Страница 51 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.3 Заполните таблицу:

$b$: 17, 25, 33, 59, , ,

$c$: 9, 16, , 19, 14, 12,

$b + c$: , , 50, 61, , 93, 52

$b - c$: , , , , 36, 58, 0

Для заполнения таблицы необходимо выполнить вычисления для каждого столбца.

Столбец 1

Даны значения $b = 17$ и $c = 9$.

Находим сумму: $b + c = 17 + 9 = 26$.

Находим разность: $b - c = 17 - 9 = 8$.

Ответ: $b+c = 26$, $b-c = 8$.

Столбец 2

Даны значения $b = 25$ и $c = 16$.

Находим сумму: $b + c = 25 + 16 = 41$.

Находим разность: $b - c = 25 - 16 = 9$.

Ответ: $b+c = 41$, $b-c = 9$.

Столбец 3

Даны значения $b = 33$ и $b + c = 50$.

Чтобы найти $c$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: $c = (b+c) - b = 50 - 33 = 17$.

Теперь находим разность: $b - c = 33 - 17 = 16$.

Ответ: $c=17$, $b-c=16$.

Столбец 4

Даны значения $c = 19$ и $b + c = 61$.

Чтобы найти $b$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: $b = (b+c) - c = 61 - 19 = 42$.

Теперь находим разность: $b - c = 42 - 19 = 23$.

Ответ: $b=42$, $b-c=23$.

Столбец 5

Даны значения $b = 59$ и $b - c = 36$.

Чтобы найти $c$, нужно из уменьшаемого вычесть разность: $c = b - (b-c) = 59 - 36 = 23$.

Теперь находим сумму: $b + c = 59 + 23 = 82$.

Ответ: $c=23$, $b+c=82$.

Столбец 6

Даны значения $c = 14$ и $b - c = 58$.

Чтобы найти $b$, нужно к разности прибавить вычитаемое: $b = (b-c) + c = 58 + 14 = 72$.

Теперь находим сумму: $b + c = 72 + 14 = 86$.

Ответ: $b=72$, $b+c=86$.

Столбец 7

Даны значения $c = 12$ и $b + c = 93$.

Чтобы найти $b$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: $b = (b+c) - c = 93 - 12 = 81$.

Теперь находим разность: $b - c = 81 - 12 = 69$.

Ответ: $b=81$, $b-c=69$.

Столбец 8

Даны значения $b + c = 52$ и $b - c = 0$.

Из второго уравнения $b - c = 0$ следует, что $b = c$.

Подставим это в первое уравнение: $b + b = 52$, или $2b = 52$.

Находим $b$: $b = 52 \div 2 = 26$.

Так как $b = c$, то $c = 26$.

Ответ: $b=26$, $c=26$.

Итоговая заполненная таблица:

3.4 Используя равенство $678 + 1357 = 2035$, найдите $2035 - 1357$ и $2035 - 678$.

Объясните, как вы рассуждали.

Данная задача решается на основе правила о взаимосвязи между компонентами сложения: суммой и слагаемыми. В исходном равенстве $678 + 1357 = 2035$ числа 678 и 1357 являются слагаемыми, а 2035 — их суммой.
Правило гласит: чтобы найти одно из слагаемых, необходимо из суммы вычесть другое слагаемое.
Используя это правило, можно найти результаты вычитания без непосредственных вычислений.

2035 - 1357
В этом выражении мы вычитаем из суммы (2035) одно из слагаемых (1357). В результате мы получим второе слагаемое из исходного равенства.
Следовательно, $2035 - 1357 = 678$.
Ответ: 678.

2035 - 678
Аналогично, в этом выражении мы вычитаем из суммы (2035) другое слагаемое (678). В результате мы получим первое слагаемое из исходного равенства.
Следовательно, $2035 - 678 = 1357$.
Ответ: 1357.

3.5 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Проверьте с помощью сложения, верно ли равенство:

ВЕНСТВО:

a) $2158 - 599 = 1559;$

б) $2601 - 765 = 1836;$

в) $10032 - 2255 = 7777;$

г) $11431 - 5316 = 6115.$

Чтобы проверить, верно ли равенство $a - b = c$, нужно выполнить проверку сложением: $c + b = a$. Если полученное равенство верно, то и исходное равенство верно.

