Страница 44 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Особенностью рассмотренной задачи является то, что все комбинации составлялись из одних и тех же элементов — букв Р, М, Ф — с помощью их всевозможных перестановок. Придумайте свою задачу на перестановки.

Задача

В классе в понедельник 6 уроков: математика, русский язык, литература, история, биология и физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день, если все уроки должны быть разными?

Решение

Данная задача сводится к нахождению числа всех возможных упорядоченных наборов из 6 различных элементов (уроков). В комбинаторике такие упорядоченные наборы называются перестановками.

Число перестановок из $n$ различных элементов обозначается $P_n$ и вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

где $n!$ (читается как «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

В нашей задаче количество различных уроков $n=6$. Нам необходимо найти число всех возможных вариантов расписания, то есть вычислить $P_6$.

Подставим значение $n=6$ в формулу:

$P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$

Можно также рассуждать последовательно, используя комбинаторное правило умножения:
- На позицию первого урока можно поставить любой из 6 предметов (6 вариантов).
- Когда первый урок выбран, на позицию второго урока можно поставить любой из оставшихся 5 предметов (5 вариантов).
- Для третьего урока остается 4 варианта.
- Для четвертого — 3 варианта.
- Для пятого — 2 варианта.
- Для шестого урока остается только 1 предмет.

Общее число способов составить расписание равно произведению числа вариантов для каждого урока:

$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

Таким образом, существует 720 различных способов составить расписание на день из 6 уроков.

Ответ: 720.

Можете ли вы, не выполняя перебора, дать ответ на вопрос такой задачи:

«Аня, Галя и Таня купили вместе интересную книгу и будут читать её по очереди. Сколько есть вариантов этой очереди?»

Да, можно дать ответ на этот вопрос, не выполняя прямой перебор всех возможных вариантов. Эта задача решается с помощью методов комбинаторики.

Нам нужно определить, сколькими способами можно расставить в очередь трёх человек: Аню, Галю и Таню.

Рассуждать можно следующим образом:

1. На первое место в очереди может встать любая из трёх девочек. Следовательно, есть 3 варианта выбора, кто будет читать книгу первым.
2. После того как первая девочка выбрана, остаются две. На второе место в очереди может встать любая из двух оставшихся. Таким образом, для каждого из трёх первоначальных вариантов есть ещё по 2 варианта для второго места.
3. Когда первые две девочки заняли свои места в очереди, остаётся только одна. Она без вариантов занимает третье, последнее место.

Чтобы найти общее число вариантов, нужно перемножить количество выборов на каждом шаге. Это называется правилом умножения в комбинаторике.

Количество вариантов = (число выборов для 1-го места) × (число выборов для 2-го места) × (число выборов для 3-го места).
$3 \times 2 \times 1 = 6$

В математике такое произведение называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$. В данном случае мы ищем число перестановок из трёх элементов ($P_3$):
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Следовательно, существует 6 различных вариантов очереди.

Ответ: 6.