Выражение для вычисления площади квадрата со стороной 2 см: $S = 2^2$ см².Вычисление: $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$ см².Ответ: 4 см².

10 см: Выражение для вычисления площади квадрата со стороной 10 см: $S = 10^2$ см².Вычисление: $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$ см².Ответ: 100 см².

12 см: Выражение для вычисления площади квадрата со стороной 12 см: $S = 12^2$ см².Вычисление: $12^2 = 12 \cdot 12 = 144$ см².Ответ: 144 см².

3.99 Начертите в тетради таблицу и заполните её.

$x$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$x^2$

$x^3$

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения x из верхней строки последовательно вычислить его квадрат ($x^2$) и куб ($x^3$).

x²

Вычислим значения для строки $x^2$, возводя каждое значение x во вторую степень (умножая число само на себя):
При $x=1$, $x^2 = 1^2 = 1 \cdot 1 = 1$.
При $x=2$, $x^2 = 2^2 = 2 \cdot 2 = 4$.
При $x=3$, $x^2 = 3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
При $x=4$, $x^2 = 4^2 = 4 \cdot 4 = 16$.
При $x=5$, $x^2 = 5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
При $x=6$, $x^2 = 6^2 = 6 \cdot 6 = 36$.
При $x=7$, $x^2 = 7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
При $x=8$, $x^2 = 8^2 = 8 \cdot 8 = 64$.
При $x=9$, $x^2 = 9^2 = 9 \cdot 9 = 81$.
При $x=10$, $x^2 = 10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.

x³

Вычислим значения для строки $x^3$, возводя каждое значение x в третью степень (умножая число само на себя дважды):
При $x=1$, $x^3 = 1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
При $x=2$, $x^3 = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
При $x=3$, $x^3 = 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
При $x=4$, $x^3 = 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
При $x=5$, $x^3 = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
При $x=6$, $x^3 = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
При $x=7$, $x^3 = 7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$.
При $x=8$, $x^3 = 8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$.
При $x=9$, $x^3 = 9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$.
При $x=10$, $x^3 = 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

Итоговая заполненная таблица:

Ответ:

3.100 Начертите в тетради таблицу и заполните её.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения 𝑥 из верхней строки вычислить его квадрат, то есть $x^2$. Выполним вычисления последовательно.

Для x = 11:
$11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.
Ответ: 121

Для x = 12:
$12^2 = 12 \cdot 12 = 144$.
Ответ: 144

Для x = 13:
$13^2 = 13 \cdot 13 = 169$.
Ответ: 169

Для x = 14:
$14^2 = 14 \cdot 14 = 196$.
Ответ: 196

Для x = 15:
$15^2 = 15 \cdot 15 = 225$.
Ответ: 225

Для x = 16:
$16^2 = 16 \cdot 16 = 256$.
Ответ: 256

Для x = 17:
$17^2 = 17 \cdot 17 = 289$.
Ответ: 289

Для x = 18:
$18^2 = 18 \cdot 18 = 324$.
Ответ: 324

Для x = 19:
$19^2 = 19 \cdot 19 = 361$.
Ответ: 361

Для x = 20:
$20^2 = 20 \cdot 20 = 400$.
Ответ: 400

Теперь внесем все полученные значения в таблицу.

Итоговая таблица:

3.101 а) Найдите квадрат числа 68; 76; 83; 95.

б) Найдите число, квадрат которого равен 2116; 6084; 3844; 1936.

Подсказка: Воспользуйтесь таблицей квадратов (с.296).

а) Чтобы найти квадрат числа, необходимо умножить это число само на себя ($a^2 = a \cdot a$). В задании предлагается использовать таблицу квадратов, но можно выполнить и прямые вычисления.

Квадрат числа 68: $68^2 = 68 \cdot 68 = 4624$.

Квадрат числа 76: $76^2 = 76 \cdot 76 = 5776$.

Квадрат числа 83: $83^2 = 83 \cdot 83 = 6889$.

Квадрат числа 95: $95^2 = 95 \cdot 95 = 9025$.

Ответ: 4624; 5776; 6889; 9025.

б) Чтобы найти число, квадрат которого равен заданному значению, нужно выполнить обратную операцию — извлечь квадратный корень. Это также можно сделать с помощью таблицы квадратов или методом подбора.

Найдём число, квадрат которого равен 2116. Это $\sqrt{2116}$. Так как $40^2=1600$ и $50^2=2500$, искомое число находится между 40 и 50. Последняя цифра 6 означает, что число оканчивается на 4 или 6. Проверяем $46^2 = 2116$. Значит, искомое число — 46.

Найдём число, квадрат которого равен 6084. Это $\sqrt{6084}$. Так как $70^2=4900$ и $80^2=6400$, искомое число находится между 70 и 80. Последняя цифра 4 означает, что число оканчивается на 2 или 8. Проверяем $78^2 = 6084$. Значит, искомое число — 78.

