Страница 60 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.60 Сравните величины:

a) $14 \text{ м}$ и $138 \text{ дм } 10 \text{ см}$;

б) $835 \text{ см}$ и $100 \text{ м}$;

в) $12 \text{ т}$ и $10290 \text{ кг}$;

г) $2 \text{ ч } 12 \text{ мин}$ и $212 \text{ мин}$.

а) Чтобы сравнить 14 м и 138 дм 10 см, необходимо привести обе величины к одной единице измерения. Удобнее всего перевести все в сантиметры (см).

1. Переведем 14 м в сантиметры. Мы знаем, что в одном метре содержится 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$):

$14 \text{ м} = 14 \times 100 \text{ см} = 1400 \text{ см}$

2. Переведем 138 дм 10 см в сантиметры. Мы знаем, что в одном дециметре содержится 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$):

$138 \text{ дм } 10 \text{ см} = (138 \times 10) \text{ см} + 10 \text{ см} = 1380 \text{ см} + 10 \text{ см} = 1390 \text{ см}$

3. Теперь сравним полученные значения в сантиметрах:

$1400 \text{ см} > 1390 \text{ см}$

Следовательно, исходные величины соотносятся так же: $14 \text{ м} > 138 \text{ дм } 10 \text{ см}$.

Ответ: $14 \text{ м} > 138 \text{ дм } 10 \text{ см}$.

б) Чтобы сравнить 835 см и 100 м, приведем обе величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам (см).

1. Первая величина уже дана в сантиметрах: $835 \text{ см}$.

2. Переведем 100 м в сантиметры ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$):

$100 \text{ м} = 100 \times 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}$

3. Сравним полученные значения:

$835 \text{ см} < 10000 \text{ см}$

Следовательно, $835 \text{ см} < 100 \text{ м}$.

Ответ: $835 \text{ см} < 100 \text{ м}$.

в) Чтобы сравнить 12 т и 10 290 кг, приведем обе величины к килограммам (кг).

1. Переведем 12 тонн в килограммы. Мы знаем, что в одной тонне содержится 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$):

$12 \text{ т} = 12 \times 1000 \text{ кг} = 12000 \text{ кг}$

2. Вторая величина уже дана в килограммах: $10290 \text{ кг}$.

3. Сравним полученные значения:

$12000 \text{ кг} > 10290 \text{ кг}$

Следовательно, $12 \text{ т} > 10290 \text{ кг}$.

Ответ: $12 \text{ т} > 10290 \text{ кг}$.

г) Чтобы сравнить 2 ч 12 мин и 212 мин, приведем обе величины к минутам (мин).

1. Переведем 2 ч 12 мин в минуты. Мы знаем, что в одном часе содержится 60 минут ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$):

$2 \text{ ч } 12 \text{ мин} = (2 \times 60) \text{ мин} + 12 \text{ мин} = 120 \text{ мин} + 12 \text{ мин} = 132 \text{ мин}$

2. Вторая величина уже дана в минутах: $212 \text{ мин}$.

3. Сравним полученные значения:

$132 \text{ мин} < 212 \text{ мин}$

Следовательно, $2 \text{ ч } 12 \text{ мин} < 212 \text{ мин}$.

Ответ: $2 \text{ ч } 12 \text{ мин} < 212 \text{ мин}$.

3.61 1) Запишите ряд чисел, который получится, если последовательно округлять число 528 709 до десятков, до сотен и т. д. до высшего разряда.

2) Запишите полученные приближения в порядке возрастания.

1) Последовательно округлим число 528 709 до десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч.

Округление до десятков: в разряде единиц стоит цифра 9. Так как $9 \ge 5$, то цифру в разряде десятков увеличиваем на 1. Получаем $528 710$.

Округление до сотен: в разряде десятков стоит цифра 0. Так как $0 < 5$, то цифру в разряде сотен оставляем без изменений. Получаем $528 700$.

Округление до тысяч: в разряде сотен стоит цифра 7. Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде тысяч увеличиваем на 1. Получаем $529 000$.

Округление до десятков тысяч: в разряде тысяч стоит цифра 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде десятков тысяч увеличиваем на 1. Получаем $530 000$.

Округление до сотен тысяч (высший разряд): в разряде десятков тысяч стоит цифра 2. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде сотен тысяч оставляем без изменений. Получаем $500 000$.

Таким образом, получился следующий ряд чисел: 528 710, 528 700, 529 000, 530 000, 500 000.

Ответ: 528 710, 528 700, 529 000, 530 000, 500 000.

2) Запишем полученные приближения в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему).

Сравниваем числа, полученные в первом пункте: 500 000, 528 700, 528 710, 529 000, 530 000.

Располагая их в порядке возрастания, получаем ряд: 500 000, 528 700, 528 710, 529 000, 530 000.

Ответ: 500 000, 528 700, 528 710, 529 000, 530 000.

3.62 Запишите все четырёхзначные числа, которые можно составить, используя только цифры 0 и 1. Сколько всего таких чисел?

Запишите все четырёхзначные числа, которые можно составить, используя только цифры 0 и 1

По определению, четырёхзначное число не может начинаться с цифры 0. Поэтому на первом месте (в разряде тысяч) может стоять только цифра 1. На остальных трёх позициях (сотни, десятки, единицы) может стоять любая из двух цифр: 0 или 1.

