Страница 31 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.21 Рассмотрите последовательность нечётных чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ...

Какое число стоит в этой последовательности на 20-м месте; на 100-м месте; на 175-м месте?

Последовательность нечётных чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... представляет собой арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = 2$.

Чтобы найти число, стоящее на n-м месте в этой последовательности, можно использовать формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставив значения для данной последовательности, получаем: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$.

Теперь мы можем использовать эту формулу $a_n = 2n - 1$ для нахождения чисел на требуемых местах.

на 20-м месте

Подставим $n = 20$ в формулу:

$a_{20} = 2 \cdot 20 - 1 = 40 - 1 = 39$.

Ответ: 39.

на 100-м месте

Подставим $n = 100$ в формулу:

$a_{100} = 2 \cdot 100 - 1 = 200 - 1 = 199$.

Ответ: 199.

на 175-м месте

Подставим $n = 175$ в формулу:

$a_{175} = 2 \cdot 175 - 1 = 350 - 1 = 349$.

Ответ: 349.

2.22 Какое из чисел больше:

а) $245$ или $1002$;

б) $25000$ или $9876$;

в) $74196$ или $74215$;

г) $119700$ или $119046$;

д) $908007$ или $900876$;

е) $340506$ или $3040506$?

а) Чтобы сравнить числа 245 и 1002, нужно определить, в каком из них больше разрядов (цифр). Число 245 состоит из трех цифр (трехзначное), а число 1002 — из четырех (четырехзначное). Число, в котором больше разрядов, является большим. Следовательно, $1002 > 245$.

Ответ: 1002.

б) Для сравнения чисел 25 000 и 9876 посчитаем количество цифр в каждом. В числе 25 000 пять цифр, а в числе 9876 — четыре. Так как в числе 25 000 больше разрядов, оно больше. Таким образом, $25 000 > 9876$.

Ответ: 25 000.

в) Сравним числа 74 196 и 74 215. Оба числа пятизначные, поэтому их нужно сравнивать поразрядно, начиная со старшего разряда (слева направо). Цифры в разрядах десятков тысяч (7) и тысяч (4) у них одинаковые. Сравним цифры в разряде сотен: у числа 74 196 это 1, а у числа 74 215 — 2. Поскольку $1 < 2$, то и $74 196 < 74 215$.

Ответ: 74 215.

г) Сравним числа 119 700 и 119 046. Количество разрядов у них одинаковое (оба шестизначные). Сравниваем поразрядно слева направо. Первые три цифры (1, 1, 9), соответствующие разрядам сотен тысяч, десятков тысяч и тысяч, совпадают. Сравниваем цифры в следующем, разряде сотен: у числа 119 700 это 7, а у числа 119 046 это 0. Так как $7 > 0$, то $119 700 > 119 046$.

Ответ: 119 700.

д) Сравним числа 908 007 и 900 876. Оба числа шестизначные. Начинаем сравнение со старших разрядов. Цифры в разрядах сотен тысяч (9) и десятков тысяч (0) совпадают. Сравниваем цифры в разряде тысяч: у числа 908 007 это 8, а у числа 900 876 это 0. Поскольку $8 > 0$, то $908 007 > 900 876$.

Ответ: 908 007.

е) Сравним числа 340 506 и 3 040 506. В числе 340 506 шесть разрядов (шестизначное), а в числе 3 040 506 — семь разрядов (семизначное). Число, в котором больше разрядов, всегда больше. Следовательно, $3 040 506 > 340 506$.

Ответ: 3 040 506.

2.23 Какое из чисел меньше:

а) 7280 или 7028;

б) 11 111 или 2222;

в) 15 278 или 15 287;

г) 613 028 или 1 047 100;

д) 900 990 или 90 909;

е) 10 111 111 или 11 100 000?

а) Чтобы сравнить числа 7280 и 7028, мы начинаем сравнивать их цифры слева направо. Оба числа четырехзначные. Цифра в разряде тысяч у обоих чисел одинакова и равна 7. Далее сравниваем цифры в разряде сотен. У числа 7280 в разряде сотен стоит цифра 2, а у числа 7028 — цифра 0. Так как $2 > 0$, то число 7280 больше, чем 7028. Значит, меньшее число — 7028.
Ответ: 7028.