Найдём число, квадрат которого равен 3844. Это $\sqrt{3844}$. Так как $60^2=3600$ и $70^2=4900$, искомое число находится между 60 и 70. Последняя цифра 4 означает, что число оканчивается на 2 или 8. Проверяем $62^2 = 3844$. Значит, искомое число — 62.

Найдём число, квадрат которого равен 1936. Это $\sqrt{1936}$. Так как $40^2=1600$ и $50^2=2500$, искомое число находится между 40 и 50. Последняя цифра 6 означает, что число оканчивается на 4 или 6. Проверяем $44^2 = 1936$. Значит, искомое число — 44.

Ответ: 46; 78; 62; 44.

3.102 Представьте в виде степени числа 10:

10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000.

Как называют число, равное $10^2$; $10^3$; $10^6$; $10^9$?

Представьте в виде степени числа 10: 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000.

Чтобы представить число, состоящее из единицы и следующими за ней нулями, в виде степени числа 10, нужно посчитать количество нулей. Это количество будет показателем степени, в которую возводится число 10.

$10$ — один ноль, значит, $10 = 10^1$.

$100$ — два ноля, значит, $100 = 10^2$.

$1000$ — три ноля, значит, $1000 = 10^3$.

$10\;000$ — четыре ноля, значит, $10\;000 = 10^4$.

$100\;000$ — пять нолей, значит, $100\;000 = 10^5$.

$1\;000\;000$ — шесть нолей, значит, $1\;000\;000 = 10^6$.

Ответ: $10 = 10^1$, $100 = 10^2$, $1000 = 10^3$, $10\;000 = 10^4$, $100\;000 = 10^5$, $1\;000\;000 = 10^6$.

Как называют число, равное $10^2; 10^3; 10^6; 10^9$?

У данных степеней числа 10 есть общепринятые названия:

$10^2 = 100$. Это число называют сто.

$10^3 = 1000$. Это число называют тысяча.

$10^6 = 1\;000\;000$. Это число называют миллион.

$10^9 = 1\;000\;000\;000$. Это число называют миллиард.

Ответ: $10^2$ – сто, $10^3$ – тысяча, $10^6$ – миллион, $10^9$ – миллиард.

3.103 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ Вычислите:

а) $2 \cdot 10^3$;

б) $(2 \cdot 10)^3$;

в) $3 \cdot 2^2$;

г) $(3 \cdot 2)^2$;

д) $2 \cdot 5^3$;

е) $(2 \cdot 5)^3$;

ж) $12 : 2^2$;

з) $(12 : 2)^2$.

а) В данном выражении $2 \cdot 10^3$ сначала необходимо возвести число в степень, а затем выполнить умножение. Степень $10^3$ означает, что число 10 умножается само на себя 3 раза: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. После этого выполняем умножение: $2 \cdot 1000 = 2000$.
$2 \cdot 10^3 = 2 \cdot 1000 = 2000$.
Ответ: 2000.

б) В выражении $(2 \cdot 10)^3$ сначала выполняется действие в скобках, а затем результат возводится в степень. Вычисляем произведение в скобках: $2 \cdot 10 = 20$. Затем возводим полученное число в куб: $20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 400 \cdot 20 = 8000$.
$(2 \cdot 10)^3 = 20^3 = 8000$.
Ответ: 8000.

в) В выражении $3 \cdot 2^2$ порядок действий следующий: сначала возведение в степень, затем умножение. Вычисляем $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$. Затем умножаем результат на 3: $3 \cdot 4 = 12$.
$3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$.
Ответ: 12.

г) В выражении $(3 \cdot 2)^2$ сначала нужно выполнить умножение в скобках, а потом возвести результат в степень. Умножаем числа в скобках: $3 \cdot 2 = 6$. Затем возводим 6 в квадрат: $6^2 = 6 \cdot 6 = 36$.
$(3 \cdot 2)^2 = 6^2 = 36$.
Ответ: 36.

д) В выражении $2 \cdot 5^3$ сначала вычисляем степень. $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. Затем выполняем умножение: $2 \cdot 125 = 250$.
$2 \cdot 5^3 = 2 \cdot 125 = 250$.
Ответ: 250.

е) В выражении $(2 \cdot 5)^3$ сначала выполняем действие в скобках: $2 \cdot 5 = 10$. Затем возводим результат в третью степень: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
$(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$.
Ответ: 1000.

ж) В выражении $12 : 2^2$ сначала выполняется возведение в степень. Вычисляем $2^2 = 4$. Затем выполняем деление: $12 : 4 = 3$.
$12 : 2^2 = 12 : 4 = 3$.
Ответ: 3.