Систематически переберём все возможные комбинации для последних трёх цифр, оставляя первую цифру равной 1:

1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.

Ответ: 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.

Сколько всего таких чисел?

Для подсчёта общего количества таких чисел воспользуемся комбинаторным правилом умножения. У нас есть четыре позиции для цифр в числе.
- Для первой позиции (разряд тысяч) есть только 1 вариант — цифра 1.
- Для второй позиции (разряд сотен) есть 2 варианта — цифры 0 или 1.
- Для третьей позиции (разряд десятков) есть 2 варианта — цифры 0 или 1.
- Для четвёртой позиции (разряд единиц) есть 2 варианта — цифры 0 или 1.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:
$1 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$

Таким образом, можно составить 8 различных четырёхзначных чисел.

Ответ: 8 чисел.

3.63 Наблюдаем и анализируем

Окна, расположенные на центральной башне церкви, построенной в готическом стиле (рис. 3.4, а), имеют форму, показанную на рисунке 3.4, б. Воспроизведите рисунок, задав ширину окна самостоятельно.

Подсказка. Радиус самой маленькой окружности в 6 раз меньше ширины окна.

а) б) Рис. 3.4

Для воспроизведения рисунка готического окна необходимо выполнить ряд геометрических построений, используя заданные соотношения. В основе рисунка лежит большая полуокружность, в которую вписаны две меньшие полуокружности и одна окружность.

1. Определение основных параметров.
Сначала зададим ширину окна, обозначив ее как $W$. Пусть, для примера, $W = 18$ см. Эта ширина является диаметром большой полуокружности, которая образует арку окна.Радиус большой полуокружности, $R$, будет равен половине ее диаметра:$R = W/2 = 18/2 = 9$ см.

2. Расчет радиусов вписанных фигур.
На основании большой полуокружности расположены две одинаковые меньшие полуокружности. Их суммарный диаметр равен диаметру большой полуокружности. Следовательно, диаметр каждой меньшей полуокружности равен $R$, а их радиус, $r_1$, равен:$r_1 = R/2 = 9/2 = 4.5$ см.
В задаче дана подсказка: радиус самой маленькой окружности, $r_2$, в 6 раз меньше ширины окна.$r_2 = W/6 = 18/6 = 3$ см.

3. Проверка соотношений и нахождение центра маленькой окружности.
Проверим, согласуется ли это значение с геометрией рисунка. Установим систему координат так, чтобы центр основания окна (и центр большой полуокружности) находился в точке $(0, 0)$.
Из соображений симметрии, центр маленькой окружности должен лежать на оси $y$, пусть его координаты $(0, y_c)$.Так как маленькая окружность касается большой полуокружности изнутри, расстояние между их центрами равно разности их радиусов:$y_c = R - r_2$.
Маленькая окружность также касается двух меньших полуокружностей снаружи. Центр правой меньшей полуокружности находится в точке $(r_1, 0) = (R/2, 0)$. Расстояние между центрами маленькой и правой меньшей окружности должно быть равно сумме их радиусов:$\sqrt{(R/2 - 0)^2 + (0 - y_c)^2} = r_1 + r_2 = R/2 + r_2$.
Подставим $y_c = R - r_2$ в это уравнение и возведем обе части в квадрат:$(R/2)^2 + (R - r_2)^2 = (R/2 + r_2)^2$$R^2/4 + R^2 - 2Rr_2 + r_2^2 = R^2/4 + Rr_2 + r_2^2$$R^2 - 2Rr_2 = Rr_2$$R^2 = 3Rr_2$
Отсюда получаем, что $r_2 = R/3$.Если подставить $R = W/2$, то $r_2 = (W/2)/3 = W/6$. Это подтверждает правильность подсказки.Теперь найдем координату центра маленькой окружности:$y_c = R - r_2 = 9 - 3 = 6$ см.

4. Пошаговая инструкция для рисования.
1. Начертите горизонтальный отрезок $AB$ длиной $W=18$ см. 2. Найдите его середину, точку $O$. 3. Из точки $O$ как из центра проведите полуокружность радиусом $R=9$ см над отрезком $AB$. 4. Разделите отрезок $AB$ на четыре равные части точками $O_1$ и $O_2$ (точка $O_1$ - середина $AO$, точка $O_2$ - середина $OB$). 5. Из точки $O_1$ как из центра проведите полуокружность радиусом $r_1=4.5$ см над отрезком $AO$. 6. Аналогично, из точки $O_2$ проведите полуокружность радиусом $r_1=4.5$ см над отрезком $OB$. 7. От точки $O$ вверх по оси симметрии отложите отрезок длиной $y_c = 6$ см и отметьте точку $O_3$. Это будет центр маленькой окружности. 8. Из точки $O_3$ как из центра проведите окружность радиусом $r_2=3$ см.

Ответ: Для воспроизведения рисунка необходимо задать ширину окна $W$. Затем построить большую полуокружность с радиусом $R = W/2$. На ее основании построить две меньшие полуокружности с радиусами $r_1 = R/2 = W/4$. Наконец, вписать между тремя дугами окружность с радиусом $r_2 = R/3 = W/6$. Центр этой окружности будет находиться на оси симметрии на расстоянии $y_c = 2R/3 = W/3$ от основания окна.