Страница 46 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.84 Сколько новых чисел можно получить из числа 546, переставляя его цифры?

Исходное число 546 состоит из трех различных цифр: 5, 4 и 6. Задача состоит в том, чтобы найти количество всех возможных уникальных чисел, которые можно составить, переставляя эти цифры, за исключением самого исходного числа.

Количество всех возможных перестановок из $n$ различных элементов вычисляется по формуле факториала:

$P_n = n!$

В нашем случае мы имеем 3 различные цифры, поэтому $n=3$. Общее количество чисел, которые можно составить, равно:

$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

Всего можно составить 6 уникальных чисел: 456, 465, 546, 564, 645, 654.

Вопрос требует найти количество новых чисел. Это означает, что из общего числа полученных комбинаций нужно вычесть одно исходное число (546).

Количество новых чисел = (Общее количество чисел) - 1 = $6 - 1 = 5$.

Ответ: 5

МОДЕЛИРУЕМ (2.85–2.87) Решите задачи с помощью дерева возможных вариантов.

2.85 Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Сколькими различными способами могут ребята осуществить своё путешествие, если из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву – на самолёте, теплоходе, поезде или автобусе?

Для решения этой задачи необходимо определить общее количество комбинаций маршрутов. Путешествие школьников состоит из двух последовательных этапов:

1. Поездка из Волгограда в Нижний Новгород.
2. Поездка из Нижнего Новгорода в Москву.

Построим дерево возможных вариантов, чтобы наглядно представить все возможные маршруты.

Первый этап: Волгоград → Нижний Новгород

На этом этапе есть 2 варианта транспорта:

• Теплоход
• Поезд

Это будут две основные "ветви" нашего дерева.

Второй этап: Нижний Новгород → Москва

Для каждого из способов, выбранных на первом этапе, существует 4 варианта продолжения пути до Москвы:

• Самолёт
• Теплоход
• Поезд
• Автобус

Таким образом, от каждой из двух основных ветвей отходят по четыре более мелкие ветви.

Теперь подсчитаем общее количество вариантов:

1. Если из Волгограда в Нижний Новгород отправиться на теплоходе, то из Нижнего Новгорода в Москву можно добраться 4 способами. Это создаёт 4 полных маршрута.

2. Если из Волгограда в Нижний Новгород отправиться на поезде, то из Нижнего Новгорода в Москву также можно добраться 4 способами. Это создаёт ещё 4 полных маршрута.

Для нахождения общего числа способов можно воспользоваться правилом умножения в комбинаторике: число вариантов на первом этапе умножается на число вариантов на втором этапе.

Количество способов на первом этапе: $2$.

Количество способов на втором этапе: $4$.

Общее количество способов путешествия равно их произведению:

$2 \times 4 = 8$

Ответ: 8.

2.86 В костюмерной имеются жёлтые и белые кофты, а также синие, красные и чёрные юбки. Сколько из них можно составить костюмов, отличающихся расцветкой?

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило умножения. Костюм представляет собой комбинацию из одной кофты и одной юбки.

1. Определим количество вариантов выбора кофты.
Согласно условию, есть кофты двух цветов: жёлтые и белые. Таким образом, существует 2 варианта для выбора кофты.

2. Определим количество вариантов выбора юбки.
В наличии есть юбки трёх цветов: синие, красные и чёрные. Это означает, что для выбора юбки есть 3 варианта.

3. Рассчитаем общее количество возможных костюмов.
Чтобы найти общее количество уникальных костюмов, отличающихся расцветкой, необходимо перемножить количество вариантов для каждой части костюма (кофты и юбки).

Количество костюмов = (Количество цветов кофт) × (Количество цветов юбок)

Выполним вычисление:

$2 \times 3 = 6$

Следовательно, можно составить 6 различных по расцветке костюмов.

Ответ: 6

2.87 Имеются ручки четырёх цветов: красные, синие, зелёные, чёрные – и два вида записных книжек. Сколько различных наборов из ручки и записной книжки можно составить из этих предметов?

