Номер 7, страница 45 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 2. Натуральные числа. 2.5. Логика перебора при решении задач. Вопросы - номер 7, страница 45.

Условие.

Решите с помощью построения дерева задачу о расписании уроков.

Решение 6.

Поскольку в самой задаче не указаны конкретные предметы и их количество, решим стандартный вариант этой задачи. Допустим, нам необходимо составить расписание на день из трёх разных уроков: Математика (М), Русский язык (Р) и Литература (Л). Нужно найти, сколько всего существует различных вариантов такого расписания.

Для решения этой задачи построим дерево возможных вариантов. "Корень" дерева — это начало составления расписания. Каждый следующий уровень (ярус) дерева будет представлять собой выбор урока для определённого порядка (первый урок, второй и третий).

Шаг 1: Выбор первого урока.

На позицию первого урока мы можем поставить любой из трёх предметов. Таким образом, от "корня" дерева у нас отходят три основные ветви:

• Математика (М)
• Русский язык (Р)
• Литература (Л)

Шаг 2: Выбор второго урока.

Теперь от каждой из этих трёх ветвей мы строим новые ветви для второго урока. Важно помнить, что предметы не могут повторяться.

• Если первым уроком была Математика (М), то вторым могут быть только Русский язык (Р) или Литература (Л).
• Если первым уроком был Русский язык (Р), то вторым могут быть только Математика (М) или Литература (Л).
• Если первым уроком была Литература (Л), то вторым могут быть только Математика (М) или Русский язык (Р).

На этом этапе у нас уже $3 \times 2 = 6$ ветвей.

Шаг 3: Выбор третьего урока.

На последнем шаге для каждой из шести полученных комбинаций остаётся только один возможный вариант для третьего урока — тот предмет, который ещё не был использован.

В итоге наше дерево вариантов будет выглядеть так, а его конечные "листья" (пути от корня до конца ветви) и будут всеми возможными вариантами расписания:

1. Математика → Русский язык → Литература (М, Р, Л)
2. Математика → Литература → Русский язык (М, Л, Р)
3. Русский язык → Математика → Литература (Р, М, Л)
4. Русский язык → Литература → Математика (Р, Л, М)
5. Литература → Математика → Русский язык (Л, М, Р)
6. Литература → Русский язык → Математика (Л, Р, М)

Подсчитав количество конечных вариантов в дереве, мы видим, что всего существует 6 различных способов составить расписание.

Этот результат также можно проверить с помощью комбинаторной формулы для числа перестановок. Количество способов переставить $n$ различных объектов равно $n!$ (n-факториал). В нашем случае $n=3$, поэтому число вариантов составляет:

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Ответ: 6.