Страница 48 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Чему вы научились

Обязательные умения

Знаю названия разрядов и классов в десятичной записи числа; умею записывать и читать числа в десятичной системе.

1. Запишите цифрами число: пять миллионов двадцать четыре тысячи восемь.

1. Чтобы записать число "пять миллионов двадцать четыре тысячи восемь" цифрами, необходимо разбить его на классы. В десятичной системе счисления числа группируются по три разряда в классы: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов и так далее.
1. Класс миллионов: "пять миллионов". Это означает, что в разряде единиц миллионов стоит цифра 5. Записываем: $5$.
2. Класс тысяч: "двадцать четыре тысячи". Это число $24$. Класс тысяч должен состоять из трех цифр (сотни тысяч, десятки тысяч, единицы тысяч). Так как сотен тысяч в названии нет, на их место ставим $0$. Получаем: $024$.
3. Класс единиц: "восемь". Это число $8$. Класс единиц также состоит из трех цифр (сотни, десятки, единицы). Так как сотен и десятков нет, на их место ставим нули. Получаем: $008$.
Теперь запишем цифры всех классов последовательно, начиная со старшего (миллионов): $5 \ 024 \ 008$.
Проверим, представив число как сумму:
$5 \cdot 1 \ 000 \ 000 + 24 \cdot 1 \ 000 + 8 = 5 \ 000 \ 000 + 24 \ 000 + 8 = 5 \ 024 \ 008$.
Ответ: 5 024 008

2. Прочитайте число: 25203600107. Назовите разряды, в которых записана цифра 0.

Прочитайте число: 25203600107

Чтобы прочитать многозначное число, его необходимо разбить на классы, двигаясь справа налево. В каждом классе по три цифры.

Число $25203600107$ разбивается на классы следующим образом: $25$ (класс миллиардов), $203$ (класс миллионов), $600$ (класс тысяч), $107$ (класс единиц).

Теперь прочитаем число по классам слева направо, добавляя название каждого класса (кроме класса единиц): "двадцать пять миллиардов двести три миллиона шестьсот тысяч сто семь".

Ответ: Двадцать пять миллиардов двести три миллиона шестьсот тысяч сто семь.

Назовите разряды, в которых записана цифра 0

Разряды — это позиция цифры в числе. Чтобы определить, в каких разрядах стоит цифра 0, представим число $25203600107$ в виде таблицы разрядов. Разряды считаются справа налево.

Из таблицы видно, что цифра 0 находится в следующих разрядах:

• Разряд десятков миллионов
• Разряд десятков тысяч
• Разряд единиц тысяч
• Разряд десятков

Ответ: Цифра 0 записана в разрядах: десятков миллионов, десятков тысяч, единиц тысяч, десятков.

Умею записывать натуральные числа в виде суммы разрядных слагаемых.

3. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:

a) 49532;

б) 1 102 350.

Чтобы записать натуральное число в виде суммы разрядных слагаемых, необходимо каждую цифру числа умножить на ее разряд (1, 10, 100, 1000 и т.д.) и сложить полученные произведения. Разрядные слагаемые, которые равны нулю, обычно не записывают.

а)

Рассмотрим число 49 532. Оно состоит из:

• 4 десятков тысяч ($4 \cdot 10000 = 40000$)
• 9 тысяч ($9 \cdot 1000 = 9000$)
• 5 сотен ($5 \cdot 100 = 500$)
• 3 десятков ($3 \cdot 10 = 30$)
• 2 единиц ($2 \cdot 1 = 2$)

Сумма разрядных слагаемых будет выглядеть следующим образом:

Ответ: $49532 = 40000 + 9000 + 500 + 30 + 2$.

б)

Рассмотрим число 1 102 350. Оно состоит из:

• 1 миллиона ($1 \cdot 1000000 = 1000000$)
• 1 сотни тысяч ($1 \cdot 100000 = 100000$)
• 0 десятков тысяч (это слагаемое опускаем)
• 2 тысяч ($2 \cdot 1000 = 2000$)
• 3 сотен ($3 \cdot 100 = 300$)
• 5 десятков ($5 \cdot 10 = 50$)
• 0 единиц (это слагаемое опускаем)

Сложив все ненулевые разрядные слагаемые, получаем:

Ответ: $1102350 = 1000000 + 100000 + 2000 + 300 + 50$.

