Номер 2.77, страница 45 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 2.5. Логика перебора при решении задач. Глава 2. Натуральные числа - номер 2.77, страница 45.

2.77 Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр только один раз?

Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9.

Для составления двузначного числа нам нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц. В условии сказано, что используются только указанные цифры, но не сказано, что они не могут повторяться.
На позицию десятков мы можем поставить любую из четырех цифр: 3, 5, 7, 9 (4 варианта).
На позицию единиц мы также можем поставить любую из этих четырех цифр (4 варианта).
Общее количество возможных чисел находится произведением числа вариантов для каждой позиции: $4 \times 4 = 16$.
Выпишем все возможные числа:

• Начинающиеся с 3: 33, 35, 37, 39.
• Начинающиеся с 5: 53, 55, 57, 59.
• Начинающиеся с 7: 73, 75, 77, 79.
• Начинающиеся с 9: 93, 95, 97, 99.

Ответ: 33, 35, 37, 39, 53, 55, 57, 59, 73, 75, 77, 79, 93, 95, 97, 99.

Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр только один раз?

В этом случае цифры в двузначном числе не должны повторяться.
Для выбора первой цифры (разряд десятков) у нас есть 4 варианта (3, 5, 7 или 9).
После того как первая цифра выбрана, для выбора второй цифры (разряд единиц) у нас останется $4 - 1 = 3$ варианта, так как одну цифру мы уже использовали и повторять ее не можем.
Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество доступных вариантов для каждого разряда:
$4 \times 3 = 12$.
Это число является количеством размещений без повторений из 4 элементов по 2, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае: $A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$.
Ответ: 12.