Страница 65 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.85 a) Две бригады, работая вместе, сшили 120 костюмов. Одна бригада шила 13 костюмов в день, а другая – 11. Сколько костюмов сшила каждая бригада?

б) Библиотеке надо переплести 900 книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 10 дней, а вторая – за 15 дней. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе?

а)

Сначала найдем, сколько костюмов обе бригады шили вместе за один день. Для этого сложим их дневную производительность.

$13 + 11 = 24$ (костюма в день)

Теперь, зная общую производительность и общее количество сшитых костюмов, мы можем найти, сколько дней они работали вместе.

$120 / 24 = 5$ (дней)

Зная количество дней, рассчитаем, сколько костюмов сшила каждая бригада за это время.

Первая бригада сшила:

$13 * 5 = 65$ (костюмов)

Вторая бригада сшила:

$11 * 5 = 55$ (костюмов)

Ответ: первая бригада сшила 65 костюмов, вторая бригада сшила 55 костюмов.

б)

Сначала определим производительность каждой мастерской, то есть сколько книг в день может переплести каждая из них.

Производительность первой мастерской:

$900 \text{ книг} / 10 \text{ дней} = 90$ (книг/день)

Производительность второй мастерской:

$900 \text{ книг} / 15 \text{ дней} = 60$ (книг/день)

Теперь найдем их общую производительность при совместной работе, сложив производительность каждой мастерской.

$90 + 60 = 150$ (книг/день)

Наконец, разделим общее количество книг на общую производительность, чтобы найти, за сколько дней они выполнят работу вместе.

$900 / 150 = 6$ (дней)

Ответ: работая вместе, мастерские выполнят эту работу за 6 дней.

РАССУЖДАЕМ (3.86–3.88)

3.86 Прочитайте задачу:

«Масса пакета, в котором 4 яблока и 10 слив, равна 600 г, а масса пакета, в котором 2 яблока и 10 слив, равна 400 г. Чему равна масса одного яблока и масса одной сливы?»

Будем рассуждать так. Масса первого пакета больше, чем второго. Слив в нём столько же, сколько во втором, а яблок на 2 больше. Значит, разница в массе происходит от того, что в пакете два лишних яблока. Можно узнать, какова масса двух яблок. Продолжите это рассуждение и доведите решение до конца.

Продолжим рассуждение, предложенное в задаче. Нам известно, что разница в массе между двумя пакетами обусловлена разницей в количестве яблок, так как количество слив в них одинаково.

1. Найдем разницу в массе между первым и вторым пакетами. Масса первого пакета — 600 г, второго — 400 г.
$600 - 400 = 200$ (г).

2. Найдем разницу в количестве яблок. В первом пакете 4 яблока, а во втором — 2.
$4 - 2 = 2$ (яблока).

3. Разница в массе (200 г) приходится на разницу в количестве яблок (2 яблока). Следовательно, мы можем найти массу одного яблока.
$200 : 2 = 100$ (г) — масса одного яблока.

4. Теперь, зная массу одного яблока, мы можем вычислить массу одной сливы. Возьмем данные второго пакета: 2 яблока и 10 слив весят 400 г. Сначала найдем массу двух яблок в этом пакете.
$100 * 2 = 200$ (г) — масса двух яблок.

5. Вычтем массу яблок из общей массы пакета, чтобы узнать, сколько весят 10 слив.
$400 - 200 = 200$ (г) — масса десяти слив.

6. Наконец, найдем массу одной сливы.
$200 : 10 = 20$ (г) — масса одной сливы.

Ответ: масса одного яблока — 100 г, масса одной сливы — 20 г.

3.87 Первый покупатель купил 2 большие коробки яиц и 4 маленькие. Он заплатил за покупку на 48 р. меньше, чем второй покупатель, который купил 4 большие коробки яиц и 4 маленькие. Известно, что большая коробка на 8 р. дороже маленькой. Определите, какая сумма была получена кассой магазина за эти две покупки.

Подсказка. Рассуждайте так же, как в упражнении 3.86.

