Номер 3.97, страница 68 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 3.4. Степень числа. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 3.97, страница 68.

3.97 Сравните значения выражений. Можно ли сделать это, не выполняя вычислений?

а) $5^3$ и $5 \cdot 3$;

б) $12^2$ и $12 \cdot 2$;

в) $2^5$ и $5^2$;

г) $3^4$ и $4^3$.

Сравнить значения выражений можно, не всегда выполняя полные вычисления, особенно в случаях а) и б). Для этого нужно понимать определение степени: $a^n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. В случаях, когда и основания, и показатели степеней различны (в, г), надёжнее и проще выполнить вычисления.

а) Сравним $5^3$ и $5 \cdot 3$.
По определению степени, $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5$.
Нам нужно сравнить $5 \cdot 5 \cdot 5$ и $5 \cdot 3$.
Можно разделить оба выражения на общий множитель 5. Тогда нужно сравнить $5 \cdot 5$ и $3$.
Так как $5 \cdot 5 = 25$, а $25 > 3$, то и исходное выражение $5^3$ больше, чем $5 \cdot 3$.
Для проверки: $5^3 = 125$, а $5 \cdot 3 = 15$. Действительно, $125 > 15$.
Ответ: $5^3 > 5 \cdot 3$.

б) Сравним $12^2$ и $12 \cdot 2$.
По определению степени, $12^2 = 12 \cdot 12$.
Нам нужно сравнить два произведения: $12 \cdot 12$ и $12 \cdot 2$.
Так как один из множителей (число 12) в обоих выражениях одинаков, для сравнения достаточно посмотреть на вторые множители: 12 и 2.
Поскольку $12 > 2$, то и произведение $12 \cdot 12$ больше, чем $12 \cdot 2$.
Для проверки: $12^2 = 144$, а $12 \cdot 2 = 24$. Действительно, $144 > 24$.
Ответ: $12^2 > 12 \cdot 2$.

в) Сравним $2^5$ и $5^2$.
В этом случае и основания, и показатели степеней различны. Сравнение без вычислений затруднительно, поэтому найдем значения выражений.
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Так как $32 > 25$, делаем вывод, что $2^5 > 5^2$.
Ответ: $2^5 > 5^2$.

г) Сравним $3^4$ и $4^3$.
Аналогично предыдущему пункту, выполним вычисления для надежного сравнения.
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
Так как $81 > 64$, делаем вывод, что $3^4 > 4^3$.
Ответ: $3^4 > 4^3$.