Страница 70 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.116 Выполните прикидку результата, округлив основание степени до старшего разряда:

а) $26^2$;

б) $18^2$;

в) $115^2$;

г) $475^2$.

Образец. $59^2 \approx 60^2 = 3600$, $59^2 \approx 3600$.

а) Для того чтобы выполнить прикидку результата $26^2$, необходимо округлить основание степени, число 26, до старшего разряда. Старшим разрядом в двузначном числе является разряд десятков. Смотрим на следующую цифру (6). Так как $6 \geq 5$, округляем число 26 в большую сторону до 30. Теперь возведем округленное число в квадрат: $26^2 \approx 30^2 = 30 \cdot 30 = 900$.

Ответ: $900$

б) Округлим основание степени 18 до старшего разряда (десятков). Цифра в разряде единиц равна 8. Так как $8 \geq 5$, округляем 18 в большую сторону до 20. Выполним прикидку: $18^2 \approx 20^2 = 20 \cdot 20 = 400$.

Ответ: $400$

в) Округлим основание степени 115 до старшего разряда. Старшим разрядом в трехзначном числе является разряд сотен. Смотрим на следующую цифру (1). Так как $1 < 5$, округляем число 115 в меньшую сторону до 100. Выполним прикидку: $115^2 \approx 100^2 = 100 \cdot 100 = 10000$.

Ответ: $10000$

г) Округлим основание степени 475 до старшего разряда (сотен). Смотрим на следующую цифру (7). Так как $7 \geq 5$, округляем число 475 в большую сторону до 500. Выполним прикидку: $475^2 \approx 500^2 = 500 \cdot 500 = 250000$.

Ответ: $250000$

3.117 Какой цифрой оканчивается квадрат числа:

а) 122;

б) 923;

в) 225;

г) 147?

Чтобы определить, какой цифрой оканчивается квадрат числа, достаточно возвести в квадрат последнюю цифру этого числа. Последняя цифра результата и будет искомой цифрой.

а) Для числа 122 последняя цифра - это 2. Возводим ее в квадрат: $2^2 = 4$. Следовательно, квадрат числа 122 оканчивается на цифру 4.
Ответ: 4

б) Для числа 923 последняя цифра - это 3. Возводим ее в квадрат: $3^2 = 9$. Следовательно, квадрат числа 923 оканчивается на цифру 9.
Ответ: 9

в) Для числа 225 последняя цифра - это 5. Возводим ее в квадрат: $5^2 = 25$. Квадрат этого числа будет оканчиваться на ту же цифру, что и 25, то есть на 5.
Ответ: 5

г) Для числа 147 последняя цифра - это 7. Возводим ее в квадрат: $7^2 = 49$. Квадрат этого числа будет оканчиваться на ту же цифру, что и 49, то есть на 9.
Ответ: 9

РАССУЖДАЕМ (3.118–3.120)

3.118 Не вычисляя, объясните, почему возведение в квадрат выполнено неверно. (Воспользуйтесь результатами упражнений 3.116 и 3.117.)

а) $22^2 = 4084$

б) $66^2 = 4354$

в) $101^2 = 1021$

г) $41^2 = 1689$

а) Равенство $22^2 = 4084$ неверно. Для проверки воспользуемся методом оценки. Число 22 находится между 20 и 30. Следовательно, его квадрат должен находиться между квадратами этих чисел: $20^2 = 400$ и $30^2 = 900$. Таким образом, $22^2$ должно быть числом в промежутке от 400 до 900. Предложенный результат 4084 значительно больше 900, поэтому вычисление выполнено неверно.
Ответ: Равенство неверно.

б) Равенство $66^2 = 4354$ неверно. Это можно определить по последней цифре результата. Число 66 оканчивается на цифру 6. Квадрат любого целого числа, оканчивающегося на 6, должен также оканчиваться на 6, так как $6^2 = 36$. Предложенный результат 4354 оканчивается на 4. Так как последние цифры не совпадают ($6 \neq 4$), возведение в квадрат выполнено неверно.
Ответ: Равенство неверно.

