Номер 3.121, страница 70 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 3.4. Степень числа. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 3.121, страница 70.

3.121. АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ Квадраты на рисунке 3.8, а изображают последовательность квадратов натуральных чисел: $1^2$, $2^2$, $3^2$, .... Эти же квадраты на рисунке 3.8, б изображают последовательность чисел, получаемых по правилу: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, ... . Поэтому можно записать равенства:

$1^2 = 1;$

$2^2 = 1 + 3;$

$3^2 = 1 + 3 + 5.$

Используя эти рисунки, запишите ещё несколько равенств.

а) $1^2$

$2^2$

$3^2$

б) $1$

$1 + 3$

$1 + 3 + 5$

Рис. 3.8

Рис. 3.9

В задании показана закономерность, связывающая квадраты натуральных чисел с суммой последовательных нечётных чисел. Каждый квадрат $n^2$ можно представить как сумму первых $n$ нечётных чисел.

Из рисунка мы имеем следующие равенства:

$1^2 = 1$

$2^2 = 1 + 3 = 4$

$3^2 = 1 + 3 + 5 = 9$

Чтобы продолжить эту последовательность, нужно для каждого следующего натурального числа $n$ добавлять в сумму следующее нечётное число. Следующее нечётное число после 5 — это 7, затем 9, 11 и так далее.

Для $n = 4$:

Квадрат числа: $4^2 = 16$.

Сумма первых четырёх нечётных чисел: $1 + 3 + 5 + 7$.

Проверим: $1 + 3 + 5 + 7 = 4 + 5 + 7 = 9 + 7 = 16$.

Следовательно, следующее равенство: $4^2 = 1 + 3 + 5 + 7$.

Для $n = 5$:

Квадрат числа: $5^2 = 25$.

Сумма первых пяти нечётных чисел: $1 + 3 + 5 + 7 + 9$.

Проверим: $16 + 9 = 25$.

Следовательно, следующее равенство: $5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$.

Для $n = 6$:

Квадрат числа: $6^2 = 36$.

Сумма первых шести нечётных чисел: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$.

Проверим: $25 + 11 = 36$.

Следовательно, следующее равенство: $6^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$.

Ответ: $4^2 = 1 + 3 + 5 + 7$; $5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$; $6^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$.