Страница 42 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.72 Расположите в порядке убывания числа: 90 099, 90 990, 99 009, 99 900, 90 909.

Чтобы расположить числа в порядке убывания, необходимо сравнить их между собой, начиная с самого большого. Порядок убывания означает от наибольшего числа к наименьшему.

Даны числа: $90 099$, $90 990$, $99 009$, $99 900$, $90 909$.

1. Все числа являются пятизначными. Для сравнения посмотрим на старшие разряды. Два числа ($99 009$ и $99 900$) начинаются с $99$ тысяч, а остальные три ($90 099$, $90 990$, $90 909$) — с $90$ тысяч. Так как $99 000 > 90 000$, то два первых числа больше трех остальных.

2. Сначала сравним наибольшую пару чисел: $99 009$ и $99 900$. У них одинаковое количество десятков тысяч и тысяч. Сравним разряд сотен. В числе $99 900$ в разряде сотен стоит цифра $9$, а в числе $99 009$ — цифра $0$. Так как $9 > 0$, то $99 900 > 99 009$. Значит, самое большое число — $99 900$, а за ним следует $99 009$.

3. Теперь сравним оставшиеся три числа: $90 099$, $90 990$ и $90 909$. У них одинаковое количество десятков тысяч и тысяч. Сравним их по разряду сотен.
- У числа $90 099$ в разряде сотен стоит $0$.
- У чисел $90 990$ и $90 909$ в разряде сотен стоит $9$.
Поскольку $0 < 9$, число $90 099$ является наименьшим из этих трех.

4. Осталось сравнить $90 990$ и $90 909$. У них одинаковы разряды сотен, тысяч и десятков тысяч. Сравним разряд десятков. В числе $90 990$ в разряде десятков стоит $9$, а в числе $90 909$ — $0$. Так как $9 > 0$, то $90 990 > 90 909$.

5. Таким образом, мы можем выстроить все числа в порядке убывания, от самого большого к самому маленькому: $99 900, 99 009, 90 990, 90 909, 90 099$.

Ответ: $99 900, 99 009, 90 990, 90 909, 90 099$.

2.73 Найти произведение чисел:

a) 49 и 109;

б) 430 и 7800;

в) 350 и 206.

а) Чтобы найти произведение чисел 49 и 109, необходимо их перемножить. Это можно сделать, используя распределительное свойство умножения, представив один из множителей в виде суммы или разности.
Например, представим 109 как $(100 + 9)$:
$49 \times 109 = 49 \times (100 + 9) = 49 \times 100 + 49 \times 9 = 4900 + 441 = 5341$.
Или представим 49 как $(50 - 1)$:
$49 \times 109 = (50 - 1) \times 109 = 50 \times 109 - 1 \times 109 = 5450 - 109 = 5341$.
Ответ: 5341.

б) Чтобы найти произведение чисел 430 и 7800, удобно сначала перемножить значащие части чисел (43 и 78), а затем приписать к результату общее количество нулей (один ноль от числа 430 и два нуля от числа 7800, итого три нуля).
$430 \times 7800 = (43 \times 10) \times (78 \times 100) = (43 \times 78) \times 1000$.
1. Вычислим произведение $43 \times 78$:
$43 \times 78 = 3354$.
2. Теперь умножим полученный результат на 1000, добавив три нуля:
$3354 \times 1000 = 3354000$.
Ответ: 3354000.

в) Чтобы найти произведение чисел 350 и 206, воспользуемся распределительным свойством, разложив число 206 на сумму разрядных слагаемых $(200 + 6)$.
$350 \times 206 = 350 \times (200 + 6) = 350 \times 200 + 350 \times 6$.
1. Вычислим первое слагаемое:
$350 \times 200 = 70000$.
2. Вычислим второе слагаемое:
$350 \times 6 = 2100$.
3. Сложим полученные результаты:
$70000 + 2100 = 72100$.
Ответ: 72100.

2.74 Запишите и вычислите разность между:

а) числом 1000 и суммой чисел 53 и 267;

$1000 - (53 + 267)$

б) числом 500 и частным чисел 5125 и 25.