4. Какое число записано в виде суммы разрядных слагаемых:

а) $5 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 1;$

б) $6 \cdot 10000 + 0 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 9?$

а) Выражение $5 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 1$ представляет собой разложение числа на сумму разрядных слагаемых. Каждое слагаемое в этой сумме показывает, какая цифра стоит в соответствующем разряде числа.
- $5 \cdot 1000$ — это 5 тысяч, значит, в разряде тысяч стоит цифра 5.
- $3 \cdot 100$ — это 3 сотни, значит, в разряде сотен стоит цифра 3.
- $7 \cdot 10$ — это 7 десятков, значит, в разряде десятков стоит цифра 7.
- $1$ — это 1 единица, значит, в разряде единиц стоит цифра 1.
Чтобы получить искомое число, нужно записать эти цифры по порядку, начиная со старшего разряда (тысяч): 5371.
Также можно просто найти значение выражения: $5 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 1 = 5000 + 300 + 70 + 1 = 5371$.
Ответ: 5371.

б) Аналогично рассмотрим выражение $6 \cdot 10000 + 0 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 9$.
- $6 \cdot 10000$ — это 6 десятков тысяч, значит, в разряде десятков тысяч стоит цифра 6.
- $0 \cdot 1000$ — это 0 тысяч, значит, в разряде тысяч стоит цифра 0.
- $4 \cdot 100$ — это 4 сотни, значит, в разряде сотен стоит цифра 4.
- $0 \cdot 10$ — это 0 десятков, значит, в разряде десятков стоит цифра 0.
- $9$ — это 9 единиц, значит, в разряде единиц стоит цифра 9.
Запишем эти цифры по порядку, начиная со старшего разряда (десятков тысяч): 60409.
Проверим вычислением: $6 \cdot 10000 + 0 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 9 = 60000 + 0 + 400 + 0 + 9 = 60409$.
Ответ: 60409.

Умею сравнивать натуральные числа.

5. Какое из чисел больше: шестизначное или семизначное?

Для сравнения двух натуральных чисел сначала нужно посчитать количество цифр (разрядов) в каждом из них. То число, в котором больше цифр, будет больше.

В шестизначном числе 6 цифр. Например, самое большое шестизначное число — это 999 999.

В семизначном числе 7 цифр. Например, самое маленькое семизначное число — это 1 000 000.

Поскольку в семизначном числе 7 цифр, а в шестизначном — 6, и $7 > 6$, то любое семизначное число всегда будет больше любого шестизначного числа.

Сравним самое большое шестизначное и самое маленькое семизначное число: $1~000~000 > 999~999$.

Ответ: семизначное число больше.

6. Сравните числа:

а) 889 и 1001;

б) 8600000 и 8060000.

а) Чтобы сравнить числа 889 и 1001, посмотрим на количество цифр в каждом из них. Число 889 является трехзначным (состоит из 3 цифр), а число 1001 — четырехзначным (состоит из 4 цифр). При сравнении натуральных чисел, то число будет больше, в котором больше разрядов (цифр). Так как в числе 1001 четыре цифры, а в числе 889 — три, то 1001 больше, чем 889.
Ответ: $889 < 1001$.

б) Чтобы сравнить числа 8 600 000 и 8 060 000, необходимо сравнивать их поразрядно слева направо, так как количество цифр в них одинаково.
1. Сравниваем разряд миллионов: в обоих числах стоит цифра 8. Цифры равны.
2. Сравниваем следующий разряд — сотни тысяч: в первом числе (8 600 000) в этом разряде стоит цифра 6, а во втором числе (8 060 000) — цифра 0.
Поскольку $6 > 0$, то и число 8 600 000 больше, чем 8 060 000. Дальнейшее сравнение разрядов не требуется.
Ответ: $8 600 000 > 8 060 000$.

7. Верно ли двойное неравенство:

а) $809 < 908 < 980$;

б) $1111 < 1212 < 1203$?

