Номер 2.77, страница 45 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 2. Натуральные числа. 2.5. Логика перебора при решении задач. Упражнения - номер 2.77, страница 45.

Условие.

2.77 Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр только один раз?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9.

Для составления двузначного числа нам нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц. В условии сказано, что используются только указанные цифры, но не сказано, что они не могут повторяться.
На позицию десятков мы можем поставить любую из четырех цифр: 3, 5, 7, 9 (4 варианта).
На позицию единиц мы также можем поставить любую из этих четырех цифр (4 варианта).
Общее количество возможных чисел находится произведением числа вариантов для каждой позиции: $4 \times 4 = 16$.
Выпишем все возможные числа:

• Начинающиеся с 3: 33, 35, 37, 39.
• Начинающиеся с 5: 53, 55, 57, 59.
• Начинающиеся с 7: 73, 75, 77, 79.
• Начинающиеся с 9: 93, 95, 97, 99.

Ответ: 33, 35, 37, 39, 53, 55, 57, 59, 73, 75, 77, 79, 93, 95, 97, 99.

Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр только один раз?

В этом случае цифры в двузначном числе не должны повторяться.
Для выбора первой цифры (разряд десятков) у нас есть 4 варианта (3, 5, 7 или 9).
После того как первая цифра выбрана, для выбора второй цифры (разряд единиц) у нас останется $4 - 1 = 3$ варианта, так как одну цифру мы уже использовали и повторять ее не можем.
Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество доступных вариантов для каждого разряда:
$4 \times 3 = 12$.
Это число является количеством размещений без повторений из 4 элементов по 2, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае: $A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$.
Ответ: 12.