Страница 45 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Какие ветви дерева окажутся лишними, если каждую цифру можно использовать только один раз?

Эта задача относится к комбинаторике и рассматривает так называемое "дерево вариантов" или "дерево решений". Такое дерево используется для наглядного представления всех возможных исходов последовательных событий. В данном случае, событиями являются выборы цифр для составления числа или последовательности.

Ключевое условие задачи — каждую цифру можно использовать только один раз. Это означает, что мы имеем дело с составлением последовательностей без повторений.

Лишними ветвями в таком дереве будут те, которые нарушают это условие. Ветвь становится "лишней" в тот момент, когда она соответствует выбору цифры, которая уже была выбрана на одном из предыдущих уровней (шагов) в той же самой последовательности (пути от корня дерева). Соответственно, все последующие ветви, которые могли бы исходить из этой точки, также автоматически становятся лишними.

Пример для наглядности:

Допустим, нам нужно составить все возможные трехзначные числа из цифр {1, 2, 3}, не повторяя их. Построим соответствующее дерево вариантов и определим лишние ветви.

• Уровень 1: Выбор первой цифры (сотни).
  На этом шаге все варианты допустимы. У нас есть три основные ветви: 1, 2 и 3.
• Уровень 2: Выбор второй цифры (десятки).
  На этом уровне появляются первые лишние ветви.
  • Если первая цифра была 1, то на втором шаге мы можем выбрать 1, 2 или 3. Ветвь, ведущая к цифре 1, будет лишней, так как цифра 1 уже использована. Допустимыми остаются только ветви к 2 и 3.
  • Если первая цифра была 2, то лишней будет ветвь, ведущая к 2.
  • Если первая цифра была 3, то лишней будет ветвь, ведущая к 3.
• Уровень 3: Выбор третьей цифры (единицы).
  Здесь мы отталкиваемся от допустимых путей, полученных на втором уровне.
  • Рассмотрим путь "1 → 2". На третьем шаге мы должны выбрать третью цифру. Лишними будут ветви, ведущие к цифрам 1 и 2, так как они уже использованы в этой последовательности. Единственной допустимой ветвью будет та, что ведет к цифре 3. Таким образом, мы получаем корректное число 123.
  • Для пути "1 → 3" лишними будут ветви к 1 и 3. Допустимой будет ветвь к 2, образуя число 132.
  • Аналогичные рассуждения применяются ко всем остальным путям, начинающимся с 2 и 3.

Таким образом, лишними оказываются все те ветви, которые приводят к повторению цифры в создаваемой последовательности. Если обозначить последовательность цифр как $d_1, d_2, d_3, \dots, d_k$, то ветвь, соответствующая выбору цифры $d_k$ на $k$-м шаге, является лишней, если $d_k = d_i$ для любого $i < k$.

Ответ: Лишними окажутся все те ветви дерева, которые соответствуют выбору цифры, уже использованной на предыдущих шагах в данном конкретном пути от корня дерева. Как только в последовательности появляется повторяющаяся цифра, эта ветвь и все ее продолжения считаются лишними.

Решите с помощью построения дерева задачу о расписании уроков.

Поскольку в самой задаче не указаны конкретные предметы и их количество, решим стандартный вариант этой задачи. Допустим, нам необходимо составить расписание на день из трёх разных уроков: Математика (М), Русский язык (Р) и Литература (Л). Нужно найти, сколько всего существует различных вариантов такого расписания.

Для решения этой задачи построим дерево возможных вариантов. "Корень" дерева — это начало составления расписания. Каждый следующий уровень (ярус) дерева будет представлять собой выбор урока для определённого порядка (первый урок, второй и третий).

Шаг 1: Выбор первого урока.

На позицию первого урока мы можем поставить любой из трёх предметов. Таким образом, от "корня" дерева у нас отходят три основные ветви:

• Математика (М)
• Русский язык (Р)
• Литература (Л)

Шаг 2: Выбор второго урока.

Теперь от каждой из этих трёх ветвей мы строим новые ветви для второго урока. Важно помнить, что предметы не могут повторяться.

• Если первым уроком была Математика (М), то вторым могут быть только Русский язык (Р) или Литература (Л).
• Если первым уроком был Русский язык (Р), то вторым могут быть только Математика (М) или Литература (Л).
• Если первым уроком была Литература (Л), то вторым могут быть только Математика (М) или Русский язык (Р).

На этом этапе у нас уже $3 \times 2 = 6$ ветвей.

Шаг 3: Выбор третьего урока.

На последнем шаге для каждой из шести полученных комбинаций остаётся только один возможный вариант для третьего урока — тот предмет, который ещё не был использован.

В итоге наше дерево вариантов будет выглядеть так, а его конечные "листья" (пути от корня до конца ветви) и будут всеми возможными вариантами расписания:

1. Математика → Русский язык → Литература (М, Р, Л)
2. Математика → Литература → Русский язык (М, Л, Р)
3. Русский язык → Математика → Литература (Р, М, Л)
4. Русский язык → Литература → Математика (Р, Л, М)
5. Литература → Математика → Русский язык (Л, М, Р)
6. Литература → Русский язык → Математика (Л, Р, М)

Подсчитав количество конечных вариантов в дереве, мы видим, что всего существует 6 различных способов составить расписание.