Проверим равенство $2158 - 599 = 1559$ с помощью сложения. Для этого к предполагаемой разности $1559$ прибавим вычитаемое $599$.

$1559 + 599 = 2158$.

Так как полученная сумма $2158$ равна уменьшаемому в исходном равенстве, то равенство верно.

Ответ: верно.

Проверим равенство $2601 - 765 = 1836$ с помощью сложения. Сложим предполагаемую разность $1836$ и вычитаемое $765$.

$1836 + 765 = 2601$.

Полученная сумма $2601$ совпадает с уменьшаемым, следовательно, равенство является верным.

Ответ: верно.

Проверим равенство $10032 - 2255 = 7777$ с помощью сложения. Выполним сложение предполагаемой разности $7777$ и вычитаемого $2255$.

$7777 + 2255 = 10032$.

Результат сложения $10032$ равен уменьшаемому изначального равенства, значит, равенство верно.

Ответ: верно.

Проверим равенство $11431 - 5316 = 6115$ с помощью сложения. Сложим предполагаемую разность $6115$ и вычитаемое $5316$.

$6115 + 5316 = 11431$.

Так как полученная сумма $11431$ равна уменьшаемому, исходное равенство является верным.

Ответ: верно.

3.6 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ Сформулируйте, как найти неизвестный компонент действия, и найдите его:

а) $b + 1111 = 3000;$

б) $456 + c = 1362;$

в) $p + 207 = 1451;$

г) $1834 - y = 753;$

д) $b - 45 = 96;$

е) $2045 - x = 15;$

ж) $k - 183 = 2095;$

з) $708 + c = 1834;$

и) $2002 - x = 1362.$

а) В уравнении $b + 1111 = 3000$ неизвестным компонентом является слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$b = 3000 - 1111$
$b = 1889$
Ответ: 1889

б) В уравнении $456 + c = 1362$ неизвестным компонентом является слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$c = 1362 - 456$
$c = 906$
Ответ: 906

в) В уравнении $p + 207 = 1451$ неизвестным компонентом является слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$p = 1451 - 207$
$p = 1244$
Ответ: 1244

г) В уравнении $1834 - y = 753$ неизвестным компонентом является вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$y = 1834 - 753$
$y = 1081$
Ответ: 1081

д) В уравнении $b - 45 = 96$ неизвестным компонентом является уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$b = 96 + 45$
$b = 141$
Ответ: 141

е) В уравнении $2045 - x = 15$ неизвестным компонентом является вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 2045 - 15$
$x = 2030$
Ответ: 2030

ж) В уравнении $k - 183 = 2095$ неизвестным компонентом является уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$k = 2095 + 183$
$k = 2278$
Ответ: 2278

з) В уравнении $708 + c = 1834$ неизвестным компонентом является слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$c = 1834 - 708$
$c = 1126$
Ответ: 1126

и) В уравнении $2002 - x = 1362$ неизвестным компонентом является вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 2002 - 1362$
$x = 640$
Ответ: 640

3.7 Представьте число 2135 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых равно:

а) 750;

б) 1325.

Решите задачу и прокомментируйте свои действия (3.8–3.12).

Для того чтобы представить число в виде суммы двух слагаемых, одно из которых известно, необходимо из этого числа (которое является суммой) вычесть известное слагаемое. Полученная разность и будет вторым искомым слагаемым.

а)

Пусть искомое второе слагаемое — это x. Тогда, по условию задачи, можно составить следующее равенство:
$750 + x = 2135$
Чтобы найти неизвестное слагаемое x, вычтем из суммы (2135) известное слагаемое (750):
$x = 2135 - 750$
$x = 1385$
Таким образом, второе слагаемое равно 1385.

Ответ: $2135 = 750 + 1385$.

б)

Пусть искомое второе слагаемое — это y. Тогда, по условию задачи, можно составить следующее равенство:
$1325 + y = 2135$
Чтобы найти неизвестное слагаемое y, вычтем из суммы (2135) известное слагаемое (1325):
$y = 2135 - 1325$
$y = 810$
Таким образом, второе слагаемое равно 810.

Ответ: $2135 = 1325 + 810$.