Для того чтобы найти общее количество различных наборов, состоящих из одной ручки и одной записной книжки, необходимо воспользоваться правилом умножения в комбинаторике. Согласно этому правилу, если один элемент можно выбрать $n$ способами, а другой элемент — $m$ способами, то пару этих элементов можно выбрать $n \times m$ способами.

В данной задаче у нас есть:

• Количество вариантов выбора ручки: 4 (красная, синяя, зелёная, чёрная).
• Количество вариантов выбора записной книжки: 2.

Чтобы найти общее число различных наборов, перемножим количество вариантов для каждого предмета:
$N = 4 \times 2 = 8$

Таким образом, можно составить 8 различных наборов из ручки и записной книжки.
Ответ: 8

2.88 Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя только цифры 4 и 5?

Для составления трёхзначного числа необходимо определить, какая цифра будет стоять на каждой из трёх позиций: в разряде сотен, десятков и единиц. По условию, мы можем использовать только цифры 4 и 5.

Рассмотрим каждую позицию в числе:

1. Разряд сотен: на это место можно поставить либо цифру 4, либо цифру 5. Таким образом, у нас есть 2 варианта.

2. Разряд десятков: на это место также можно поставить либо 4, либо 5. Это даёт ещё 2 варианта.

3. Разряд единиц: для этой позиции у нас снова есть 2 варианта (4 или 5).

Чтобы найти общее количество возможных трёхзначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции. Это комбинаторное правило произведения.

Общее количество чисел = (варианты для сотен) × (варианты для десятков) × (варианты для единиц).

Выполним вычисление: $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Таким образом, можно составить 8 различных трёхзначных чисел.

Для наглядности можно перечислить все возможные числа: 444, 445, 454, 455, 544, 545, 554, 555.

Ответ: 8

2.89 Сколько чисел в римской нумерации можно записать, используя только цифры I и V?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить и применить правила записи чисел в римской системе счисления, используя только цифры I (1) и V (5).

Основные правила:

• Правило повторения: Цифра I может повторяться подряд не более трех раз (I, II, III). Цифра V не повторяется никогда.
• Правило сложения: Если цифра с меньшим значением стоит после цифры с большим, их значения складываются. Например, VI = $5 + 1 = 6$.
• Правило вычитания: Если цифра I стоит непосредственно перед цифрой V, то ее значение вычитается из значения V. Например, IV = $5 - 1 = 4$. При этом перед V может стоять только одна I.

Основываясь на этих правилах, давайте систематически перечислим все возможные числа.

1. Числа, состоящие только из цифры I.

Согласно правилу повторения, мы можем записать:

• I (соответствует числу 1)
• II (соответствует числу 2)
• III (соответствует числу 3)

Всего получается 3 числа.

2. Числа, содержащие цифру V.

По правилам, цифра V может использоваться в числе только один раз. Рассмотрим все комбинации с цифрой I.

• С использованием правила вычитания:
  Цифра I ставится перед V. Это дает нам число:
  IV (соответствует числу 4)
• Без использования других цифр или с использованием правила сложения:
  Здесь цифра V является единственной или стоит перед цифрами I. Это дает нам числа:
  V (соответствует числу 5)
  VI (соответствует числу 6)
  VII (соответствует числу 7)
  VIII (соответствует числу 8)

В этой группе получается $1 + 4 = 5$ чисел.

Подведение итогов.

Теперь сложим количество чисел, полученных в каждой группе:

$3 \text{ (из группы 1)} + 5 \text{ (из группы 2)} = 8$

Таким образом, полный список чисел, которые можно записать с помощью цифр I и V, следующий: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. Это 8 чисел, соответствующих арабским цифрам от 1 до 8.

Ответ: 8

2.90 Дано число 3241. Запишите все числа, большие данного, которые можно получить с помощью перестановки цифр этого числа.

Дано число 3241. Цифры, из которых можно составлять новые числа путем перестановки: 1, 2, 3, 4. Необходимо найти все числа, составленные из этих цифр, которые будут больше 3241.

