Номер 2.51, страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 2.3. Числа и точки на прямой. Глава 2. Натуральные числа - номер 2.51, страница 36.

РАССУЖДАЕМ (2.51–2.52)

2.51 Сколько существует на координатной прямой пар точек, удаленных на одно и то же расстояние от точки $M(50)$, координаты которых — натуральные числа? Назовите координаты пары ближайших точек и пары наиболее удаленных точек. Проиллюстрируйте свои рассуждения схематическим рисунком.

Пусть искомые точки на координатной прямой имеют координаты $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ — натуральные числа, то есть $a, b \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$.

Точка $M$ имеет координату 50. Условие, что точки $a$ и $b$ находятся на одном и том же расстоянии от точки $M$, означает, что они симметричны относительно точки $M$. Пусть это расстояние равно $d$. Тогда одна точка будет иметь координату $50 - d$, а другая — $50 + d$.

Итак, пусть $a = 50 - d$ и $b = 50 + d$.

Поскольку $a$ и $b$ должны быть натуральными числами, должны выполняться следующие условия:

1. $a \ge 1 \implies 50 - d \ge 1 \implies 49 \ge d$
2. $b \ge 1 \implies 50 + d \ge 1$. Это условие всегда выполняется для любого положительного расстояния $d$.

Так как координаты $a$ и $b$ являются целыми числами, расстояние $d$ между ними и точкой $M$ также должно выражаться целым числом. Поскольку расстояние не может быть отрицательным и точки $a$ и $b$ различны, $d$ должно быть натуральным числом, $d \in \mathbb{N}$.

Из условия $49 \ge d$ и $d \in \mathbb{N}$ следует, что $d$ может принимать любые целые значения от 1 до 49 включительно: $d \in \{1, 2, 3, \ldots, 49\}$.

Сколько существует на координатной прямой пар точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки M(50), координаты которых — натуральные числа?

Каждому натуральному значению расстояния $d$ от 1 до 49 соответствует одна уникальная пара точек $(50-d; 50+d)$, координаты которых являются натуральными числами. Общее количество таких значений для $d$ равно 49. Следовательно, существует 49 таких пар точек.

Ответ: 49 пар.

Назовите координаты пары ближайших точек и пары наиболее удалённых точек.

Ближайшие точки — это пара, для которой расстояние $d$ до точки $M(50)$ минимально. Минимальное натуральное значение для $d$ равно 1. При $d=1$ координаты точек равны: $a = 50 - 1 = 49$ $b = 50 + 1 = 51$ Таким образом, пара ближайших точек имеет координаты (49; 51).

Наиболее удалённые точки — это пара, для которой расстояние $d$ до точки $M(50)$ максимально. Максимальное возможное значение для $d$ (при котором координата $a$ остается натуральным числом) равно 49. При $d=49$ координаты точек равны: $a = 50 - 49 = 1$ $b = 50 + 49 = 99$ Таким образом, пара наиболее удалённых точек имеет координаты (1; 99).

Ответ: Координаты ближайших точек: (49; 51). Координаты наиболее удалённых точек: (1; 99).

Проиллюстрируйте свои рассуждения схематическим рисунком.

Ответ: Схематический рисунок, иллюстрирующий рассуждения, представлен выше.