Страница 55 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Приведите примеры деления чисел и назовите делимое, делитель и частное.

Деление — это арифметическая операция, обратная умножению. Число, которое делят, называется делимым. Число, на которое делят, называется делителем. Результат деления называется частным.

Общая формула выглядит так: $ \text{делимое} \div \text{делитель} = \text{частное} $.

Рассмотрим несколько примеров:

В выражении $10 \div 2 = 5$:

• число 10 — это делимое;
• число 2 — это делитель;
• число 5 — это частное.

Ответ: Делимое — 10, делитель — 2, частное — 5.

В выражении $48 \div 6 = 8$:

• Делимое: 48;
• Делитель: 6;
• Частное: 8.

Ответ: Делимое — 48, делитель — 6, частное — 8.

В выражении $25 \div 5 = 5$:

• Делимое: 25;
• Делитель: 5;
• Частное: 5.

Ответ: Делимое — 25, делитель — 5, частное — 5.

В выражении $15 \div 4 = 3.75$ (частное может быть нецелым числом):

• Делимое: 15;
• Делитель: 4;
• Частное: 3.75.

Ответ: Делимое — 15, делитель — 4, частное — 3.75.

Известно, что произведение натуральных чисел $a$ и $b$ равно $c$. Запишите это утверждение в виде равенства. Запишите ещё два равенства, связывающие эти числа.

$a \cdot b = c$

$a = \frac{c}{b}$

$b = \frac{c}{a}$

Запишите это утверждение в виде равенства.

Утверждение "произведение натуральных чисел $a$ и $b$ равно $c$" означает, что результатом операции умножения числа $a$ на число $b$ является число $c$. На математическом языке это записывается в виде следующего равенства:

$a \cdot b = c$

В этом равенстве числа $a$ и $b$ называются множителями, а число $c$ — произведением.

Ответ: $a \cdot b = c$

Запишите ещё два равенства, связывающие эти числа.

Исходя из основного равенства $a \cdot b = c$, можно найти каждый из множителей ($a$ или $b$), если известны произведение ($c$) и другой множитель. Для этого используется операция деления, которая является обратной к умножению.

1. Чтобы найти множитель $a$, нужно произведение $c$ разделить на множитель $b$. Поскольку по условию $a$ и $b$ являются натуральными числами, они отличны от нуля, поэтому деление на них возможно.

$a = c : b$

2. Аналогично, чтобы найти множитель $b$, нужно произведение $c$ разделить на множитель $a$.

$b = c : a$

Эти два равенства показывают связь между делением и умножением.

Ответ: $a = c : b$ и $b = c : a$

Объясните на своём примере, почему нельзя делить на нуль.

Представим, что у нас есть 10 яблок, и мы хотим разделить их поровну между нашими друзьями. Если у нас 5 друзей, каждый получит по 2 яблока ($10 / 5 = 2$). Если у нас 2 друга, каждый получит по 5 яблок ($10 / 2 = 5$). А что, если у нас 0 друзей? Сколько яблок получит каждый «друг»? Этот вопрос не имеет смысла, потому что само действие «разделить» между никем невозможно. Нельзя раздать яблоки, если некому их давать. Это простое бытовое объяснение, почему деление на ноль лишено логики.

Теперь рассмотрим это с точки зрения математики. Деление — это операция, обратная умножению. Например, мы знаем, что $12 / 4 = 3$, потому что можем проверить это умножением: $4 \times 3 = 12$.

Давайте попробуем поделить на ноль, используя это правило, и разберём два случая.

Случай 1: Деление ненулевого числа на ноль.
Возьмём пример $5 / 0$. Предположим, что в результате получается какое-то число $x$. То есть, $5 / 0 = x$.
Согласно правилу обратной операции, это должно означать, что $0 \times x = 5$.
Но мы знаем, что любое число, умноженное на ноль, даёт в результате ноль. Не существует такого числа $x$, для которого равенство $0 \times x = 5$ было бы верным, так как это привело бы к неверному утверждению $0 = 5$. Мы пришли к противоречию.
Ответ: Деление ненулевого числа на ноль невозможно, так как не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы ненулевое число. Эта операция не имеет решения.

Случай 2: Деление нуля на ноль.
Теперь рассмотрим пример $0 / 0$. Предположим, что результат равен некоторому числу $y$. То есть, $0 / 0 = y$.
Используя обратную операцию, мы получаем $0 \times y = 0$.
Какое число $y$ удовлетворяет этому равенству? Любое! Если $y=1$, то $0 \times 1 = 0$. Если $y=42$, то $0 \times 42 = 0$. Если $y=-150$, то $0 \times (-150) = 0$.
Поскольку результатом может быть абсолютно любое число, у операции нет единственного, определённого ответа. Такая ситуация в математике называется неопределённостью.
Ответ: Деление нуля на ноль является неопределённостью, так как результатом может быть любое число, что нарушает основное свойство математической операции — получение однозначного результата.