а) Двойное неравенство $809 < 908 < 980$ можно разбить на два простых неравенства: $809 < 908$ и $908 < 980$. Чтобы исходное двойное неравенство было верным, должны быть верны оба этих неравенства.

1. Проверим первое неравенство: $809 < 908$.
Сравниваем числа поразрядно, начиная со старшего разряда (сотни). В числе 809 в разряде сотен стоит цифра 8, а в числе 908 — цифра 9. Так как $8 < 9$, то и число $809 < 908$. Неравенство верно.

2. Проверим второе неравенство: $908 < 980$.
Сравниваем числа поразрядно. В разряде сотен у обоих чисел стоит цифра 9. Переходим к следующему разряду (десятки). В числе 908 в разряде десятков стоит цифра 0, а в числе 980 — цифра 8. Так как $0 < 8$, то и число $908 < 980$. Неравенство верно.

Поскольку оба неравенства ($809 < 908$ и $908 < 980$) верны, то и двойное неравенство $809 < 908 < 980$ является верным.

Ответ: верно.

б) Двойное неравенство $1111 < 1212 < 1203$ можно разбить на два простых неравенства: $1111 < 1212$ и $1212 < 1203$. Проверим верность каждого из них.

1. Проверим первое неравенство: $1111 < 1212$.
Сравниваем числа поразрядно. Цифры в разряде тысяч одинаковы (1). Сравниваем цифры в разряде сотен: в числе 1111 это 1, в числе 1212 это 2. Так как $1 < 2$, то $1111 < 1212$. Неравенство верно.

2. Проверим второе неравенство: $1212 < 1203$.
Сравниваем числа поразрядно. Цифры в разрядах тысяч и сотен совпадают (1 и 2). Переходим к разряду десятков. В числе 1212 в разряде десятков стоит цифра 1, а в числе 1203 — цифра 0. Так как $1 > 0$, то число $1212 > 1203$. Следовательно, неравенство $1212 < 1203$ является неверным.

Поскольку хотя бы одно из неравенств ($1212 < 1203$) неверно, то всё двойное неравенство $1111 < 1212 < 1203$ является неверным.

Ответ: неверно.

Умею отмечать числа точками на координатной прямой и находить координаты отмеченных точек.

8. Определите координаты точек, отмеченных на координатной прямой.

$A$ $B$ $C$
$0$ $1$

Для определения координат точек на координатной прямой сначала найдем цену одного деления. Единичный отрезок (расстояние от 0 до 1) разделен на 5 равных частей. Следовательно, цена одного деления составляет:

$1 \div 5 = \frac{1}{5}$

Теперь, зная цену деления, мы можем вычислить координаты каждой из отмеченных точек.

A
Точка A расположена на 3 деления правее нуля. Чтобы найти ее координату, умножим количество делений на цену одного деления: $3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$. В виде десятичной дроби это будет $0.6$.
Ответ: $A(\frac{3}{5})$ или $A(0.6)$.

B
Точка B расположена на 4 деления правее нуля. Ее координата равна: $4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$. В виде десятичной дроби это будет $0.8$.
Ответ: $B(\frac{4}{5})$ или $B(0.8)$.

C
Точка C расположена на 7 делений правее нуля. Ее координата равна: $7 \cdot \frac{1}{5} = \frac{7}{5}$. Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа $1\frac{2}{5}$ или в виде десятичной дроби $1.4$.
Ответ: $C(\frac{7}{5})$ или $C(1\frac{2}{5})$ или $C(1.4)$.

9. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки $A(5)$, $B(10)$, $C(7)$.

Для выполнения задания необходимо начертить прямую, выбрать на ней начало отсчета (точку O), единичный отрезок и направление. После этого отметить на прямой точки в соответствии с их координатами.

Проанализируем расположение точек и найдем длины отрезков.

Чтобы определить, какая из точек лежит между двумя другими, нужно сравнить их координаты. Координаты точек: A(5), C(7), B(10).
Расположим координаты в порядке возрастания: $5 < 7 < 10$.
Это означает, что точка с координатой 7 (точка C) находится между точкой с координатой 5 (точка A) и точкой с координатой 10 (точка B).

