Страница 53 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.18 Представьте число 2375:

а) в виде суммы двух четырёхзначных чисел;

б) в виде суммы трёх трёхзначных чисел.

а) в виде суммы двух четырёхзначных чисел

Чтобы представить число 2375 в виде суммы двух четырёхзначных чисел, нужно найти два слагаемых, каждое из которых является числом в диапазоне от 1000 до 9999, и их сумма равна 2375.
Для этого выберем произвольное четырёхзначное число, которое меньше 2375. Пусть первое слагаемое будет $1000$.
Теперь найдём второе слагаемое, вычтя первое из искомой суммы:
$2375 - 1000 = 1375$
Число $1375$ также является четырёхзначным. Проверим сложение: $1000 + 1375 = 2375$.
Таким образом, мы нашли два числа, удовлетворяющих условию. Существует множество других решений, например, $1150 + 1225$.
Ответ: $1000 + 1375$.

б) в виде суммы трёх трёхзначных чисел

Чтобы представить число 2375 в виде суммы трёх трёхзначных чисел, нужно найти три слагаемых, каждое из которых является числом в диапазоне от 100 до 999, и их сумма равна 2375.
Выберем два произвольных трёхзначных числа. Например, пусть первое число будет $900$, а второе — $800$.
Теперь найдём третье слагаемое, вычтя сумму первых двух из искомого числа:
$2375 - (900 + 800) = 2375 - 1700 = 675$
Число $675$ также является трёхзначным. Проверим сложение: $900 + 800 + 675 = 2375$.
Таким образом, мы нашли три числа, удовлетворяющих условию. Другим примером может быть $850 + 825 + 700$.
Ответ: $900 + 800 + 675$.

3.19 Найдите:

а) сумму наибольшего четырёхзначного числа и наибольшего пятизначного числа;

б) сумму наименьшего четырёхзначного числа и наибольшего шестизначного числа;

в) разность наименьшего шестизначного числа и наибольшего трёхзначного числа;

г) разность между наибольшим и наименьшим пятизначными числами, каждое из которых записано с помощью трёх цифр: 1, 2 и 3.

а)

Чтобы найти наибольшее четырехзначное число, нужно в каждый из четырех разрядов поставить наибольшую возможную цифру, то есть 9. Получаем число 9 999.
Аналогично, наибольшее пятизначное число — это 99 999.
Найдем сумму этих чисел:
$9999 + 99999 = 109998$.

Ответ: 109998.

б)

Наименьшее четырехзначное число — это 1 000 (первая цифра не может быть нулем, поэтому она равна 1, а остальные — нули для наименьшего значения).
Наибольшее шестизначное число — это 999 999.
Найдем их сумму:
$1000 + 999999 = 1000999$.

Ответ: 1000999.

в)

Наименьшее шестизначное число — это 100 000.
Наибольшее трехзначное число — это 999.
Найдем их разность:
$100000 - 999 = 99001$.

Ответ: 99001.

г)

Требуется найти разность между наибольшим и наименьшим пятизначными числами, составленными только из цифр 1, 2 и 3.
Чтобы получить наибольшее число, нужно в старшие разряды ставить наибольшие цифры. Таким образом, наибольшее пятизначное число, составленное из этих цифр, будет 33 333.
Чтобы получить наименьшее число, нужно в старшие разряды ставить наименьшие цифры. Таким образом, наименьшее пятизначное число будет 11 111.
Найдем разность между ними:
$33333 - 11111 = 22222$.

Ответ: 22222.

3.20 НАБЛЮДАЕМ И ДЕЛАЕМ ВЫВОДЫ

1) Запишите какие-нибудь два натуральных числа, сумма которых равна 15. Сколько всего существует таких пар чисел?

2) Запишите какие-нибудь два натуральных числа, разность которых равна на 15. Сколько всего таких пар чисел можно найти?

1) Нам нужно найти два натуральных числа, например $a$ и $b$, сумма которых равна 15. Это означает, что $a + b = 15$. Натуральные числа — это числа, используемые при счёте: 1, 2, 3, и так далее. Примером такой пары могут служить числа 5 и 10, так как их сумма $5 + 10 = 15$.

