Страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.47 Назовите какое-нибудь число, которое на координатной прямой находится:

а) между числами 20 и 30 и расположено ближе к числу 20; к числу 30;

б) между числами 700 и 800 и расположено ближе к числу 800;

в) между числами 3400 и 3500 и расположено ближе к числу 3400.

а) Чтобы определить, к какому из двух чисел ближе находится третье число, нужно найти середину отрезка между этими двумя числами. Середина отрезка между числами $a$ и $b$ находится по формуле $m = (a + b) / 2$.

Найдем середину отрезка между 20 и 30:
$m = (20 + 30) / 2 = 50 / 2 = 25$.

Число, расположенное ближе к 20, должно быть меньше середины (25), но больше 20. Например, это может быть число 21, 22, 23 или 24. Возьмем число 22.

Число, расположенное ближе к 30, должно быть больше середины (25), но меньше 30. Например, это может быть число 26, 27, 28 или 29. Возьмем число 28.
Ответ: 22 (ближе к 20); 28 (ближе к 30).

б) Найдем середину отрезка между числами 700 и 800:
$m = (700 + 800) / 2 = 1500 / 2 = 750$.

Число, которое расположено ближе к 800, должно быть больше середины (750), но меньше 800. Например, это может быть любое число из интервала $(750, 800)$. Возьмем, к примеру, число 780.
Ответ: 780.

в) Найдем середину отрезка между числами 3400 и 3500:
$m = (3400 + 3500) / 2 = 6900 / 2 = 3450$.

Число, которое расположено ближе к 3400, должно быть меньше середины (3450), но больше 3400. Например, это может быть любое число из интервала $(3400, 3450)$. Возьмем, к примеру, число 3425.
Ответ: 3425.

2.48 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО На координатной прямой точками отмечены натуральные числа $a, b, c$ и $d$ (Рис. 2.9). Какие из неравенств являются верными?

1) $a > c$

2) $b > c$

3) $d < a$

4) $a < b$

5) $d < a < c$

6) $b < c < a$

На координатной прямой (рис. 2.9) числа расположены в порядке возрастания слева направо. Точки $d, a, c, b$ расположены правее нуля и следуют друг за другом. Это означает, что для соответствующих чисел выполняется следующая цепочка неравенств: $0 < d < a < c < b$. Используя это соотношение, проверим истинность каждого из предложенных неравенств.

1) $a > c$.На координатной прямой точка $a$ находится левее точки $c$, что означает, что число $a$ меньше числа $c$ ($a < c$). Следовательно, неравенство $a > c$ является неверным.
Ответ: неверно.

2) $b > c$.На координатной прямой точка $b$ находится правее точки $c$, что означает, что число $b$ больше числа $c$ ($b > c$). Следовательно, неравенство $b > c$ является верным.
Ответ: верно.

3) $d < a$.На координатной прямой точка $d$ находится левее точки $a$, что означает, что число $d$ меньше числа $a$ ($d < a$). Следовательно, неравенство $d < a$ является верным.
Ответ: верно.

4) $a < b$.На координатной прямой точка $a$ находится левее точки $b$, что означает, что число $a$ меньше числа $b$ ($a < b$). Следовательно, неравенство $a < b$ является верным.
Ответ: верно.

5) $d < a < c$.Это двойное неравенство, которое эквивалентно двум неравенствам: $d < a$ и $a < c$. На прямой точка $d$ левее $a$, поэтому $d < a$ — верно. Точка $a$ левее $c$, поэтому $a < c$ — тоже верно. Поскольку оба условия выполняются, двойное неравенство является верным.
Ответ: верно.

6) $b < c < a$.Это двойное неравенство, которое эквивалентно двум неравенствам: $b < c$ и $c < a$. На прямой точка $b$ находится правее точки $c$, что означает $b > c$. Таким образом, первое условие ($b < c$) не выполняется. Следовательно, все двойное неравенство является неверным.
Ответ: неверно.

2.49 Сколько имеется точек с натуральными координатами, которые на координатной прямой расположены:

a) левее точки $A(15)$;

б) правее точки $B(10)$;

в) правее точки $C(12)$; но левее точки $D(22)$?

а) Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов (1, 2, 3, ...). Точки с натуральными координатами, которые расположены левее точки $A(15)$, должны иметь координату $x$, которая является натуральным числом и удовлетворяет условию $x < 15$. Перечислим эти числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Всего таких чисел 14.
Ответ: 14.

