Номер 2.91, страница 46 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 2.5. Логика перебора при решении задач. Глава 2. Натуральные числа - номер 2.91, страница 46.

2.91 Запишите все числа, которые можно получить из числа 485 203, если зачеркнуть в нём две цифры. Какое из них самое большое? Могли бы вы ответить на этот вопрос без перебора всех вариантов?

Запишите все числа, которые можно получить из числа 485 203, если зачеркнуть в нём две цифры.

Исходное число 485 203 состоит из 6 цифр. Если зачеркнуть две цифры, то получится число, состоящее из $6 - 2 = 4$ цифр. Чтобы найти все такие числа, нужно рассмотреть все возможные пары цифр, которые можно зачеркнуть. Количество способов выбрать 2 цифры из 6 для зачеркивания равно числу сочетаний из 6 по 2:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

Таким образом, существует 15 таких чисел. Перечислим их все, последовательно вычеркивая пары цифр:

• Зачеркиваем 4 и 8: остается 5203
• Зачеркиваем 4 и 5: остается 8203
• Зачеркиваем 4 и 2: остается 8503
• Зачеркиваем 4 и 0: остается 8523
• Зачеркиваем 4 и 3: остается 8520
• Зачеркиваем 8 и 5: остается 4203
• Зачеркиваем 8 и 2: остается 4503
• Зачеркиваем 8 и 0: остается 4523
• Зачеркиваем 8 и 3: остается 4520
• Зачеркиваем 5 и 2: остается 4803
• Зачеркиваем 5 и 0: остается 4823
• Зачеркиваем 5 и 3: остается 4820
• Зачеркиваем 2 и 0: остается 4853
• Зачеркиваем 2 и 3: остается 4850
• Зачеркиваем 0 и 3: остается 4852

Ответ: 5203, 8203, 8503, 8523, 8520, 4203, 4503, 4523, 4520, 4803, 4823, 4820, 4853, 4850, 4852.

Какое из них самое большое?

Чтобы найти самое большое число из полученного списка, нужно сравнить их поразрядно, начиная со старшего разряда (тысяч).

1. Сначала сравним первые цифры. В списке есть числа, начинающиеся на 4, 5 и 8. Самая большая первая цифра — это 8. Выпишем все числа, начинающиеся на 8: 8203, 8503, 8523, 8520.

2. Теперь сравним вторые цифры (сотни) в этих четырех числах. Это цифры 2 и 5. Самая большая из них — 5. Выпишем числа, начинающиеся на 85: 8503, 8523, 8520.

3. Сравним третьи цифры (десятки) в оставшихся трех числах. Это цифры 0 и 2. Самая большая из них — 2. Остаются числа: 8523, 8520.

4. Наконец, сравним последние цифры (единицы) в этих двух числах. Сравниваем 3 и 0. Больше 3.

Таким образом, самое большое число — 8523.

Ответ: 8523.

Могли бы вы ответить на этот вопрос без перебора всех вариантов?

Да, можно найти самое большое число, не выписывая все возможные варианты. Для этого нужно применить "жадный" алгоритм: на каждом шаге выбирать самую большую возможную цифру для каждого разряда, начиная слева.

Нам нужно составить 4-значное число из цифр числа 485203, сохранив их порядок. Мы можем вычеркнуть две цифры.

1. Выбор первой цифры. Чтобы число было максимальным, его первая цифра должна быть как можно больше. Мы можем выбрать первую цифру из первых трех цифр исходного числа (4, 8, 5). Почему из трех? Потому что после выбранной цифры должно остаться как минимум три цифры, чтобы сформировать 4-значное число. Самая большая из цифр 4, 8, 5 — это 8. Выбираем 8. Для этого мы вычеркиваем цифру 4, стоящую перед ней. У нас остается возможность вычеркнуть еще одну цифру. Оставшиеся цифры для выбора: 5203.

2. Выбор второй цифры. Теперь нужно выбрать вторую цифру из оставшейся последовательности 5203. Нам нужно выбрать еще 3 цифры. Вторую цифру мы можем выбрать из первых двух (5, 2), так как после нее должно остаться еще две. Самая большая из них — 5. Выбираем 5. Ничего вычеркивать не пришлось. Оставшиеся цифры: 203.

3. Выбор третьей цифры. Нужно выбрать еще 2 цифры из последовательности 203. Третью цифру мы можем выбрать из первых двух (2, 0). Самая большая — 2. Выбираем 2. Опять ничего не вычеркиваем. Оставшиеся цифры: 03.

4. Выбор четвертой цифры. Нужно выбрать последнюю, четвертую цифру из оставшейся последовательности 03. Мы можем выбрать из обеих цифр (0, 3). Самая большая из них — 3. Выбираем 3. Для этого мы должны вычеркнуть 0. Это наше второе вычеркивание.

Собираем выбранные цифры вместе: 8, 5, 2, 3. Получаем число 8523. Этот метод позволяет найти наибольшее число, не перебирая все варианты.

Ответ: Да, можно.