в) Равенство $101^2 = 1021$ неверно. Воспользуемся методом оценки. Число 101 больше 100. Значит, его квадрат должен быть больше квадрата числа 100. $100^2 = 10000$. Таким образом, $101^2$ должен быть больше 10000. Предложенный результат 1021 меньше 10000, следовательно, вычисление неверно.
Ответ: Равенство неверно.

г) Равенство $41^2 = 1689$ неверно. Определим это по последней цифре. Число 41 оканчивается на цифру 1. Квадрат любого целого числа, оканчивающегося на 1, должен также оканчиваться на 1, так как $1^2 = 1$. Предложенный результат 1689 оканчивается на 9. Так как последние цифры не совпадают ($1 \neq 9$), возведение в квадрат выполнено неверно.
Ответ: Равенство неверно.

3.119 Докажите, что данное неравенство верно:

а) $29^2 < 1000$;

б) $48^2 < 3000$;

в) $42^2 > 1500$;

г) $67^2 > 3500$.

Образец. а) $28^2$ меньше, чем $30^2$, т. е. меньше, чем 900. Поэтому $28^2$ меньше 1000. Записать это рассуждение можно следующим образом:

$28^2 < 1000$, так как $28^2 < 30^2 = 900 < 1000$.

а) Чтобы доказать неравенство $29^2 < 1000$, воспользуемся методом оценки. Сравним $29^2$ с квадратом ближайшего к $29$ большего "круглого" числа, то есть с $30^2$. Так как $29 < 30$, то и $29^2 < 30^2$. Вычислим $30^2 = 900$. Поскольку $900 < 1000$, мы можем составить следующую цепочку неравенств: $29^2 < 30^2 = 900 < 1000$. Из этого следует, что $29^2 < 1000$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $48^2 < 3000$ оценим $48^2$, сравнив его с квадратом ближайшего большего "круглого" числа — $50^2$. Так как $48 < 50$, то $48^2 < 50^2$. Вычислим $50^2 = 2500$. Так как $2500 < 3000$, получаем цепочку: $48^2 < 50^2 = 2500 < 3000$. Следовательно, $48^2 < 3000$.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Чтобы доказать неравенство $42^2 > 1500$, оценим $42^2$, сравнив его с квадратом ближайшего меньшего "круглого" числа — $40^2$. Так как $42 > 40$, то $42^2 > 40^2$. Вычислим $40^2 = 1600$. Поскольку $1600 > 1500$, мы можем записать: $42^2 > 40^2 = 1600 > 1500$. Отсюда следует, что $42^2 > 1500$.

Ответ: Неравенство доказано.

г) Для доказательства неравенства $67^2 > 3500$ оценим $67^2$, сравнив его с квадратом ближайшего меньшего "круглого" числа — $60^2$. Так как $67 > 60$, то $67^2 > 60^2$. Вычислим $60^2 = 3600$. Так как $3600 > 3500$, получаем цепочку: $67^2 > 60^2 = 3600 > 3500$. Следовательно, $67^2 > 3500$.

Ответ: Неравенство доказано.

3.120 Как представить число $100^3$ в виде степени числа 10? Будем рассуждать так: $100^3$ – это произведение трёх множителей, каждый из которых равен 100, а 100 – это квадрат числа 10, т. е. произведение двух множителей, каждый из которых равен 10. Если мы заменим в первом произведении каждый из трёх множителей 100 на произведение $10 \cdot 10$, то получим произведение шести множителей, каждый из которых равен 10, значит, $100^3 = 10^6$.

Рассуждая так же, представьте в виде степени числа 10: $100^2$, $100^3$, $100^4$, $100^5$, $100^6$, $100^7$, $100^8$, $100^9$, $100^{10}$.

Прочитайте каждое из этих чисел, используя названия из таблицы.

Для решения задачи воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$. Поскольку $100 = 10^2$, то любое число вида $100^n$ можно представить как $(10^2)^n = 10^{2n}$.

$100^2$: Представим $100$ как $10^2$. Тогда $100^2 = (10^2)^2 = 10^{2 \cdot 2} = 10^4$. Число $10^4$ читается как «десять тысяч».
Ответ: $10^4$, десять тысяч.

$100^3$: Представим $100$ как $10^2$. Тогда $100^3 = (10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6$. Согласно таблице, число $10^6$ читается как «миллион».
Ответ: $10^6$, миллион.

