Номер 2.90, страница 46 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 2.5. Логика перебора при решении задач. Глава 2. Натуральные числа - номер 2.90, страница 46.

2.90 Дано число 3241. Запишите все числа, большие данного, которые можно получить с помощью перестановки цифр этого числа.

Дано число 3241. Цифры, из которых можно составлять новые числа путем перестановки: 1, 2, 3, 4. Необходимо найти все числа, составленные из этих цифр, которые будут больше 3241.

Чтобы число, полученное перестановкой, было больше 3241, его первая цифра (в разряде тысяч) должна быть либо больше 3, либо равна 3.

Рассмотрим случай, когда первая цифра больше 3. Из набора {1, 2, 3, 4} только цифра 4 больше 3. Если число начинается с 4, оно гарантированно будет больше 3241. Оставшиеся три цифры {1, 2, 3} можно расположить на оставшихся трех позициях $P_3 = 3! = 6$ способами. Это дает нам следующие 6 чисел:
4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.

Теперь рассмотрим случай, когда первая цифра равна 3. Чтобы число было больше 3241, его вторая цифра (в разряде сотен) должна быть больше 2. Из оставшихся цифр {1, 2, 4} этому условию удовлетворяет только цифра 4. Значит, число должно начинаться с 34. Оставшиеся две цифры {1, 2} можно переставить $P_2 = 2! = 2$ способами. Получаем числа:
3412 и 3421.
Оба эти числа больше 3241. Других вариантов нет, так как если бы вторая цифра была 2 (число начинается с 32), то из оставшихся цифр {1, 4} нужно было бы составить число большее 41, что невозможно. А если бы вторая цифра была 1, число было бы заведомо меньше 3241.

Ответ: 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.