Чтобы найти общее количество таких пар, перечислим все возможные комбинации, считая, что порядок чисел в паре не важен (то есть пара {5, 10} и {10, 5} — это одна и та же пара):

• 1 и 14 ($1+14=15$)
• 2 и 13 ($2+13=15$)
• 3 и 12 ($3+12=15$)
• 4 и 11 ($4+11=15$)
• 5 и 10 ($5+10=15$)
• 6 и 9 ($6+9=15$)
• 7 и 8 ($7+8=15$)

Следующая возможная пара (8 и 7) является повторением уже существующей. Таким образом, всего существует 7 уникальных пар.
Ответ: Например, 5 и 10. Всего существует 7 таких пар.

2) Нам нужно найти два натуральных числа $a$ и $b$, разность которых равна 15. Если предположить, что $a$ больше $b$, то это можно записать в виде уравнения: $a - b = 15$. Из этого уравнения мы можем выразить $a$: $a = b + 15$.

Теперь мы можем взять любое натуральное число в качестве $b$ и найти для него соответствующее $a$. Например, если взять $b=1$, то $a = 1 + 15 = 16$. Таким образом, пара 16 и 1 является примером, так как $16 - 1 = 15$.

Поскольку мы можем выбрать в качестве $b$ любое натуральное число (1, 2, 3, 100, 1000 и так далее до бесконечности), для каждого выбора $b$ мы получим уникальное натуральное число $a$. Это означает, что количество таких пар не ограничено.
Ответ: Например, 16 и 1. Всего можно найти бесконечно много таких пар.

3.21 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

1) Восстановите три предыдущих и три последующих числа в последовательности:

a) ..., 30, 35, 40, ...

б) ..., 70, 61, 52, ....

2) Придумайте правило, по которому можно продолжить последовательность, и запишите пять следующих чисел:

a) 1, 3, 4, 7, 11 ...

б) 1, 3, 6, 10, 15 ....

1) а)

В данной последовательности ..., 30, 35, 40, ... каждое последующее число на 5 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=5$.

Чтобы найти три последующих числа, нужно последовательно прибавлять 5 к последнему известному числу:
$40 + 5 = 45$
$45 + 5 = 50$
$50 + 5 = 55$

Чтобы найти три предыдущих числа, нужно последовательно вычитать 5 из первого известного числа:
$30 - 5 = 25$
$25 - 5 = 20$
$20 - 5 = 15$

Таким образом, восстановленная последовательность: 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55.
Ответ: предыдущие числа: 15, 20, 25; последующие числа: 45, 50, 55.

1) б)

В последовательности ..., 70, 61, 52, ... каждое последующее число на 9 меньше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=-9$.

Чтобы найти три последующих числа, нужно последовательно вычитать 9:
$52 - 9 = 43$
$43 - 9 = 34$
$34 - 9 = 25$

Чтобы найти три предыдущих числа, нужно последовательно прибавлять 9:
$70 + 9 = 79$
$79 + 9 = 88$
$88 + 9 = 97$

Таким образом, восстановленная последовательность: 97, 88, 79, 70, 61, 52, 43, 34, 25.
Ответ: предыдущие числа: 97, 88, 79; последующие числа: 43, 34, 25.

2) а)

Рассмотрим последовательность 1, 3, 4, 7, 11, ...
Закономерность заключается в том, что каждый член последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:
$1 + 3 = 4$
$3 + 4 = 7$
$4 + 7 = 11$

Правило: каждый следующий член последовательности равен сумме двух предыдущих.

Продолжим последовательность, записав пять следующих чисел:
$7 + 11 = 18$
$11 + 18 = 29$
$18 + 29 = 47$
$29 + 47 = 76$
$47 + 76 = 123$

Ответ: правило - каждый член последовательности, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих; следующие пять чисел: 18, 29, 47, 76, 123.

2) б)

Рассмотрим последовательность 1, 3, 6, 10, 15, ...
Найдем разность между соседними членами:
$3 - 1 = 2$
$6 - 3 = 3$
$10 - 6 = 4$
$15 - 10 = 5$

Правило: чтобы получить следующий член последовательности, нужно к предыдущему прибавить число, на единицу большее, чем то, которое прибавлялось на предыдущем шаге. То есть, к первому числу прибавляем 2, ко второму результату 3, к третьему 4 и так далее.

Продолжим последовательность, записав пять следующих чисел:
$15 + 6 = 21$
$21 + 7 = 28$
$28 + 8 = 36$
$36 + 9 = 45$
$45 + 10 = 55$

Ответ: правило - к каждому последующему числу прибавляется натуральное число, которое на 1 больше, чем число, которое прибавлялось на предыдущем шаге (начиная с 2); следующие пять чисел: 21, 28, 36, 45, 55.