б) Точки с натуральными координатами, которые расположены правее точки $B(10)$, должны иметь координату $x$, которая является натуральным числом и удовлетворяет условию $x > 10$. Такими числами являются 11, 12, 13, 14, и так далее. Этот числовой ряд бесконечен. Следовательно, существует бесконечно много таких точек.
Ответ: бесконечно много.

в) Точки с натуральными координатами, которые расположены правее точки $C(12)$, но левее точки $D(22)$, должны иметь координату $x$, которая является натуральным числом и удовлетворяет двойному неравенству $12 < x < 22$. Перечислим все натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.Чтобы посчитать их количество, можно из конечной точки вычесть начальную и еще вычесть 1: $22 - 12 - 1 = 9$.Всего таких точек 9.
Ответ: 9.

2.50 Найдите:

1) координаты точек, которые находятся на расстоянии, равном четырём единицам от точки $A(13)$;

2) координаты точки, которая находится на одном и том же расстоянии от точек $B(18)$ и $C(14)$.

В каждом случае сделайте рисунок.

1) координаты точек, которые находятся на расстоянии, равном четырём единицам от точки А(13)

Пусть искомая точка $X$ имеет координату $x$. Расстояние между точкой $X(x)$ и точкой $А(13)$ на координатной прямой вычисляется по формуле $d = |x - 13|$. По условию задачи, это расстояние равно четырём единицам, следовательно, мы получаем уравнение:

$|x - 13| = 4$

Это уравнение распадается на два случая:

а) $x - 13 = 4$
$x_1 = 13 + 4 = 17$

б) $x - 13 = -4$
$x_2 = 13 - 4 = 9$

Таким образом, условию удовлетворяют две точки с координатами 9 и 17.

Рисунок:

Ответ: (9) и (17).

2) координаты точки, которая находится на одном и том же расстоянии от точек B(18) и C(14)

Точка, равноудалённая от двух других точек на координатной прямой, является серединой отрезка, концами которого являются эти точки. Пусть искомая точка $М$ имеет координату $m$. Координату середины отрезка $BC$ можно найти по формуле:

$m = \frac{x_B + x_C}{2}$

где $x_B = 18$ и $x_C = 14$ – координаты точек $B$ и $C$ соответственно.

Подставим значения координат в формулу:

$m = \frac{18 + 14}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Следовательно, искомая точка $М$ имеет координату 16.

Для проверки можно убедиться, что расстояния от точки $М(16)$ до точек $B(18)$ и $C(14)$ равны:
$MB = |18 - 16| = 2$
$MC = |14 - 16| = |-2| = 2$
Поскольку $MB = MC$, точка найдена верно.

Рисунок:

Ответ: (16).

РАССУЖДАЕМ (2.51–2.52)

2.51 Сколько существует на координатной прямой пар точек, удаленных на одно и то же расстояние от точки $M(50)$, координаты которых — натуральные числа? Назовите координаты пары ближайших точек и пары наиболее удаленных точек. Проиллюстрируйте свои рассуждения схематическим рисунком.

Пусть искомые точки на координатной прямой имеют координаты $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ — натуральные числа, то есть $a, b \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$.

Точка $M$ имеет координату 50. Условие, что точки $a$ и $b$ находятся на одном и том же расстоянии от точки $M$, означает, что они симметричны относительно точки $M$. Пусть это расстояние равно $d$. Тогда одна точка будет иметь координату $50 - d$, а другая — $50 + d$.

Итак, пусть $a = 50 - d$ и $b = 50 + d$.

Поскольку $a$ и $b$ должны быть натуральными числами, должны выполняться следующие условия:

1. $a \ge 1 \implies 50 - d \ge 1 \implies 49 \ge d$
2. $b \ge 1 \implies 50 + d \ge 1$. Это условие всегда выполняется для любого положительного расстояния $d$.

Так как координаты $a$ и $b$ являются целыми числами, расстояние $d$ между ними и точкой $M$ также должно выражаться целым числом. Поскольку расстояние не может быть отрицательным и точки $a$ и $b$ различны, $d$ должно быть натуральным числом, $d \in \mathbb{N}$.

Из условия $49 \ge d$ и $d \in \mathbb{N}$ следует, что $d$ может принимать любые целые значения от 1 до 49 включительно: $d \in \{1, 2, 3, \ldots, 49\}$.

Сколько существует на координатной прямой пар точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки M(50), координаты которых — натуральные числа?