3.8 а) В начале пути спидометр автомобиля показывал 16 523 км. Определите, каким станет показание спидометра через 670 км.

б) В начале пути спидометр автомобиля показывал 27 836 км, а в конце – 28 184 км. Какой путь проделал автомобиль?

а) Чтобы найти новое показание спидометра, нужно к начальному значению прибавить пройденное расстояние. Начальное показание составляло 16 523 км, а автомобиль проехал еще 670 км. Сложим эти два значения:

$16523 + 670 = 17193$ (км)

Таким образом, показание спидометра станет 17 193 км.

Ответ: 17 193 км.

б) Чтобы определить, какой путь проделал автомобиль, необходимо из конечного показания спидометра вычесть начальное. В начале пути спидометр показывал 27 836 км, а в конце — 28 184 км. Найдем разность этих значений:

$28184 - 27836 = 348$ (км)

Следовательно, автомобиль проделал путь длиной 348 км.

Ответ: 348 км.

3.9 a) Электричка отходит от станции каждое утро в 7 ч 27 мин и идёт до конечной станции 1 ч 55 мин. Когда она прибывает на конечную станцию?

б) Поезд прибывает на станцию в 9 ч 15 мин утра. Он находится в пути 8 ч 20 мин. В какое время он отходит от станции отправления?

а) Чтобы найти время прибытия электрички, необходимо ко времени её отправления прибавить время, которое она находится в пути.

Время отправления: 7 ч 27 мин.

Время в пути: 1 ч 55 мин.

Для вычисления времени прибытия сложим часы с часами, а минуты с минутами:

$7 \text{ ч } 27 \text{ мин} + 1 \text{ ч } 55 \text{ мин} = (7+1) \text{ ч } (27+55) \text{ мин} = 8 \text{ ч } 82 \text{ мин}$.

Поскольку в одном часе 60 минут, представим 82 минуты как сумму часов и минут:

$82 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 22 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 22 \text{ мин}$.

Теперь добавим этот час к общему количеству часов:

$8 \text{ ч} + 1 \text{ ч } 22 \text{ мин} = 9 \text{ ч } 22 \text{ мин}$.

Таким образом, электричка прибывает на конечную станцию в 9 часов 22 минуты.

Ответ: электричка прибывает на конечную станцию в 9 ч 22 мин.

б) Чтобы найти время отправления поезда, нужно из времени его прибытия вычесть время, которое он был в пути.

Время прибытия: 9 ч 15 мин.

Время в пути: 8 ч 20 мин.

Требуется вычислить разность: $9 \text{ ч } 15 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 20 \text{ мин}$.

Так как количество минут в уменьшаемом (15 мин) меньше, чем в вычитаемом (20 мин), необходимо "занять" 1 час из 9 часов и перевести его в минуты, добавив к имеющимся 15 минутам.

$9 \text{ ч } 15 \text{ мин} = (8+1) \text{ ч } 15 \text{ мин} = 8 \text{ ч } (60+15) \text{ мин} = 8 \text{ ч } 75 \text{ мин}$.

Теперь можно выполнить вычитание:

$8 \text{ ч } 75 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 20 \text{ мин} = (8-8) \text{ ч } (75-20) \text{ мин} = 0 \text{ ч } 55 \text{ мин}$.

Следовательно, поезд отошел от станции отправления в 0 часов 55 минут (или в 55 минут первого ночи).

Ответ: поезд отходит от станции отправления в 0 ч 55 мин.

3.10 а) Саша прыгнул в длину на 3 м 18 см. Это на 15 см хуже результата Вовы и на 25 см лучше результата Пети. Какие результаты в прыжках в длину показали Вова и Петя?

б) Три команды девочек участвовали в эстафете по плаванию «четыре по 25 м». Суммарное время первой команды составило 1 мин 45 с. Это на 20 с меньше, чем у второй команды, и на 8 с больше, чем у третьей команды. Какое время показали вторая и третья команды?

а)

Для решения задачи сначала переведем результат Саши в одну единицу измерения, например, в сантиметры. В 1 метре 100 сантиметров.

Результат Саши: $3 \text{ м } 18 \text{ см} = 3 \times 100 \text{ см} + 18 \text{ см} = 318 \text{ см}$.

