Номер 4, страница 44 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Вопросы. 2.5. Логика перебора при решении задач. Глава 2. Натуральные числа - номер 4, страница 44.

Особенностью рассмотренной задачи является то, что все комбинации составлялись из одних и тех же элементов — букв Р, М, Ф — с помощью их всевозможных перестановок. Придумайте свою задачу на перестановки.

М

Задача

В классе в понедельник 6 уроков: математика, русский язык, литература, история, биология и физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день, если все уроки должны быть разными?

Решение

Данная задача сводится к нахождению числа всех возможных упорядоченных наборов из 6 различных элементов (уроков). В комбинаторике такие упорядоченные наборы называются перестановками.

Число перестановок из $n$ различных элементов обозначается $P_n$ и вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

где $n!$ (читается как «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

В нашей задаче количество различных уроков $n=6$. Нам необходимо найти число всех возможных вариантов расписания, то есть вычислить $P_6$.

Подставим значение $n=6$ в формулу:

$P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$

Можно также рассуждать последовательно, используя комбинаторное правило умножения:
- На позицию первого урока можно поставить любой из 6 предметов (6 вариантов).
- Когда первый урок выбран, на позицию второго урока можно поставить любой из оставшихся 5 предметов (5 вариантов).
- Для третьего урока остается 4 варианта.
- Для четвертого — 3 варианта.
- Для пятого — 2 варианта.
- Для шестого урока остается только 1 предмет.

Общее число способов составить расписание равно произведению числа вариантов для каждого урока:

$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

Таким образом, существует 720 различных способов составить расписание на день из 6 уроков.

Ответ: 720.