Этот результат также можно проверить с помощью комбинаторной формулы для числа перестановок. Количество способов переставить $n$ различных объектов равно $n!$ (n-факториал). В нашем случае $n=3$, поэтому число вариантов составляет:

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Ответ: 6.

2.77 Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр только один раз?

Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9.

Для составления двузначного числа нам нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц. В условии сказано, что используются только указанные цифры, но не сказано, что они не могут повторяться.
На позицию десятков мы можем поставить любую из четырех цифр: 3, 5, 7, 9 (4 варианта).
На позицию единиц мы также можем поставить любую из этих четырех цифр (4 варианта).
Общее количество возможных чисел находится произведением числа вариантов для каждой позиции: $4 \times 4 = 16$.
Выпишем все возможные числа:

• Начинающиеся с 3: 33, 35, 37, 39.
• Начинающиеся с 5: 53, 55, 57, 59.
• Начинающиеся с 7: 73, 75, 77, 79.
• Начинающиеся с 9: 93, 95, 97, 99.

Ответ: 33, 35, 37, 39, 53, 55, 57, 59, 73, 75, 77, 79, 93, 95, 97, 99.

Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр только один раз?

В этом случае цифры в двузначном числе не должны повторяться.
Для выбора первой цифры (разряд десятков) у нас есть 4 варианта (3, 5, 7 или 9).
После того как первая цифра выбрана, для выбора второй цифры (разряд единиц) у нас останется $4 - 1 = 3$ варианта, так как одну цифру мы уже использовали и повторять ее не можем.
Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество доступных вариантов для каждого разряда:
$4 \times 3 = 12$.
Это число является количеством размещений без повторений из 4 элементов по 2, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае: $A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$.
Ответ: 12.

2.78 Запишите все двузначные числа, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, используя при записи числа каждую цифру не более одного раза. Сколько получится чисел, если каждую цифру использовать не один раз?

Запишите все двузначные числа, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, используя при записи числа каждую цифру не более одного раза.

Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц. Нам даны цифры 0, 1, 2.

1. Цифра десятков не может быть 0, иначе число будет однозначным. Следовательно, на первом месте может стоять либо 1, либо 2.

2. По условию, каждую цифру можно использовать не более одного раза (т.е. без повторений).

Рассмотрим возможные комбинации:

• Если первая цифра (десятки) – 1, то вторая цифра (единицы) может быть 0 или 2. Получаем числа: 10, 12.
• Если первая цифра (десятки) – 2, то вторая цифра (единицы) может быть 0 или 1. Получаем числа: 20, 21.

Таким образом, из данных цифр можно составить четыре двузначных числа без повторения цифр.

Ответ: 10, 12, 20, 21.

Сколько получится чисел, если каждую цифру использовать не один раз?

Это условие означает, что цифры в двузначном числе могут повторяться.

1. На место десятков по-прежнему нельзя ставить 0. Значит, для первой цифры есть 2 варианта: 1 или 2.

2. На место единиц можно поставить любую из трех данных цифр (0, 1, 2), так как повторения разрешены. Значит, для второй цифры есть 3 варианта.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждого разряда:

$2 \text{ (варианта для десятков)} \times 3 \text{ (варианта для единиц)} = 6 \text{ (чисел)}$

Перечислим эти числа для проверки: 10, 11, 12, 20, 21, 22.

Ответ: 6.

2.79 Сколькими способами можно составить патруль из двух полицейских, если на дежурство вышли четверо: Быстров, Свистунов, Умнов и Дубов?

Подсказка. Обозначьте полицейских первыми буквами их фамилий.

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько уникальных пар можно составить из четырех полицейских. Так как порядок полицейских в патруле не имеет значения (патруль из Быстрова и Свистунова — это то же самое, что патруль из Свистунова и Быстрова), мы будем использовать комбинаторный подход для нахождения числа сочетаний.

Способ 1: Перебор вариантов

Воспользуемся подсказкой и обозначим полицейских первыми буквами их фамилий: Б (Быстров), С (Свистунов), У (Умнов), Д (Дубов). Теперь последовательно составим все возможные уникальные пары:

1. Быстров и Свистунов (Б, С)
2. Быстров и Умнов (Б, У)
3. Быстров и Дубов (Б, Д)
4. Свистунов и Умнов (С, У)
5. Свистунов и Дубов (С, Д)
6. Умнов и Дубов (У, Д)

Подсчитав количество пар, получаем 6 различных способов.

Способ 2: Использование формулы сочетаний

Количество способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, без учета порядка, называется числом сочетаний из $n$ по $k$ и вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число полицейских $n = 4$, а количество полицейских в патруле $k = 2$. Подставим эти значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6

2.80 Из четырёх игр: шашки, лото, конструктор и эрудит – надо выбрать две. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

Для решения этой задачи необходимо найти количество способов выбрать 2 игры из 4 предложенных. Так как порядок выбора игр не важен (пара "шашки и лото" идентична паре "лото и шашки"), задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2.