Ответ: Точка C лежит между точками A и B.

Длина отрезка на координатной прямой вычисляется как модуль разности координат его концов.
Длина отрезка AC: $AC = |7 - 5| = 2$.
Длина отрезка CB: $CB = |10 - 7| = 3$.

Ответ: Длина отрезка AC равна 2, а длина отрезка CB равна 3.

1) Как сумму длин отрезков AC и CB.
Поскольку точка C лежит между точками A и B, то длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей, отрезков AC и CB.
$AB = AC + CB = 2 + 3 = 5$.

2) Как разность координат точек B и A.
Длина отрезка AB равна модулю разности координат его концов, точек B и A.
$AB = |10 - 5| = 5$.

Ответ: Длина отрезка AB равна 5.

10. Какая из точек $A(199)$, $B(109)$, $C(201)$, $D(210)$ расположена на координатной прямой левее других?

На координатной прямой точка располагается тем левее, чем меньше её координата. Чтобы определить, какая из точек $A(199)$, $B(109)$, $C(201)$ и $D(210)$ находится левее других, необходимо сравнить их координаты.

Координаты точек:

• Координата точки A: $199$
• Координата точки B: $109$
• Координата точки C: $201$
• Координата точки D: $210$

Сравним эти числа: $199$, $109$, $201$, $210$. Наименьшим из этих чисел является $109$. Можно записать неравенство: $109 < 199 < 201 < 210$.

Так как у точки $B$ самая маленькая координата, она и будет расположена на координатной прямой левее всех остальных точек.

Ответ: B(109)

Умею округлять натуральные числа.

11. У Ксении в коллекции 227 дисков с фильмами. Укажите примерное количество дисков в коллекции, округлив указанное число дисков:

а) до десятков;

б) до сотен.

Для того чтобы округлить натуральное число до определенного разряда, необходимо посмотреть на цифру, стоящую справа от этого разряда.

• Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то все цифры справа от округляемого разряда заменяются нулями, а цифра в округляемом разряде остается без изменений.
• Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то все цифры справа от округляемого разряда заменяются нулями, а цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу.

а) до десятков

Округляем число 227 до десятков. Разряд десятков — это вторая цифра справа, в данном случае это 2. Смотрим на цифру справа от нее — это 7. Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде десятков увеличиваем на 1 (2+1=3), а цифру в разряде единиц заменяем на 0. Получаем 230.

$227 \approx 230$

Ответ: 230.

б) до сотен

Округляем число 227 до сотен. Разряд сотен — это третья цифра справа, в данном случае это 2. Смотрим на цифру справа от нее — это 2. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде сотен оставляем без изменений, а все цифры справа от нее (десятки и единицы) заменяем на нули. Получаем 200.

$227 \approx 200$

Ответ: 200.

12. Выразите приближённо:

а) $16\;381 \text{ г}$ в килограммах;

б) $5743 \text{ м}$ в километрах.

а) Чтобы выразить граммы (г) в килограммах (кг), необходимо разделить количество граммов на 1000, поскольку $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

Выполним перевод:

$16381 \text{ г} = \frac{16381}{1000} \text{ кг} = 16,381 \text{ кг}$

Так как в задании требуется дать приближённый ответ, округлим полученное значение до ближайшего целого числа. Первая цифра после запятой – 3, что меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону.

$16,381 \text{ кг} \approx 16 \text{ кг}$

Ответ: $16381 \text{ г} \approx 16 \text{ кг}$

б) Чтобы выразить метры (м) в километрах (км), необходимо разделить количество метров на 1000, так как $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.

Выполним перевод:

$5743 \text{ м} = \frac{5743}{1000} \text{ км} = 5,743 \text{ км}$

Для получения приближённого значения округлим результат до ближайшего целого числа. Первая цифра после запятой – 7, что больше 5, поэтому округляем в большую сторону.

$5,743 \text{ км} \approx 6 \text{ км}$

Ответ: $5743 \text{ м} \approx 6 \text{ км}$