б) Сравниваем числа 11 111 и 2222. Для сравнения натуральных чисел сначала смотрим на количество цифр в них. В числе 11 111 пять цифр (оно пятизначное), а в числе 2222 — четыре цифры (оно четырехзначное). Число, в котором больше цифр, всегда больше. Следовательно, $11 111 > 2222$. Меньшее число — 2222.
Ответ: 2222.

в) Сравниваем числа 15 278 и 15 287. Оба числа пятизначные. Начинаем поразрядное сравнение слева направо. Цифры в разрядах десятков тысяч (1), тысяч (5) и сотен (2) у этих чисел совпадают. Сравниваем цифры в разряде десятков. У числа 15 278 в этом разряде стоит 7, а у числа 15 287 — 8. Так как $7 < 8$, то $15 278 < 15 287$. Меньшее число — 15 278.
Ответ: 15 278.

г) Сравниваем числа 613 028 и 1 047 100. Число 613 028 является шестизначным, а число 1 047 100 — семизначным. Число с меньшим количеством разрядов (цифр) всегда меньше. Следовательно, $613 028 < 1 047 100$. Меньшее число — 613 028.
Ответ: 613 028.

д) Сравниваем числа 900 990 и 90 909. В числе 900 990 шесть цифр, а в числе 90 909 — пять цифр. Из двух натуральных чисел меньше то, в котором меньше разрядов. Поэтому $90 909 < 900 990$. Меньшее число — 90 909.
Ответ: 90 909.

е) Сравниваем числа 10 111 111 и 11 100 000. Оба числа восьмизначные. Сравниваем их поразрядно слева направо. Цифра в старшем разряде (десятки миллионов) у обоих чисел равна 1. Сравниваем следующий разряд — миллионы. У числа 10 111 111 в этом разряде стоит 0, а у числа 11 100 000 — 1. Так как $0 < 1$, то $10 111 111 < 11 100 000$. Меньшее число — 10 111 111.
Ответ: 10 111 111.

2.24 Сравните числа:

а) $908$ и $789$;

б) $407$ и $1007$;

в) $0$ и $600$;

г) $3344$ и $4333$;

д) $1\,800\,180$ и $180\,180$;

е) $115\,978$ и $115\,887$.

а)

Для сравнения чисел 908 и 789 нужно посмотреть на количество цифр в них. Оба числа являются трехзначными. В таком случае сравнение начинают со старшего разряда, то есть с разряда сотен. В числе 908 в разряде сотен стоит цифра 9, а в числе 789 — цифра 7. Так как $9 > 7$, то и число 908 больше числа 789.

Ответ: $908 > 789$.

б)

Чтобы сравнить числа 407 и 1007, сначала определим количество разрядов (цифр) в каждом из них. Число 407 является трехзначным, а число 1007 — четырехзначным. Число, в котором больше разрядов, всегда больше. Следовательно, 407 меньше 1007.

Ответ: $407 < 1007$.

в)

При сравнении чисел 0 и 600 следует помнить, что ноль меньше любого положительного числа. Число 600 — положительное. Поэтому 0 меньше 600.

Ответ: $0 < 600$.

г)

Сравним числа 3344 и 4333. Оба числа являются четырехзначными. Начинаем сравнение со старшего разряда — разряда тысяч. В числе 3344 в разряде тысяч стоит цифра 3, а в числе 4333 — цифра 4. Поскольку $3 < 4$, то число 3344 меньше числа 4333.

Ответ: $3344 < 4333$.

д)

Для сравнения чисел 1 800 180 и 180 180 посмотрим на количество цифр. Число 1 800 180 является семизначным, а число 180 180 — шестизначным. Число, имеющее большее количество разрядов, всегда больше. Таким образом, 1 800 180 больше, чем 180 180.

Ответ: $1 800 180 > 180 180$.

е)

Сравним числа 115 978 и 115 887. Оба числа шестизначные, поэтому их нужно сравнивать поразрядно, слева направо, начиная со старшего разряда.
- Цифры в разряде сотен тысяч совпадают: $1 = 1$.
- Цифры в разряде десятков тысяч совпадают: $1 = 1$.
- Цифры в разряде единиц тысяч совпадают: $5 = 5$.
- Сравниваем цифры в разряде сотен: в первом числе это 9, во втором — 8. Так как $9 > 8$, то первое число больше второго. Дальнейшее сравнение младших разрядов не требуется.

Ответ: $115 978 > 115 887$.

2.25 РАССУЖДАЕМ

1) Какое из двух чисел меньше: пятизначное или четырёхзначное; шестизначное или восьмизначное?