Таким образом, деление на ноль запрещено в математике, потому что оно либо приводит к противоречию (не имеет решений), либо к неопределённости (имеет бесконечно много решений), что делает эту операцию бессмысленной.

Свойства нуля и единицы при делении записаны с помощью букв. Сформулируйте их словами и проиллюстрируйте примерами.

Свойство 1: Деление числа на 1

Запись с помощью букв: $a : 1 = a$.

Сформулированное словами правило: при делении любого числа на единицу получается то же самое число.

Пример: $35 : 1 = 35$.

Ответ: $a : 1 = a$.

Свойство 2: Деление числа на само себя

Запись с помощью букв: $a : a = 1$, при условии что $a \ne 0$.

Сформулированное словами правило: при делении любого числа, отличного от нуля, на само себя получается единица.

Пример: $19 : 19 = 1$.

Ответ: $a : a = 1$ (при $a \ne 0$).

Свойство 3: Деление нуля на число

Запись с помощью букв: $0 : a = 0$, при условии что $a \ne 0$.

Сформулированное словами правило: при делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль.

Пример: $0 : 7 = 0$.

Ответ: $0 : a = 0$ (при $a \ne 0$).

Свойство 4: Деление на нуль

Запись с помощью букв: $a : 0$.

Сформулированное словами правило: на нуль делить нельзя. Эта операция не определена в математике.

Пример: выражение $6 : 0$ не имеет смысла, так как не существует такого числа, которое при умножении на 0 дало бы в результате 6.

Ответ: на нуль делить нельзя.

3.27 Найдите произведение:

а) $1450 \cdot 18$;

б) $5603 \cdot 16$;

в) $1730 \cdot 160$;

г) $480 \cdot 3200$;

д) $470 \cdot 201$;

е) $400 \cdot 9060$.

а) Для вычисления произведения $1450 \cdot 18$ можно представить второй множитель $18$ в виде суммы $(10 + 8)$ и использовать распределительное свойство умножения.

$1450 \cdot 18 = 1450 \cdot (10 + 8) = 1450 \cdot 10 + 1450 \cdot 8 = 14500 + 11600 = 26100$.

Ответ: $26100$.

б) Аналогично предыдущему пункту, представим $16$ как сумму $(10 + 6)$.

$5603 \cdot 16 = 5603 \cdot (10 + 6) = 5603 \cdot 10 + 5603 \cdot 6 = 56030 + 33618 = 89648$.

Ответ: $89648$.

в) Чтобы найти произведение $1730 \cdot 160$, можно временно отбросить нули на концах множителей, перемножить $173$ на $16$, и к результату приписать два нуля (по одному от каждого множителя).

Сначала вычислим $173 \cdot 16 = 173 \cdot (10 + 6) = 1730 + 1038 = 2768$.

Теперь припишем два нуля к результату: $276800$.

Ответ: $276800$.

г) Для вычисления произведения $480 \cdot 3200$ перемножим числа без нулей, то есть $48$ и $32$, а затем к полученному произведению припишем три нуля (один от $480$ и два от $3200$).

$48 \cdot 32 = 48 \cdot (30 + 2) = 48 \cdot 30 + 48 \cdot 2 = 1440 + 96 = 1536$.

Приписываем три нуля: $1536000$.

Ответ: $1536000$.

д) Чтобы найти произведение $470 \cdot 201$, представим $201$ как сумму $(200 + 1)$.

$470 \cdot 201 = 470 \cdot (200 + 1) = 470 \cdot 200 + 470 \cdot 1 = 94000 + 470 = 94470$.

Ответ: $94470$.

е) Для вычисления произведения $400 \cdot 9060$ перемножим $4$ и $906$, а затем к результату припишем три нуля (два от $400$ и один от $9060$).

$4 \cdot 906 = 4 \cdot (900 + 6) = 3600 + 24 = 3624$.

Приписываем три нуля: $3624000$.

Ответ: $3624000$.

3.28 Найдите частное:

а) $7344 : 34$;

б) $22220 : 55$;

в) $31108 : 44$;

г) $63000 : 280$;

д) $252800 : 800$;

е) $20720 : 40$;

ж) $6363 : 21$;

з) $15655 : 31$;

и) $10800 : 48$.