Результат Саши на 15 см хуже результата Вовы. Это значит, что Саша прыгнул на меньшее расстояние, чем Вова. Следовательно, результат Вовы на 15 см больше.

Результат Вовы: $318 \text{ см} + 15 \text{ см} = 333 \text{ см}$. Переведем обратно в метры и сантиметры: $333 \text{ см} = 3 \text{ м } 33 \text{ см}$.

Результат Саши на 25 см лучше результата Пети. Это значит, что Саша прыгнул на большее расстояние, чем Петя. Следовательно, результат Пети на 25 см меньше.

Результат Пети: $318 \text{ см} - 25 \text{ см} = 293 \text{ см}$. Переведем обратно в метры и сантиметры: $293 \text{ см} = 2 \text{ м } 93 \text{ см}$.

Ответ: результат Вовы – 3 м 33 см, результат Пети – 2 м 93 см.

б)

Для решения задачи переведем время первой команды в одну единицу измерения, например, в секунды. В 1 минуте 60 секунд.

Время первой команды: $1 \text{ мин } 45 \text{ с} = 1 \times 60 \text{ с} + 45 \text{ с} = 105 \text{ с}$.

Время первой команды на 20 с меньше, чем у второй. Это значит, что первая команда проплыла дистанцию быстрее. Следовательно, время второй команды на 20 с больше.

Время второй команды: $105 \text{ с} + 20 \text{ с} = 125 \text{ с}$. Переведем обратно в минуты и секунды: $125 \text{ с} = 2 \text{ мин } 5 \text{ с}$ (так как $120 \text{ с} = 2 \text{ мин}$).

Время первой команды на 8 с больше, чем у третьей. Это значит, что первая команда проплыла дистанцию медленнее. Следовательно, время третьей команды на 8 с меньше.

Время третьей команды: $105 \text{ с} - 8 \text{ с} = 97 \text{ с}$. Переведем обратно в минуты и секунды: $97 \text{ с} = 1 \text{ мин } 37 \text{ с}$ (так как $60 \text{ с} = 1 \text{ мин}$).

Ответ: время второй команды – 2 мин 5 с, время третьей команды – 1 мин 37 с.

3.11 а) Во время выборов в городе за одного из двух кандидатов проголосовало 42 356 избирателей, а за другого – на 1600 избирателей больше. Сколько всего человек проголосовало за этих двух кандидатов?

б) Семья во время отпуска совершила путешествие. На автомобиле она преодолела 635 км, на поезде – на 160 км меньше, а на самолёте – на 90 км больше, чем на поезде и автомобиле вместе. Какой путь проделала семья во время путешествия?

а) Чтобы найти, сколько всего человек проголосовало, нужно сначала определить количество избирателей, проголосовавших за второго кандидата, а затем сложить это число с количеством избирателей, проголосовавших за первого кандидата.

1) Найдем, сколько избирателей проголосовало за второго кандидата. По условию, это на 1600 человек больше, чем за первого:
$42356 + 1600 = 43956$ избирателей.

2) Теперь найдем общее количество проголосовавших, сложив голоса за обоих кандидатов:
$42356 + 43956 = 86312$ человек.

Ответ: 86312 человек.

б) Чтобы найти общий путь, проделанный семьей, нужно последовательно рассчитать расстояние, которое они преодолели на каждом виде транспорта, а затем сложить все эти расстояния.

1) Найдем путь, который семья преодолела на поезде. По условию, это на 160 км меньше, чем на автомобиле:
$635 \text{ км} - 160 \text{ км} = 475 \text{ км}$.

2) Найдем путь, который семья преодолела на самолёте. Сначала вычислим расстояние, пройденное на поезде и автомобиле вместе:
$635 \text{ км} + 475 \text{ км} = 1110 \text{ км}$.
Путь на самолёте на 90 км больше этой суммы:
$1110 \text{ км} + 90 \text{ км} = 1200 \text{ км}$.

3) Теперь сложим все три расстояния, чтобы найти общий путь:
$635 \text{ км} (автомобиль) + 475 \text{ км} (поезд) + 1200 \text{ км} (самолёт) = 2310 \text{ км}$.

Ответ: 2310 км.