Для решения этой задачи давайте проанализируем покупки.

Покупка первого покупателя: 2 большие коробки и 4 маленькие.

Покупка второго покупателя: 4 большие коробки и 4 маленькие.

Разница в их покупках заключается в количестве больших коробок. Второй покупатель купил на $4 - 2 = 2$ большие коробки больше.

По условию, первый покупатель заплатил на 48 рублей меньше, чем второй. Это означает, что разница в стоимости их покупок, которая составляет 48 рублей, приходится именно на эти 2 дополнительные большие коробки.

Следовательно, мы можем найти стоимость одной большой коробки:

$48 \text{ р.} \div 2 = 24$ рубля.

Теперь, зная стоимость большой коробки, найдем стоимость маленькой. Известно, что большая коробка на 8 рублей дороже маленькой. Значит, маленькая коробка на 8 рублей дешевле большой:

$24 \text{ р.} - 8 \text{ р.} = 16$ рублей.

Мы определили, что большая коробка стоит 24 рубля, а маленькая — 16 рублей. Теперь рассчитаем стоимость каждой покупки.

Стоимость покупки первого покупателя:

$2 \times 24 + 4 \times 16 = 48 + 64 = 112$ рублей.

Стоимость покупки второго покупателя:

$4 \times 24 + 4 \times 16 = 96 + 64 = 160$ рублей.

Чтобы найти общую сумму, полученную кассой за эти две покупки, сложим их стоимости:

$112 + 160 = 272$ рубля.

Ответ: 272 рубля.

3.88 Петя, Коля и Слава поочередно парами становились на весы. Петя и Коля вместе весят 55 кг, Коля и Слава – 58 кг, а Петя и Слава – 59 кг. Сколько весит каждый мальчик?

Подсказка.

Если сложить все показания весов, то мы получим удвоенный вес всех мальчиков: $ (Петя + Коля) + (Коля + Слава) + (Петя + Слава). $

Для решения задачи введем переменные, обозначающие вес каждого мальчика:

• Пусть $П$ — вес Пети.
• Пусть $К$ — вес Коли.
• Пусть $С$ — вес Славы.

Исходя из условия задачи, можно составить систему из трех уравнений:

$П + К = 55$ (вес Пети и Коли)

$К + С = 58$ (вес Коли и Славы)

$П + С = 59$ (вес Пети и Славы)

Чтобы найти суммарный вес всех мальчиков, сложим все три уравнения. При сложении левых частей вес каждого мальчика будет посчитан дважды:

$(П + К) + (К + С) + (П + С) = 55 + 58 + 59$

$2П + 2К + 2С = 172$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2 \cdot (П + К + С) = 172$

Теперь найдем общий вес трех мальчиков, разделив обе части уравнения на 2:

$П + К + С = 172 / 2 = 86$ кг.

Зная, что общий вес всех троих равен 86 кг, мы можем определить вес каждого мальчика.

Сколько весит Слава

Чтобы найти вес Славы, вычтем из общего веса мальчиков $(П + К + С)$ совместный вес Пети и Коли $(П + К)$:

$С = (П + К + С) - (П + К) = 86 - 55 = 31$ кг.

Сколько весит Петя

Чтобы найти вес Пети, вычтем из общего веса совместный вес Коли и Славы $(К + С)$:

$П = (П + К + С) - (К + С) = 86 - 58 = 28$ кг.

Сколько весит Коля

Чтобы найти вес Коли, вычтем из общего веса совместный вес Пети и Славы $(П + С)$:

$К = (П + К + С) - (П + С) = 86 - 59 = 27$ кг.

Ответ: Петя весит 28 кг, Коля весит 27 кг, Слава весит 31 кг.

3.89 a) Запишите в виде суммы разрядных слагаемых числа: 364, 9049, 24 307.

б) Дано число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых: $3 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 1$. Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число, которое получится, если к данному числу приписать справа нуль; два нуля.

а)

Запись числа в виде суммы разрядных слагаемых — это его представление в виде суммы произведений каждой цифры на её разрядное значение (1, 10, 100, 1000 и т.д.).