а) $7344 : 34$

Выполним деление столбиком.
1. Делим 73 на 34. Ближайшее целое частное – 2. $34 \times 2 = 68$. Остаток $73 - 68 = 5$.
2. Сносим следующую цифру 4, получаем 54. Делим 54 на 34. Ближайшее целое частное – 1. $34 \times 1 = 34$. Остаток $54 - 34 = 20$.
3. Сносим следующую цифру 4, получаем 204. Делим 204 на 34. Частное – 6. $34 \times 6 = 204$. Остаток $204 - 204 = 0$.
Результат деления: 216.

Ответ: 216.

б) $22220 : 55$

Выполним деление столбиком.
1. Делим 222 на 55. Ближайшее целое частное – 4. $55 \times 4 = 220$. Остаток $222 - 220 = 2$.
2. Сносим следующую цифру 2, получаем 22. Так как 22 меньше 55, в частное записываем 0.
3. Сносим следующую цифру 0, получаем 220. Делим 220 на 55. Частное – 4. $55 \times 4 = 220$. Остаток $220 - 220 = 0$.
Результат деления: 404.

Ответ: 404.

в) $31108 : 44$

Выполним деление столбиком.
1. Делим 311 на 44. Ближайшее целое частное – 7. $44 \times 7 = 308$. Остаток $311 - 308 = 3$.
2. Сносим следующую цифру 0, получаем 30. Так как 30 меньше 44, в частное записываем 0.
3. Сносим следующую цифру 8, получаем 308. Делим 308 на 44. Частное – 7. $44 \times 7 = 308$. Остаток $308 - 308 = 0$.
Результат деления: 707.

Ответ: 707.

г) $63000 : 280$

Для удобства можно сократить нули в делимом и делителе: $6300 : 28$.
1. Делим 63 на 28. Ближайшее целое частное – 2. $28 \times 2 = 56$. Остаток $63 - 56 = 7$.
2. Сносим 0, получаем 70. Делим 70 на 28. Ближайшее целое частное – 2. $28 \times 2 = 56$. Остаток $70 - 56 = 14$.
3. Сносим 0, получаем 140. Делим 140 на 28. Частное – 5. $28 \times 5 = 140$. Остаток $140 - 140 = 0$.
Результат деления: 225.

Ответ: 225.

д) $252800 : 800$

Сократим нули в делимом и делителе: $2528 : 8$.
1. Делим 25 на 8. Ближайшее целое частное – 3. $8 \times 3 = 24$. Остаток $25 - 24 = 1$.
2. Сносим 2, получаем 12. Делим 12 на 8. Ближайшее целое частное – 1. $8 \times 1 = 8$. Остаток $12 - 8 = 4$.
3. Сносим 8, получаем 48. Делим 48 на 8. Частное – 6. $8 \times 6 = 48$. Остаток $48 - 48 = 0$.
Результат деления: 316.

Ответ: 316.

е) $20720 : 40$

Сократим нули: $2072 : 4$.
1. Делим 20 на 4, получаем 5. Остаток 0.
2. Сносим 7. Делим 7 на 4. Ближайшее целое частное – 1. $4 \times 1 = 4$. Остаток $7 - 4 = 3$.
3. Сносим 2, получаем 32. Делим 32 на 4, получаем 8. Остаток $32 - 32 = 0$.
Результат деления: 518.

Ответ: 518.

ж) $6363 : 21$

Выполним деление столбиком.
1. Делим 63 на 21, получаем 3. Остаток $63 - 63 = 0$.
2. Сносим 6. Так как 6 меньше 21, в частное записываем 0.
3. Сносим 3, получаем 63. Делим 63 на 21, получаем 3. Остаток $63 - 63 = 0$.
Результат деления: 303.

Ответ: 303.

з) $15655 : 31$

Выполним деление столбиком.
1. Делим 156 на 31. Ближайшее целое частное – 5. $31 \times 5 = 155$. Остаток $156 - 155 = 1$.
2. Сносим 5, получаем 15. Так как 15 меньше 31, в частное записываем 0.
3. Сносим 5, получаем 155. Делим 155 на 31, получаем 5. Остаток $155 - 155 = 0$.
Результат деления: 505.

Ответ: 505.

и) $10800 : 48$

Выполним деление столбиком.
1. Делим 108 на 48. Ближайшее целое частное – 2. $48 \times 2 = 96$. Остаток $108 - 96 = 12$.
2. Сносим 0, получаем 120. Делим 120 на 48. Ближайшее целое частное – 2. $48 \times 2 = 96$. Остаток $120 - 96 = 24$.
3. Сносим 0, получаем 240. Делим 240 на 48. Частное – 5. $48 \times 5 = 240$. Остаток $240 - 240 = 0$.
Результат деления: 225.

Ответ: 225.