Номер 3, страница 43 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Вопросы. 2.5. Логика перебора при решении задач. Глава 2. Натуральные числа - номер 3, страница 43.

Изобразите в тетради прямую с точками $A$, $B$, $C$, $D$ (см. рис. 2.16) и добавьте ещё точку $E$. Теперь на прямой отмечены пять точек. Сколько отрезков при этом добавилось?

$A$ $B$ $C$ $D$

Рис. 2.16

Для решения задачи необходимо посчитать, сколько отрезков было изначально и сколько их стало после добавления новой точки. Разница между этими двумя значениями и будет ответом.

Способ 1: Прямой подсчет новых отрезков

Изначально на прямой было 4 точки: A, B, C, D.

Когда мы добавляем на прямую новую точку E, она может образовать новые отрезки с каждой из уже существующих точек. Перечислим эти новые отрезки, одним из концов которых является точка E:

• AE (или EA)
• BE (или EB)
• CE (или EC)
• DE (или ED)

Таким образом, при добавлении одной точки к четырём имеющимся, образуется 4 новых отрезка. Положение точки E на прямой не влияет на количество новых отрезков.

Способ 2: Использование формул комбинаторики

Количество отрезков, которые можно составить из $n$ точек на прямой, равно числу сочетаний из $n$ по 2 и вычисляется по формуле: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

1. Сначала посчитаем, сколько отрезков было при 4 точках ($n=4$):
$C_4^2 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ отрезков.

2. Теперь посчитаем, сколько всего отрезков стало при 5 точках ($n=5$):
$C_5^2 = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$ отрезков.

3. Чтобы найти, сколько отрезков добавилось, вычтем из нового количества старое:
$10 - 6 = 4$ отрезка.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 4