3.22 Решите задачу и прокомментируйте свои действия:

а) Автомобилист за три дня проехал 980 км. За первые два дня он проехал 725 км, а во второй день — на 123 км больше, чем в третий. Какое расстояние проехал автомобилист за каждый из этих дней?

б) У учителя на столе в коробке 80 цветных карандашей — красного, синего, жёлтого и зелёного цветов. Красных и синих — 27 штук, жёлтых — на 4 меньше, чем красных и синих вместе, а зелёных — на 15 штук больше, чем красных. Сколько карандашей каждого цвета в коробке?

а)

Для решения этой задачи разобьем ее на несколько последовательных действий.

1. Сначала найдем расстояние, которое автомобилист проехал за третий день. Нам известно общее расстояние за три дня (980 км) и расстояние за первые два дня (725 км). Разница между этими значениями и будет расстоянием за третий день.

$980 - 725 = 255$ (км) – расстояние, пройденное за третий день.

2. Теперь, зная расстояние за третий день, можем найти расстояние, пройденное во второй день. По условию, во второй день он проехал на 123 км больше, чем в третий.

$255 + 123 = 378$ (км) – расстояние, пройденное за второй день.

3. Наконец, найдем расстояние за первый день. Мы знаем, что за первые два дня было пройдено 725 км, и мы уже вычислили, что за второй день было пройдено 378 км. Вычтем из суммы за два дня расстояние за второй день, чтобы найти расстояние за первый.

$725 - 378 = 347$ (км) – расстояние, пройденное за первый день.

Проверим себя: сложим расстояния за все три дня: $347 + 378 + 255 = 980$ км. Результат совпадает с общим расстоянием, значит, задача решена верно.

Ответ: в первый день автомобилист проехал 347 км, во второй – 378 км, в третий – 255 км.

б)

Для решения этой задачи также выполним действия по порядку, находя количество карандашей каждого цвета.

1. Найдем количество жёлтых карандашей. Известно, что красных и синих вместе 27 штук, а жёлтых — на 4 меньше этого количества.

$27 - 4 = 23$ (шт.) – количество жёлтых карандашей.

2. Теперь мы знаем количество красных и синих (вместе) и количество жёлтых. Мы можем найти, сколько всего этих трёх видов карандашей в коробке.

$27 + 23 = 50$ (шт.) – количество красных, синих и жёлтых карандашей вместе.

3. Зная общее количество карандашей в коробке (80) и сумму красных, синих и жёлтых, мы можем найти количество зелёных карандашей.

$80 - 50 = 30$ (шт.) – количество зелёных карандашей.

4. По условию, зелёных карандашей на 15 штук больше, чем красных. Зная количество зелёных (30), мы можем найти количество красных.

$30 - 15 = 15$ (шт.) – количество красных карандашей.

5. Наконец, найдем количество синих карандашей. Мы знаем, что красных и синих вместе 27 штук, и мы уже знаем, что красных из них 15.

$27 - 15 = 12$ (шт.) – количество синих карандашей.

Проверим себя: сложим количество карандашей всех цветов: $15 \text{ (красных)} + 12 \text{ (синих)} + 23 \text{ (жёлтых)} + 30 \text{ (зелёных)} = 80$ шт. Результат совпадает с общим количеством, значит, задача решена верно.

Ответ: в коробке 15 красных, 12 синих, 23 жёлтых и 30 зелёных карандашей.

3.23 РАССУЖДАЕМ

а) Яблоко и апельсин вместе весят 415 г, апельсин и груша вместе весят 430 г. Сколько весят яблоко, апельсин, груша в отдельности, если все вместе они весят 565 г?

б) В гирлянде 44 флажка красного, синего, зелёного и жёлтого цветов. Красных, синих и зелёных флажков вместе 37 штук; синих, зелёных и жёлтых – 29 штук; красных, зелёных и жёлтых – 32 штуки. Сколько флажков каждого цвета в отдельности?

а)

Обозначим вес яблока как $Я$, вес апельсина как $А$, и вес груши как $Г$. Из условия задачи нам известно, что $Я + А = 415$ г, $А + Г = 430$ г, и все вместе $Я + А + Г = 565$ г.

1. Чтобы найти вес груши, нужно из общего веса трех фруктов вычесть вес яблока и апельсина:

$Г = (Я + А + Г) - (Я + А) = 565 - 415 = 150$ г.

2. Чтобы найти вес яблока, нужно из общего веса вычесть вес апельсина и груши:

$Я = (Я + А + Г) - (А + Г) = 565 - 430 = 135$ г.