з) В выражении $(12 : 2)^2$ сначала выполняется действие в скобках. Вычисляем частное: $12 : 2 = 6$. Затем возводим результат во вторую степень: $6^2 = 6 \cdot 6 = 36$.
$(12 : 2)^2 = 6^2 = 36$.
Ответ: 36.

3.104 Какому произведению равно число 3000000000? Выберите правильный ответ.

1) $3 \cdot 10^6$

2) $3 \cdot 10^7$

3) $3 \cdot 10^8$

4) $3 \cdot 10^9$

Чтобы определить, какому произведению равно число 300 000 000, представим его в стандартном виде. Стандартный вид числа имеет форму $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число.

В числе 300 000 000 мы можем выделить множитель 3. Тогда число можно представить в виде произведения:

$300\,000\,000 = 3 \cdot 100\,000\,000$

Далее, число 100 000 000 необходимо представить как степень числа 10. Показатель степени равен количеству нулей после единицы. В числе 100 000 000 содержится 8 нулей.

Следовательно, $100\,000\,000 = 10^8$.

Подставив это значение в наше произведение, получаем окончательный вид числа:

$300\,000\,000 = 3 \cdot 10^8$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа.

1) $3 \cdot 10^6$

Вычислим значение этого произведения: $3 \cdot 10^6 = 3 \cdot 1\,000\,000 = 3\,000\,000$. Этот вариант неверный.

2) $3 \cdot 10^7$

Вычислим значение этого произведения: $3 \cdot 10^7 = 3 \cdot 10\,000\,000 = 30\,000\,000$. Этот вариант неверный.

3) $3 \cdot 10^8$

Вычислим значение этого произведения: $3 \cdot 10^8 = 3 \cdot 100\,000\,000 = 300\,000\,000$. Этот вариант верный, так как он совпадает с исходным числом.

4) $3 \cdot 10^9$

Вычислим значение этого произведения: $3 \cdot 10^9 = 3 \cdot 1\,000\,000\,000 = 3\,000\,000\,000$. Этот вариант неверный.

Таким образом, правильный ответ находится под номером 3.

Ответ: 3) $3 \cdot 10^8$

3.105 Найдите значение выражения:

а) $3 \cdot 12 \cdot 5^2;$

б) $(2 \cdot 8 \cdot 7)^2;$

в) $704 : 8^2;$

г) $(96 : 24)^3;$

д) $2^2 \cdot 7^2;$

е) $3^2 \cdot 5^3.$

а) $3 \cdot 12 \cdot 5^2$

Согласно порядку выполнения действий, сначала возводим в степень, а затем выполняем умножение.

1. Вычислим значение степени: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

2. Теперь выполним умножение: $3 \cdot 12 \cdot 25$. Можно умножать по порядку: $3 \cdot 12 = 36$, и затем $36 \cdot 25 = 900$.

Выражение решено: $3 \cdot 12 \cdot 5^2 = 900$.

Ответ: $900$.

б) $(2 \cdot 8 \cdot 7)^2$

Первым действием необходимо выполнить вычисления в скобках.

1. Вычислим произведение в скобках: $2 \cdot 8 \cdot 7 = 16 \cdot 7 = 112$.

2. Теперь возведем полученный результат в квадрат: $112^2 = 112 \cdot 112 = 12544$.

Выражение решено: $(2 \cdot 8 \cdot 7)^2 = 12544$.

Ответ: $12544$.

в) $704 : 8^2$

В этом выражении сначала выполняется возведение в степень, а затем деление.

1. Вычислим значение степени: $8^2 = 8 \cdot 8 = 64$.

2. Теперь выполним деление: $704 : 64 = 11$.

Выражение решено: $704 : 8^2 = 11$.

Ответ: $11$.

г) $(96 : 24)^3$

Первым действием выполняется операция в скобках.

1. Вычислим частное в скобках: $96 : 24 = 4$.

2. Теперь возведем полученный результат в куб (третью степень): $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Выражение решено: $(96 : 24)^3 = 64$.

Ответ: $64$.

д) $2^2 \cdot 7^2$

Для решения этого примера можно воспользоваться свойством степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

1. Применим свойство: $2^2 \cdot 7^2 = (2 \cdot 7)^2$.

2. Вычислим произведение в скобках: $2 \cdot 7 = 14$.

3. Возведем результат в квадрат: $14^2 = 14 \cdot 14 = 196$.

Выражение решено: $2^2 \cdot 7^2 = 196$.

Ответ: $196$.

е) $3^2 \cdot 5^3$

Сначала необходимо вычислить значения степеней, а затем выполнить умножение.

1. Вычислим $3^2$: $3 \cdot 3 = 9$.

2. Вычислим $5^3$: $5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.

3. Теперь перемножим полученные результаты: $9 \cdot 125 = 1125$.

Выражение решено: $3^2 \cdot 5^3 = 1125$.

Ответ: $1125$.