Способ 1: Прямой перебор вариантов
Перечислим все возможные уникальные пары игр. Для удобства обозначим игры первыми буквами: Ш (шашки), Л (лото), К (конструктор), Э (эрудит).

• Шашки и Лото
• Шашки и Конструктор
• Шашки и Эрудит
• Лото и Конструктор
• Лото и Эрудит
• Конструктор и Эрудит

При прямом переборе получаем 6 различных пар.

Способ 2: Использование формулы сочетаний
Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В данном случае у нас есть $n=4$ игры, из которых нужно выбрать $k=2$.
Подставим значения в формулу:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$
Таким образом, существует 6 способов осуществить данный выбор.

Ответ: 6

2.81 Саша выбрал в библиотеке пять книг, но одновременно можно взять только две книги. Сколько вариантов выбора двух книг из пяти есть у Саши?

Подсказка. Дайте книгам номера 1, 2, 3, 4 и 5.

Данная задача является классической задачей по комбинаторике. Нам нужно определить, сколькими способами можно выбрать 2 книги из 5, причем порядок выбора не имеет значения. Это означает, что мы ищем число сочетаний из 5 по 2.

Решить задачу можно двумя способами.

Способ 1: Метод перебора вариантов
Следуя подсказке, пронумеруем книги от 1 до 5. Теперь будем последовательно составлять все возможные уникальные пары:
1. Пары, включающие книгу №1: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}. (4 варианта)
2. Пары, включающие книгу №2 (исключая уже учтенную пару {1, 2}): {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}. (3 варианта)
3. Пары, включающие книгу №3 (исключая пары с книгами 1 и 2): {3, 4}, {3, 5}. (2 варианта)
4. Пары, включающие книгу №4 (исключая пары с книгами 1, 2 и 3): {4, 5}. (1 вариант)

Теперь сложим количество всех найденных вариантов: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Способ 2: Использование формулы числа сочетаний
Число сочетаний (количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов без учета порядка) находится по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$
В нашем случае:
$n = 5$ (общее количество книг)
$k = 2$ (количество книг, которое нужно выбрать)

Подставляем наши значения в формулу:
$C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3)}$
Сокращаем $3!$ в числителе и знаменателе:
$C_5^2 = \frac{4 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{20}{2} = 10$.

Таким образом, у Саши есть 10 различных вариантов выбора двух книг из пяти.

Ответ: 10

2.82 В магазине продаются полотенца трёх видов: в полоску, в клетку и в горошек. Из скольких вариантов покупки придётся выбирать, если нужны два разных полотенца?

Чтобы определить количество вариантов покупки, необходимо найти число сочетаний из трёх видов полотенец по два, так как порядок выбора двух разных полотенец не имеет значения (купить полотенце в полоску и в клетку — это то же самое, что купить в клетку и в полоску).

Обозначим виды полотенец:

• П — в полоску
• К — в клетку
• Г — в горошек

Способ 1: Перебор всех возможных вариантов

Можно просто перечислить все уникальные пары из двух разных полотенец:

1. Полотенце в полоску и в клетку (П, К).
2. Полотенце в полоску и в горошек (П, Г).
3. Полотенце в клетку и в горошек (К, Г).

Таким образом, существует 3 варианта покупки.

Способ 2: Использование формулы числа сочетаний

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ ($C_n^k$) вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данной задаче:

• $n=3$ (общее число видов полотенец).
• $k=2$ (количество полотенец, которые нужно выбрать).

Подставляем значения в формулу:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 3

2.83 Шифр для сейфа составляется из трёх разных цифр. Запишите все шифры, которые можно составить, используя цифры 1, 2 и 3.

По условию задачи, шифр для сейфа составляется из трёх разных цифр. Нам даны цифры 1, 2 и 3. Необходимо найти все возможные уникальные трёхзначные числа (шифры), которые можно составить из этих цифр. Поскольку все цифры в шифре должны быть разными, речь идёт о перестановках.

Количество перестановок из $n$ элементов определяется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=3$, так как мы используем три цифры. Следовательно, общее количество возможных шифров будет: $P_3 = 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$.

Чтобы записать все возможные шифры, можно действовать систематически, поочерёдно ставя каждую из цифр на первое место:

1. Если на первом месте стоит цифра 1, то на оставшихся двух местах могут стоять цифры 2 и 3. Возможные комбинации: 123 и 132.

2. Если на первом месте стоит цифра 2, то на оставшихся двух местах могут стоять цифры 1 и 3. Возможные комбинации: 213 и 231.

3. Если на первом месте стоит цифра 3, то на оставшихся двух местах могут стоять цифры 1 и 2. Возможные комбинации: 312 и 321.

Таким образом, мы получили все 6 возможных вариантов шифра.

Ответ: 123, 132, 213, 231, 312, 321.