Номер 2.52, страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 2.3. Числа и точки на прямой. Глава 2. Натуральные числа - номер 2.52, страница 36.

2.52 Возьмём некоторое число и обозначим его буквой $a$.

1) Пусть известно, что $a > 20$. Какое из двух неравенств в этом случае обязательно будет верным: $a > 10$ или $a > 30$?

2) Пусть $a < 20$. Какое из двух неравенств в этом случае всегда будет верным: $a < 10$ или $a < 30$?

3) Пусть $20 < a < 50$. Какое из двух утверждений при этом условии будет верным: $30 < a < 40$ или $10 < a < 100$?

Подсказка. Рассуждайте в каждом случае с опорой на координатную прямую; рисунки делайте схематично. Например, в первом случае может помочь рисунок 2.10.

Рис. 2.10

1) Нам дано условие, что $a > 20$. Это означает, что число $a$ на координатной прямой находится правее точки 20.
Рассмотрим два предложенных неравенства:
- $a > 10$. Если число больше 20, то оно заведомо больше 10. Например, $21 > 10$, $50 > 10$. Любая точка на числовой оси, расположенная правее 20, также будет расположена правее 10. Это неравенство всегда верно при заданном условии.
- $a > 30$. Это неравенство не всегда будет верным. Например, можно взять $a = 25$. Условие $25 > 20$ выполняется, но неравенство $25 > 30$ является ложным.
Следовательно, обязательно верным будет неравенство $a > 10$.
Ответ: $a > 10$.

2) Нам дано условие, что $a < 20$. Это означает, что число $a$ на координатной прямой находится левее точки 20.
Рассмотрим два предложенных неравенства:
- $a < 10$. Это неравенство не всегда будет верным. Например, можно взять $a = 15$. Условие $15 < 20$ выполняется, но неравенство $15 < 10$ является ложным.
- $a < 30$. Если число меньше 20, то оно заведомо меньше 30. Например, $19 < 30$, $0 < 30$. Любая точка на числовой оси, расположенная левее 20, также будет расположена левее 30. Это неравенство всегда верно при заданном условии.
Следовательно, всегда будет верным неравенство $a < 30$.
Ответ: $a < 30$.

3) Нам дано условие, что $20 < a < 50$. Это означает, что число $a$ на координатной прямой находится в интервале между 20 и 50.
Рассмотрим два предложенных утверждения:
- $30 < a < 40$. Это утверждение не всегда будет верным. Например, если $a = 25$, то условие $20 < 25 < 50$ выполняется, но $a$ не попадает в интервал от 30 до 40. Аналогично, если $a = 45$, условие $20 < 45 < 50$ выполняется, но $a$ снова не попадает в интервал $(30, 40)$.
- $10 < a < 100$. Это утверждение будет верным всегда. Если число $a$ больше 20 ($a > 20$), то оно автоматически больше 10 ($a > 10$). Если число $a$ меньше 50 ($a < 50$), то оно автоматически меньше 100 ($a < 100$). Таким образом, весь интервал чисел от 20 до 50 является частью более широкого интервала от 10 до 100.
Следовательно, верным будет утверждение $10 < a < 100$.
Ответ: $10 < a < 100$.