Номер 1, страница 43 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Вопросы. 2.5. Логика перебора при решении задач. Глава 2. Натуральные числа - номер 1, страница 43.

Дополним условие рассмотренной задачи требованием: каждую цифру можно использовать только один раз. Какие числа в таком случае нужно отбросить? Сколько останется чисел?

Поскольку условие исходной задачи не приведено, будем исходить из наиболее вероятного предположения, что в ней рассматривались все трёхзначные числа, которые можно составить из набора неких цифр (например, 0, 1, 2, 3, 4), при этом цифры могли повторяться. Для примера возьмём набор цифр {0, 1, 2, 3, 4}. Изначально можно было составить $4 \times 5 \times 5 = 100$ трёхзначных чисел (на первом месте не может стоять 0).

Теперь к условию добавляется требование, что каждую цифру можно использовать только один раз.

Какие числа в таком случае нужно отбросить?

В этом случае нужно отбросить все числа, в записи которых есть повторяющиеся цифры. То есть, числа, у которых хотя бы две цифры из трёх одинаковые.
Например, из набора {0, 1, 2, 3, 4} нужно было бы отбросить такие числа, как:

• 110, 121, 223, 404, 330 (с двумя одинаковыми цифрами)
• 111, 222, 333, 444 (со всеми одинаковыми цифрами)

Ответ: Нужно отбросить все числа, в записи которых хотя бы одна цифра повторяется.

Сколько останется чисел?

Чтобы найти количество оставшихся чисел, нужно посчитать, сколько можно составить трёхзначных чисел из цифр {0, 1, 2, 3, 4} при условии, что все цифры в числе должны быть различны. Воспользуемся комбинаторным правилом умножения.
1. На первую позицию (сотни) можно поставить любую из 4 цифр (1, 2, 3, 4), так как число не может начинаться с нуля.
2. На вторую позицию (десятки) можно поставить любую из оставшихся 4 цифр. Мы не можем использовать цифру, которая уже стоит на месте сотен, но теперь можем использовать 0.
3. На третью позицию (единицы) можно поставить любую из оставшихся 3 цифр, так как две цифры уже использованы для сотен и десятков.
Таким образом, общее количество чисел без повторений равно:
$4 \times 4 \times 3 = 48$

Ответ: 48 чисел.