$500 - (5125 \div 25)$

а)

Чтобы найти разность между числом 1000 и суммой чисел 53 и 267, нужно из 1000 вычесть результат сложения 53 и 267. Запишем это в виде выражения:

$1000 - (53 + 267)$

1. Сначала выполним действие в скобках (сложение):

$53 + 267 = 320$

2. Теперь выполним вычитание:

$1000 - 320 = 680$

Ответ: 680

б)

Чтобы найти разность между числом 500 и частным чисел 5125 и 25, нужно из 500 вычесть результат деления 5125 на 25. Запишем это в виде выражения:

$500 - (5125 \div 25)$

1. Сначала выполним действие в скобках (деление):

$5125 \div 25 = 205$

2. Теперь выполним вычитание:

$500 - 205 = 295$

Ответ: 295

2.75 Рассмотрите рисунок 2.14. Чему равны длины отрезков OA, OB и CD, если радиусы окружностей соответственно равны 2 см, 4 см и 5 см?

Рис. 2.14

На рисунке изображены три концентрические окружности (окружности с общим центром O). Согласно условию, их радиусы равны 2 см, 4 см и 5 см. Распределим радиусы по окружностям от меньшей к большей:

• Радиус наименьшей (розовой) окружности $r_1 = 2$ см.
• Радиус средней (синей) окружности $r_2 = 4$ см.
• Радиус наибольшей (зеленой) окружности $r_3 = 5$ см.

Теперь найдем длины указанных отрезков.

OA

Отрезок OA является радиусом, так как он соединяет центр окружности O с точкой A, лежащей на средней (синей) окружности. Следовательно, его длина равна радиусу этой окружности.

$OA = r_2 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

OB

Отрезок OB является радиусом, так как он соединяет центр окружности O с точкой B, лежащей на наибольшей (зеленой) окружности. Следовательно, его длина равна радиусу этой окружности.

$OB = r_3 = 5$ см.

Ответ: 5 см.

CD

Отрезок CD состоит из двух отрезков: CO и OD, так как точки C, O и D лежат на одной прямой. Длина отрезка CD равна сумме длин отрезков CO и OD.

Отрезок CO — это радиус наибольшей (зеленой) окружности, так как точка C лежит на ней. $CO = r_3 = 5$ см.

Отрезок OD — это радиус наименьшей (розовой) окружности, так как точка D лежит на ней. $OD = r_1 = 2$ см.

Таким образом, длина отрезка CD равна:

$CD = CO + OD = 5 \text{ см} + 2 \text{ см} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

2.76 Перечертите рисунок 2.15 в тетрадь. Объясните свои действия.

Рис. 2.15

Для того чтобы перечертить фигуру, изображенную на рисунке, в тетрадь, необходимо проанализировать ее геометрическую структуру и последовательно выполнить построения с помощью циркуля и линейки. За единицу измерения примем длину стороны одной клетки.

Анализ фигуры и последовательность действий

Фигура представляет собой область, ограниченную сверху дугой большой полуокружности, а снизу — дугами двух одинаковых малых полуокружностей. Все три полуокружности опираются на один и тот же горизонтальный отрезок.

1. Сначала нужно начертить базовый горизонтальный отрезок. Его длина по клеткам составляет 8 единиц. Этот отрезок будет служить диаметром для большой полуокружности и общей хордой для двух малых.

2. Далее строим верхнюю границу. Это большая полуокружность. Ее центр находится в середине 8-клеточного отрезка. Радиус $R$ этой полуокружности равен половине ее диаметра: $R = 8 / 2 = 4$ клетки. Установив ножку циркуля в центр, проводим дугу радиусом 4 клетки над отрезком, соединяя его концы.

3. Затем строим нижнюю границу. Она состоит из двух одинаковых смежных полуокружностей. Их общий диаметр также равен 8 клеткам, значит, диаметр каждой из них составляет 4 клетки.

• Центр левой малой полуокружности находится в середине левого 4-клеточного сегмента базового отрезка. Ее радиус $r$ равен $r = 4 / 2 = 2$ клетки. Проводим дугу над левой половиной базового отрезка.
• Центр правой малой полуокружности находится в середине правого 4-клеточного сегмента. Ее радиус также равен $r = 2$ клетки. Проводим дугу над правой половиной базового отрезка.

4. В завершение заштриховываем область, которая заключена между большой верхней дугой и двумя малыми нижними дугами.

Ответ: Фигура строится путем построения на общем горизонтальном отрезке длиной 8 клеток: 1) верхней полуокружности с радиусом $R=4$ клетки и центром в середине отрезка; 2) двух смежных нижних полуокружностей, каждая с радиусом $r=2$ клетки и центрами в серединах левой и правой половин отрезка соответственно.