Страница 43 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Дополним условие рассмотренной задачи требованием: каждую цифру можно использовать только один раз. Какие числа в таком случае нужно отбросить? Сколько останется чисел?

Поскольку условие исходной задачи не приведено, будем исходить из наиболее вероятного предположения, что в ней рассматривались все трёхзначные числа, которые можно составить из набора неких цифр (например, 0, 1, 2, 3, 4), при этом цифры могли повторяться. Для примера возьмём набор цифр {0, 1, 2, 3, 4}. Изначально можно было составить $4 \times 5 \times 5 = 100$ трёхзначных чисел (на первом месте не может стоять 0).

Теперь к условию добавляется требование, что каждую цифру можно использовать только один раз.

Какие числа в таком случае нужно отбросить?

В этом случае нужно отбросить все числа, в записи которых есть повторяющиеся цифры. То есть, числа, у которых хотя бы две цифры из трёх одинаковые.
Например, из набора {0, 1, 2, 3, 4} нужно было бы отбросить такие числа, как:

• 110, 121, 223, 404, 330 (с двумя одинаковыми цифрами)
• 111, 222, 333, 444 (со всеми одинаковыми цифрами)

Ответ: Нужно отбросить все числа, в записи которых хотя бы одна цифра повторяется.

Сколько останется чисел?

Чтобы найти количество оставшихся чисел, нужно посчитать, сколько можно составить трёхзначных чисел из цифр {0, 1, 2, 3, 4} при условии, что все цифры в числе должны быть различны. Воспользуемся комбинаторным правилом умножения.
1. На первую позицию (сотни) можно поставить любую из 4 цифр (1, 2, 3, 4), так как число не может начинаться с нуля.
2. На вторую позицию (десятки) можно поставить любую из оставшихся 4 цифр. Мы не можем использовать цифру, которая уже стоит на месте сотен, но теперь можем использовать 0.
3. На третью позицию (единицы) можно поставить любую из оставшихся 3 цифр, так как две цифры уже использованы для сотен и десятков.
Таким образом, общее количество чисел без повторений равно:
$4 \times 4 \times 3 = 48$

Ответ: 48 чисел.

Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 3 и 6, если:

а) каждую цифру разрешается использовать только один раз;

б) каждую цифру разрешается использовать не один раз?

а) каждую цифру разрешается использовать только один раз;

Для составления двузначного числа из цифр 3 и 6 без повторений, нужно рассмотреть все возможные комбинации.

На место первой цифры (разряд десятков) можно поставить одну из двух данных цифр: 3 или 6. Таким образом, есть 2 варианта.

После того как первая цифра выбрана, на место второй цифры (разряд единиц) остаётся только одна неиспользованная цифра. Например, если первой была цифра 3, то второй может быть только 6. Если первой была 6, второй может быть только 3. Таким образом, для второй цифры остаётся 1 вариант.

Общее количество возможных чисел находится по правилу произведения: $2 \times 1 = 2$.

Это числа: 36 и 63.

Ответ: 2.

б) каждую цифру разрешается использовать не один раз?

В этом случае цифры в двузначном числе могут повторяться.

На место первой цифры (разряд десятков) можно поставить любую из двух цифр: 3 или 6. Есть 2 варианта.

Так как повторение разрешено, на место второй цифры (разряд единиц) также можно поставить любую из двух цифр: 3 или 6. Тоже 2 варианта.

Общее количество возможных чисел находим, перемножив количество вариантов для каждой позиции: $2 \times 2 = 4$.

Перечислим все возможные числа: 33, 36, 63, 66.

Ответ: 4.

Изобразите в тетради прямую с точками $A$, $B$, $C$, $D$ (см. рис. 2.16) и добавьте ещё точку $E$. Теперь на прямой отмечены пять точек. Сколько отрезков при этом добавилось?

$A$ $B$ $C$ $D$

Рис. 2.16

Для решения задачи необходимо посчитать, сколько отрезков было изначально и сколько их стало после добавления новой точки. Разница между этими двумя значениями и будет ответом.

Способ 1: Прямой подсчет новых отрезков

Изначально на прямой было 4 точки: A, B, C, D.

Когда мы добавляем на прямую новую точку E, она может образовать новые отрезки с каждой из уже существующих точек. Перечислим эти новые отрезки, одним из концов которых является точка E:

• AE (или EA)
• BE (или EB)
• CE (или EC)
• DE (или ED)

Таким образом, при добавлении одной точки к четырём имеющимся, образуется 4 новых отрезка. Положение точки E на прямой не влияет на количество новых отрезков.

Способ 2: Использование формул комбинаторики

Количество отрезков, которые можно составить из $n$ точек на прямой, равно числу сочетаний из $n$ по 2 и вычисляется по формуле: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

1. Сначала посчитаем, сколько отрезков было при 4 точках ($n=4$):
$C_4^2 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ отрезков.

2. Теперь посчитаем, сколько всего отрезков стало при 5 точках ($n=5$):
$C_5^2 = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$ отрезков.

3. Чтобы найти, сколько отрезков добавилось, вычтем из нового количества старое:
$10 - 6 = 4$ отрезка.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 4