Чтобы число, полученное перестановкой, было больше 3241, его первая цифра (в разряде тысяч) должна быть либо больше 3, либо равна 3.

Рассмотрим случай, когда первая цифра больше 3. Из набора {1, 2, 3, 4} только цифра 4 больше 3. Если число начинается с 4, оно гарантированно будет больше 3241. Оставшиеся три цифры {1, 2, 3} можно расположить на оставшихся трех позициях $P_3 = 3! = 6$ способами. Это дает нам следующие 6 чисел:
4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.

Теперь рассмотрим случай, когда первая цифра равна 3. Чтобы число было больше 3241, его вторая цифра (в разряде сотен) должна быть больше 2. Из оставшихся цифр {1, 2, 4} этому условию удовлетворяет только цифра 4. Значит, число должно начинаться с 34. Оставшиеся две цифры {1, 2} можно переставить $P_2 = 2! = 2$ способами. Получаем числа:
3412 и 3421.
Оба эти числа больше 3241. Других вариантов нет, так как если бы вторая цифра была 2 (число начинается с 32), то из оставшихся цифр {1, 4} нужно было бы составить число большее 41, что невозможно. А если бы вторая цифра была 1, число было бы заведомо меньше 3241.

Ответ: 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.

2.91 Запишите все числа, которые можно получить из числа 485 203, если зачеркнуть в нём две цифры. Какое из них самое большое? Могли бы вы ответить на этот вопрос без перебора всех вариантов?

Запишите все числа, которые можно получить из числа 485 203, если зачеркнуть в нём две цифры.

Исходное число 485 203 состоит из 6 цифр. Если зачеркнуть две цифры, то получится число, состоящее из $6 - 2 = 4$ цифр. Чтобы найти все такие числа, нужно рассмотреть все возможные пары цифр, которые можно зачеркнуть. Количество способов выбрать 2 цифры из 6 для зачеркивания равно числу сочетаний из 6 по 2:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

Таким образом, существует 15 таких чисел. Перечислим их все, последовательно вычеркивая пары цифр:

• Зачеркиваем 4 и 8: остается 5203
• Зачеркиваем 4 и 5: остается 8203
• Зачеркиваем 4 и 2: остается 8503
• Зачеркиваем 4 и 0: остается 8523
• Зачеркиваем 4 и 3: остается 8520
• Зачеркиваем 8 и 5: остается 4203
• Зачеркиваем 8 и 2: остается 4503
• Зачеркиваем 8 и 0: остается 4523
• Зачеркиваем 8 и 3: остается 4520
• Зачеркиваем 5 и 2: остается 4803
• Зачеркиваем 5 и 0: остается 4823
• Зачеркиваем 5 и 3: остается 4820
• Зачеркиваем 2 и 0: остается 4853
• Зачеркиваем 2 и 3: остается 4850
• Зачеркиваем 0 и 3: остается 4852

Ответ: 5203, 8203, 8503, 8523, 8520, 4203, 4503, 4523, 4520, 4803, 4823, 4820, 4853, 4850, 4852.

Какое из них самое большое?

Чтобы найти самое большое число из полученного списка, нужно сравнить их поразрядно, начиная со старшего разряда (тысяч).

1. Сначала сравним первые цифры. В списке есть числа, начинающиеся на 4, 5 и 8. Самая большая первая цифра — это 8. Выпишем все числа, начинающиеся на 8: 8203, 8503, 8523, 8520.

2. Теперь сравним вторые цифры (сотни) в этих четырех числах. Это цифры 2 и 5. Самая большая из них — 5. Выпишем числа, начинающиеся на 85: 8503, 8523, 8520.

3. Сравним третьи цифры (десятки) в оставшихся трех числах. Это цифры 0 и 2. Самая большая из них — 2. Остаются числа: 8523, 8520.

4. Наконец, сравним последние цифры (единицы) в этих двух числах. Сравниваем 3 и 0. Больше 3.

Таким образом, самое большое число — 8523.

Ответ: 8523.