3. Теперь, зная вес яблока, можем найти вес апельсина. Так как яблоко и апельсин вместе весят 415 г, то:

$А = 415 - Я = 415 - 135 = 280$ г.

Проверим полученные значения: $Я + А + Г = 135 + 280 + 150 = 565$ г. Все верно.

Ответ: яблоко весит 135 г, апельсин — 280 г, груша — 150 г.

б)

Обозначим количество флажков каждого цвета: $К$ — красные, $С$ — синие, $З$ — зелёные, $Ж$ — жёлтые. Из условия известно, что общее количество флажков $К + С + З + Ж = 44$. Также даны суммы по трём цветам: $К + С + З = 37$, $С + З + Ж = 29$, и $К + З + Ж = 32$.

1. Найдём количество жёлтых флажков. Для этого из общего количества флажков (44) вычтем количество красных, синих и зелёных (37):

$Ж = (К + С + З + Ж) - (К + С + З) = 44 - 37 = 7$ флажков.

2. Найдём количество красных флажков, вычитая из общего количества (44) сумму синих, зелёных и жёлтых (29):

$К = (К + С + З + Ж) - (С + З + Ж) = 44 - 29 = 15$ флажков.

3. Найдём количество синих флажков, вычитая из общего количества (44) сумму красных, зелёных и жёлтых (32):

$С = (К + С + З + Ж) - (К + З + Ж) = 44 - 32 = 12$ флажков.

4. Наконец, найдём количество зелёных флажков, вычитая из общего количества флажки всех остальных цветов, которые мы уже нашли:

$З = 44 - К - С - Ж = 44 - 15 - 12 - 7 = 44 - 34 = 10$ флажков.

Ответ: 15 красных, 12 синих, 10 зелёных и 7 жёлтых флажков.

3.24 a) Запишите все натуральные числа, которые можно подставить вместо буквы $a$, так, чтобы двойное неравенство было верным: $9996 < a < 10005$.

б) Запишите в порядке убывания числа: 25 932, 608 890, 34 156, 34 656, 60 988, 25 950. Объясните свои действия.

а)

Нам нужно найти все натуральные числа а, которые удовлетворяют двойному неравенству $9996 < a < 10 005$. Это означает, что число а должно быть строго больше 9996 и строго меньше 10 005.

Первое натуральное число, которое больше 9996, — это $9996 + 1 = 9997$.
Последнее натуральное число, которое меньше 10 005, — это $10 005 - 1 = 10 004$.

Таким образом, нам необходимо перечислить все натуральные числа в промежутке от 9997 до 10 004 включительно.

Перечислим их: 9997, 9998, 9999, 10 000, 10 001, 10 002, 10 003, 10 004.

Ответ: 9997, 9998, 9999, 10 000, 10 001, 10 002, 10 003, 10 004.

б)

Чтобы записать числа в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему), мы должны сравнить их между собой. Сравнение чисел производится по следующим правилам:
1. Большим является то число, в котором больше цифр (разрядов).
2. Если количество цифр одинаково, числа сравнивают поразрядно слева направо, начиная со старшего разряда. Большим будет то число, у которого соответствующая цифра окажется больше.

Рассмотрим данные числа: 25 932, 608 890, 34 156, 34 656, 60 988, 25 950.

Шаг 1: Сравнение по количеству разрядов.
Число 608 890 — шестизначное, а все остальные числа — пятизначные. Следовательно, 608 890 является самым большим числом.

Шаг 2: Сравнение пятизначных чисел.
Сравним оставшиеся числа: 25 932, 34 156, 34 656, 60 988, 25 950.
- Сначала смотрим на первую цифру (разряд десятков тысяч). У числа 60 988 первая цифра 6, что больше, чем у остальных (2 и 3). Значит, 60 988 — следующее по величине число. - Теперь сравниваем числа 34 156 и 34 656. Первые две цифры у них совпадают. Сравниваем третью цифру (разряд сотен): у 34 156 это 1, а у 34 656 это 6. Так как $6 > 1$, то $34 656 > 34 156$. - Осталось сравнить 25 932 и 25 950. Первые три цифры у них совпадают. Сравниваем четвертую цифру (разряд десятков): у 25 932 это 3, а у 25 950 это 5. Так как $5 > 3$, то $25 950 > 25 932$.

Шаг 3: Составляем итоговый ряд.
Расположив все числа в соответствии с результатами сравнения, получаем последовательность в порядке убывания.

Ответ: 608 890, 60 988, 34 656, 34 156, 25 950, 25 932.