Для числа 364:
$364 = 3 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 4 \cdot 1$

Для числа 9049:
$9049 = 9 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 9 \cdot 1 = 9 \cdot 1000 + 4 \cdot 10 + 9 \cdot 1$

Для числа 24 307:
$24307 = 2 \cdot 10000 + 4 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 7 \cdot 1 = 2 \cdot 10000 + 4 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 7 \cdot 1$

Слагаемые, в которых один из множителей равен нулю (например, $0 \cdot 100$ в числе 9049), обычно не записывают в итоговой сумме.

Ответ: $364 = 3 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 4 \cdot 1$; $9049 = 9 \cdot 1000 + 4 \cdot 10 + 9 \cdot 1$; $24307 = 2 \cdot 10000 + 4 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 7 \cdot 1$.

б)

Сначала определим исходное число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых:
$3 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 1 = 300 + 20 + 1 = 321$.

Далее представим в виде суммы разрядных слагаемых числа, которые получатся, если к числу 321 приписать нули.

1. Если к числу 321 приписать справа один нуль, получится число 3210.
Приписывание нуля справа равносильно умножению числа на 10. Каждый разряд в исходном числе увеличивается в 10 раз: сотни становятся тысячами, десятки – сотнями, а единицы – десятками.
Сумма разрядных слагаемых для числа 3210 будет выглядеть так:
$3 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 1 \cdot 10$.

2. Если к числу 321 приписать справа два нуля, получится число 32100.
Приписывание двух нулей равносильно умножению на 100. Каждый разряд в исходном числе увеличивается в 100 раз.
Сумма разрядных слагаемых для числа 32100 будет выглядеть так:
$3 \cdot 10000 + 2 \cdot 1000 + 1 \cdot 100$.

Ответ: если приписать нуль: $3 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 1 \cdot 10$; если приписать два нуля: $3 \cdot 10000 + 2 \cdot 1000 + 1 \cdot 100$.

3.90 Даны цифры $2, 3, 4$.

а) Запишите все нечётные двузначные числа, которые можно составить, используя только эти цифры. Сколько всего таких чисел?

б) Запишите все нечётные трёхзначные числа, которые можно составить, используя только эти цифры. Сколько всего таких чисел?

а)

Для составления нечётных двузначных чисел из цифр 2, 3, 4 необходимо, чтобы число оканчивалось на нечётную цифру. Среди данных цифр {2, 3, 4} нечётной является только цифра 3.

Следовательно, любое искомое число должно иметь 3 в разряде единиц. В условии не указано, что цифры не могут повторяться, поэтому будем считать, что могут.

Двузначное число состоит из двух позиций: десятки и единицы.

• На позицию единиц можно поставить только одну цифру — 3.
• На позицию десятков можно поставить любую из трёх данных цифр: 2, 3 или 4.

Таким образом, получаем следующие числа:

• 23 (десятки — 2, единицы — 3)
• 33 (десятки — 3, единицы — 3)
• 43 (десятки — 4, единицы — 3)

Общее количество таких чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции: $3 \times 1 = 3$.

Ответ: 23, 33, 43. Всего 3 числа.

б)

Для составления нечётных трёхзначных чисел из цифр 2, 3, 4, как и в предыдущем случае, последняя цифра (единицы) должна быть нечётной. Это снова может быть только цифра 3.

Трёхзначное число состоит из трёх позиций: сотни, десятки и единицы.

• На позицию единиц можно поставить только одну цифру — 3.
• На позицию десятков можно поставить любую из трёх данных цифр: 2, 3 или 4.
• На позицию сотен также можно поставить любую из трёх данных цифр: 2, 3 или 4.

Общее количество таких чисел можно найти по правилу произведения в комбинаторике: $3 \times 3 \times 1 = 9$.

Перечислим все возможные числа:

• Если на месте сотен стоит 2: 223, 233, 243.
• Если на месте сотен стоит 3: 323, 333, 343.
• Если на месте сотен стоит 4: 423, 433, 443.