Могли бы вы ответить на этот вопрос без перебора всех вариантов?

Да, можно найти самое большое число, не выписывая все возможные варианты. Для этого нужно применить "жадный" алгоритм: на каждом шаге выбирать самую большую возможную цифру для каждого разряда, начиная слева.

Нам нужно составить 4-значное число из цифр числа 485203, сохранив их порядок. Мы можем вычеркнуть две цифры.

1. Выбор первой цифры. Чтобы число было максимальным, его первая цифра должна быть как можно больше. Мы можем выбрать первую цифру из первых трех цифр исходного числа (4, 8, 5). Почему из трех? Потому что после выбранной цифры должно остаться как минимум три цифры, чтобы сформировать 4-значное число. Самая большая из цифр 4, 8, 5 — это 8. Выбираем 8. Для этого мы вычеркиваем цифру 4, стоящую перед ней. У нас остается возможность вычеркнуть еще одну цифру. Оставшиеся цифры для выбора: 5203.

2. Выбор второй цифры. Теперь нужно выбрать вторую цифру из оставшейся последовательности 5203. Нам нужно выбрать еще 3 цифры. Вторую цифру мы можем выбрать из первых двух (5, 2), так как после нее должно остаться еще две. Самая большая из них — 5. Выбираем 5. Ничего вычеркивать не пришлось. Оставшиеся цифры: 203.

3. Выбор третьей цифры. Нужно выбрать еще 2 цифры из последовательности 203. Третью цифру мы можем выбрать из первых двух (2, 0). Самая большая — 2. Выбираем 2. Опять ничего не вычеркиваем. Оставшиеся цифры: 03.

4. Выбор четвертой цифры. Нужно выбрать последнюю, четвертую цифру из оставшейся последовательности 03. Мы можем выбрать из обеих цифр (0, 3). Самая большая из них — 3. Выбираем 3. Для этого мы должны вычеркнуть 0. Это наше второе вычеркивание.

Собираем выбранные цифры вместе: 8, 5, 2, 3. Получаем число 8523. Этот метод позволяет найти наибольшее число, не перебирая все варианты.

Ответ: Да, можно.

2.92 Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй?

Обозначим двузначное число как $\overline{ab}$, где $a$ – первая цифра (цифра десятков), а $b$ – вторая цифра (цифра единиц).

Поскольку число двузначное, первая цифра $a$ может быть любым целым числом от 1 до 9. Вторая цифра $b$ может быть любым целым числом от 0 до 9.

Согласно условию задачи, первая цифра должна быть больше второй. Запишем это в виде неравенства: $a > b$.

Чтобы найти все такие числа, можно systematically перебрать все возможные значения для первой цифры $a$ и для каждого из них определить количество подходящих значений для второй цифры $b$:

- Если первая цифра $a = 1$, то вторая цифра $b$ должна быть меньше 1. Единственный возможный вариант — $b = 0$. Это дает нам 1 число (10).
- Если $a = 2$, то $b$ может быть 0 или 1. Это дает 2 числа (20, 21).
- Если $a = 3$, то $b$ может быть 0, 1 или 2. Это дает 3 числа (30, 31, 32).
- Если $a = 4$, то $b$ может быть 0, 1, 2 или 3. Это дает 4 числа.
- Если $a = 5$, то для $b$ есть 5 вариантов (от 0 до 4).
- Если $a = 6$, то для $b$ есть 6 вариантов (от 0 до 5).
- Если $a = 7$, то для $b$ есть 7 вариантов (от 0 до 6).
- Если $a = 8$, то для $b$ есть 8 вариантов (от 0 до 7).
- Если $a = 9$, то для $b$ есть 9 вариантов (от 0 до 8).

Теперь, чтобы найти общее количество таких двузначных чисел, сложим количество вариантов для каждого случая:$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9$

Эта сумма представляет собой сумму первых девяти натуральных чисел, которую можно вычислить по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:$S_9 = \frac{9(1 + 9)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = \frac{90}{2} = 45$

Ответ: 45