$100^4$: Представим $100$ как $10^2$. Тогда $100^4 = (10^2)^4 = 10^{2 \cdot 4} = 10^8$. Число $10^8$ читается как «сто миллионов».
Ответ: $10^8$, сто миллионов.

$100^5$: Представим $100$ как $10^2$. Тогда $100^5 = (10^2)^5 = 10^{2 \cdot 5} = 10^{10}$. Число $10^{10}$ можно прочитать как «десять миллиардов» (так как $10^9$ – это миллиард).
Ответ: $10^{10}$, десять миллиардов.

$100^6$: Представим $100$ как $10^2$. Тогда $100^6 = (10^2)^6 = 10^{2 \cdot 6} = 10^{12}$. Согласно таблице, число $10^{12}$ читается как «триллион».
Ответ: $10^{12}$, триллион.

$100^7$: Представим $100$ как $10^2$. Тогда $100^7 = (10^2)^7 = 10^{2 \cdot 7} = 10^{14}$. Число $10^{14}$ можно прочитать как «сто триллионов» (так как $10^{12}$ – это триллион).
Ответ: $10^{14}$, сто триллионов.

$100^8$: Представим $100$ как $10^2$. Тогда $100^8 = (10^2)^8 = 10^{2 \cdot 8} = 10^{16}$. Число $10^{16}$ можно прочитать как «десять квадриллионов» (так как $10^{15}$ – это квадриллион).
Ответ: $10^{16}$, десять квадриллионов.

$100^9$: Представим $100$ как $10^2$. Тогда $100^9 = (10^2)^9 = 10^{2 \cdot 9} = 10^{18}$. Согласно таблице, число $10^{18}$ читается как «квинтиллион».
Ответ: $10^{18}$, квинтиллион.

$100^{10}$: Представим $100$ как $10^2$. Тогда $100^{10} = (10^2)^{10} = 10^{2 \cdot 10} = 10^{20}$. Число $10^{20}$ можно прочитать как «сто квинтиллионов» (так как $10^{18}$ – это квинтиллион).
Ответ: $10^{20}$, сто квинтиллионов.

3.121. АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ Квадраты на рисунке 3.8, а изображают последовательность квадратов натуральных чисел: $1^2$, $2^2$, $3^2$, .... Эти же квадраты на рисунке 3.8, б изображают последовательность чисел, получаемых по правилу: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, ... . Поэтому можно записать равенства:

$1^2 = 1;$

$2^2 = 1 + 3;$

$3^2 = 1 + 3 + 5.$

Используя эти рисунки, запишите ещё несколько равенств.

а) $1^2$

$2^2$

$3^2$

б) $1$

$1 + 3$

$1 + 3 + 5$

Рис. 3.8

Рис. 3.9

В задании показана закономерность, связывающая квадраты натуральных чисел с суммой последовательных нечётных чисел. Каждый квадрат $n^2$ можно представить как сумму первых $n$ нечётных чисел.

Из рисунка мы имеем следующие равенства:

$1^2 = 1$

$2^2 = 1 + 3 = 4$

$3^2 = 1 + 3 + 5 = 9$

Чтобы продолжить эту последовательность, нужно для каждого следующего натурального числа $n$ добавлять в сумму следующее нечётное число. Следующее нечётное число после 5 — это 7, затем 9, 11 и так далее.

Для $n = 4$:

Квадрат числа: $4^2 = 16$.

Сумма первых четырёх нечётных чисел: $1 + 3 + 5 + 7$.

Проверим: $1 + 3 + 5 + 7 = 4 + 5 + 7 = 9 + 7 = 16$.

Следовательно, следующее равенство: $4^2 = 1 + 3 + 5 + 7$.

Для $n = 5$:

Квадрат числа: $5^2 = 25$.

Сумма первых пяти нечётных чисел: $1 + 3 + 5 + 7 + 9$.

Проверим: $16 + 9 = 25$.

Следовательно, следующее равенство: $5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$.

Для $n = 6$:

Квадрат числа: $6^2 = 36$.

Сумма первых шести нечётных чисел: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$.

Проверим: $25 + 11 = 36$.

Следовательно, следующее равенство: $6^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$.

Ответ: $4^2 = 1 + 3 + 5 + 7$; $5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$; $6^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$.