Ответ: 223, 233, 243, 323, 333, 343, 423, 433, 443. Всего 9 чисел.

3.91 1) Перечертите в тетрадь ломаную, изображённую на рисунке 3.6, измерьте её звенья и найдите длину ломаной.

Рис. 3.6

2) Теперь вам надо построить ломаную, длина которой равна 20 см и которая состоит из четырёх звеньев различной длины. Спланируйте свою работу, разбив её на два шага, и выполните задание.

Для того чтобы найти длину ломаной ABCD, необходимо найти длины её звеньев AB, BC и CD, а затем сложить их. Длину каждого звена можно вычислить с помощью теоремы Пифагора, приняв сторону одной клетки за единицу длины.

1. Найдём длину звена AB. Это звено является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны 2 клеткам по горизонтали и 2 клеткам по вертикали. Длина AB равна:
$|AB| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ единиц.

2. Найдём длину звена BC. Это звено является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 4 клеткам по горизонтали и 2 клеткам по вертикали. Длина BC равна:
$|BC| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ единиц.

3. Найдём длину звена CD. Это звено является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 5 клеткам по горизонтали и 1 клетке по вертикали. Длина CD равна:
$|CD| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$ единиц.

4. Найдём общую длину ломаной. Длина ломаной $L$ равна сумме длин её звеньев:
$L = |AB| + |BC| + |CD| = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + \sqrt{26}$ единиц.

В задании также предлагается "измерить" звенья. Это подразумевает использование линейки и получение приближённых значений. Если принять сторону клетки за 1 см, то, вычислив приближённые значения, получим:
$|AB| = 2\sqrt{2} \approx 2,8$ см
$|BC| = 2\sqrt{5} \approx 4,5$ см
$|CD| = \sqrt{26} \approx 5,1$ см

Общая длина ломаной в этом случае будет: $L \approx 2,8 + 4,5 + 5,1 = 12,4$ см.

Ответ: Длины звеньев ломаной примерно равны 2,8 см, 4,5 см и 5,1 см. Общая длина ломаной составляет приблизительно 12,4 см.

Необходимо построить ломаную линию, общая длина которой равна 20 см и которая состоит из четырёх звеньев различной длины. Выполним эту задачу, разбив работу на два шага: планирование и выполнение.

Планирование работы

Шаг 1: Подбор длин звеньев.
Сначала нужно найти четыре различных положительных числа, сумма которых равна 20. Эти числа будут длинами звеньев нашей ломаной. Существует множество таких комбинаций. Для простоты выберем целые числа. Например, можно взять звенья со следующими длинами: 3 см, 4 см, 6 см и 7 см.
Проверим сумму: $3 + 4 + 6 + 7 = 20$ см. Все длины различны, поэтому этот набор нам подходит.

Шаг 2: План построения.
После того как длины выбраны, можно построить ломаную. Построение выполняется последовательно с помощью линейки:
1. Начертить первый отрезок длиной 3 см.
2. От конца первого отрезка начертить второй отрезок длиной 4 см под произвольным углом.
3. От конца второго отрезка начертить третий отрезок длиной 6 см.
4. От конца третьего отрезка начертить четвертый отрезок длиной 7 см.

Выполнение задания

Следуя разработанному плану, выполним построение, используя выбранные длины: 3 см, 4 см, 6 см и 7 см.
1. С помощью линейки чертим отрезок AB длиной 3 см.
2. От точки B чертим отрезок BC длиной 4 см.
3. От точки C чертим отрезок CD длиной 6 см.
4. От точки D чертим отрезок DE длиной 7 см.
В результате мы получили ломаную ABCDE, которая состоит из четырёх звеньев разной длины. Её общая длина равна $3 + 4 + 6 + 7 = 20$ см. Задание выполнено.

Ответ: План работы состоит из двух шагов: 1) выбор четырёх различных длин, дающих в сумме 20 см (например, 3 см, 4 см, 6 см, 7 см); 2) последовательное построение отрезков этих длин. В результате выполнения плана построена ломаная, удовлетворяющая всем условиям задачи.