Каждому натуральному значению расстояния $d$ от 1 до 49 соответствует одна уникальная пара точек $(50-d; 50+d)$, координаты которых являются натуральными числами. Общее количество таких значений для $d$ равно 49. Следовательно, существует 49 таких пар точек.

Ответ: 49 пар.

Назовите координаты пары ближайших точек и пары наиболее удалённых точек.

Ближайшие точки — это пара, для которой расстояние $d$ до точки $M(50)$ минимально. Минимальное натуральное значение для $d$ равно 1. При $d=1$ координаты точек равны: $a = 50 - 1 = 49$ $b = 50 + 1 = 51$ Таким образом, пара ближайших точек имеет координаты (49; 51).

Наиболее удалённые точки — это пара, для которой расстояние $d$ до точки $M(50)$ максимально. Максимальное возможное значение для $d$ (при котором координата $a$ остается натуральным числом) равно 49. При $d=49$ координаты точек равны: $a = 50 - 49 = 1$ $b = 50 + 49 = 99$ Таким образом, пара наиболее удалённых точек имеет координаты (1; 99).

Ответ: Координаты ближайших точек: (49; 51). Координаты наиболее удалённых точек: (1; 99).

Проиллюстрируйте свои рассуждения схематическим рисунком.

Ответ: Схематический рисунок, иллюстрирующий рассуждения, представлен выше.

2.52 Возьмём некоторое число и обозначим его буквой $a$.

1) Пусть известно, что $a > 20$. Какое из двух неравенств в этом случае обязательно будет верным: $a > 10$ или $a > 30$?

2) Пусть $a < 20$. Какое из двух неравенств в этом случае всегда будет верным: $a < 10$ или $a < 30$?

3) Пусть $20 < a < 50$. Какое из двух утверждений при этом условии будет верным: $30 < a < 40$ или $10 < a < 100$?

Подсказка. Рассуждайте в каждом случае с опорой на координатную прямую; рисунки делайте схематично. Например, в первом случае может помочь рисунок 2.10.

Рис. 2.10

1) Нам дано условие, что $a > 20$. Это означает, что число $a$ на координатной прямой находится правее точки 20.
Рассмотрим два предложенных неравенства:
- $a > 10$. Если число больше 20, то оно заведомо больше 10. Например, $21 > 10$, $50 > 10$. Любая точка на числовой оси, расположенная правее 20, также будет расположена правее 10. Это неравенство всегда верно при заданном условии.
- $a > 30$. Это неравенство не всегда будет верным. Например, можно взять $a = 25$. Условие $25 > 20$ выполняется, но неравенство $25 > 30$ является ложным.
Следовательно, обязательно верным будет неравенство $a > 10$.
Ответ: $a > 10$.

2) Нам дано условие, что $a < 20$. Это означает, что число $a$ на координатной прямой находится левее точки 20.
Рассмотрим два предложенных неравенства:
- $a < 10$. Это неравенство не всегда будет верным. Например, можно взять $a = 15$. Условие $15 < 20$ выполняется, но неравенство $15 < 10$ является ложным.
- $a < 30$. Если число меньше 20, то оно заведомо меньше 30. Например, $19 < 30$, $0 < 30$. Любая точка на числовой оси, расположенная левее 20, также будет расположена левее 30. Это неравенство всегда верно при заданном условии.
Следовательно, всегда будет верным неравенство $a < 30$.
Ответ: $a < 30$.

3) Нам дано условие, что $20 < a < 50$. Это означает, что число $a$ на координатной прямой находится в интервале между 20 и 50.
Рассмотрим два предложенных утверждения:
- $30 < a < 40$. Это утверждение не всегда будет верным. Например, если $a = 25$, то условие $20 < 25 < 50$ выполняется, но $a$ не попадает в интервал от 30 до 40. Аналогично, если $a = 45$, условие $20 < 45 < 50$ выполняется, но $a$ снова не попадает в интервал $(30, 40)$.
- $10 < a < 100$. Это утверждение будет верным всегда. Если число $a$ больше 20 ($a > 20$), то оно автоматически больше 10 ($a > 10$). Если число $a$ меньше 50 ($a < 50$), то оно автоматически меньше 100 ($a < 100$). Таким образом, весь интервал чисел от 20 до 50 является частью более широкого интервала от 10 до 100.
Следовательно, верным будет утверждение $10 < a < 100$.
Ответ: $10 < a < 100$.