2) Закончите вывод: если количество цифр в двух числах различно, то меньшим из них является то, ...

1) При сравнении двух натуральных чисел, у которых разное количество цифр, меньшим всегда является то число, в котором меньше цифр (или разрядов).

Рассмотрим первую пару: пятизначное и четырехзначное числа.
Наибольшее четырехзначное число — это 9 999.
Наименьшее пятизначное число — это 10 000.
Так как $9~999 < 10~000$, любое четырехзначное число всегда меньше любого пятизначного числа.

Рассмотрим вторую пару: шестизначное и восьмизначное числа.
Наибольшее шестизначное число — это 999 999.
Наименьшее восьмизначное число — это 10 000 000.
Так как $999~999 < 10~000~000$, любое шестизначное число всегда меньше любого восьмизначного числа.

Ответ: Четырехзначное число меньше пятизначного; шестизначное число меньше восьмизначного.

2) Основываясь на приведенных выше примерах, можно сформулировать общее правило. Если два натуральных числа имеют разное количество цифр, то то число, в записи которого цифр меньше, и будет меньшим.
Таким образом, вывод следует закончить так:
...если количество цифр в двух числах различно, то меньшим из них является то, у которого меньше цифр.

Ответ: ...у которого меньше цифр.

2.26 Сравните числа:

а) $1 \text{ млн}$ и $10\ 000\ 000$;

б) $1 \text{ млн } 100 \text{ тыс.}$ и $10\ 010\ 000$;

в) $1 \text{ млрд}$ и $1\ 000\ 000\ 001$;

г) $1 \text{ млрд } 10 \text{ млн } 100 \text{ тыс.}$ и $1\ 010\ 110\ 000$.

а) 1 млн и 10 000 000

Для того чтобы сравнить числа, запишем их в цифровой форме.
"1 млн" — это один миллион, который записывается как 1 000 000.
Второе число — 10 000 000 (десять миллионов).
Сравниваем 1 000 000 и 10 000 000. Число 1 000 000 является семизначным, а число 10 000 000 — восьмизначным. Число, в котором больше знаков (цифр), является большим.
Следовательно, $1~000~000 < 10~000~000$.
Ответ: 1 млн < 10 000 000.

б) 1 млн 100 тыс. и 10 010 000

Запишем число "1 млн 100 тыс." в цифровой форме.
1 млн = 1 000 000.
100 тыс. = 100 000.
Складываем эти значения: $1~000~000 + 100~000 = 1~100~000$.
Второе число — 10 010 000.
Сравниваем 1 100 000 и 10 010 000. Число 1 100 000 является семизначным, а число 10 010 000 — восьмизначным. Число с большим количеством цифр больше.
Следовательно, $1~100~000 < 10~010~000$.
Ответ: 1 млн 100 тыс. < 10 010 000.

в) 1 млрд и 1 000 000 001

Запишем число "1 млрд" в цифровой форме.
"1 млрд" — это один миллиард, который записывается как 1 000 000 000.
Второе число — 1 000 000 001.
Сравниваем 1 000 000 000 и 1 000 000 001. Оба числа имеют одинаковое количество цифр (десятизначные). В этом случае сравниваем числа поразрядно, слева направо. Первые девять цифр у чисел совпадают. Различие в последнем разряде (разряде единиц): у первого числа это 0, а у второго — 1.
Так как $0 < 1$, то $1~000~000~000 < 1~000~000~001$.
Ответ: 1 млрд < 1 000 000 001.

г) 1 млрд 10 млн 100 тыс. и 1 010 110 000

Запишем число "1 млрд 10 млн 100 тыс." в цифровой форме.
1 млрд = 1 000 000 000.
10 млн = 10 000 000.
100 тыс. = 100 000.
Складываем эти значения: $1~000~000~000 + 10~000~000 + 100~000 = 1~010~100~000$.
Второе число — 1 010 110 000.
Сравниваем 1 010 100 000 и 1 010 110 000. Оба числа десятизначные. Сравниваем их поразрядно слева направо. Первые пять цифр (1, 0, 1, 0, 1) совпадают. Различие в шестой цифре (разряд десятков тысяч): у первого числа это 0, а у второго — 1.
Так как $0 < 1$, то $1~010~100~000 < 1~010~110~000$.
Ответ: 1 млрд 10 млн 100 тыс. < 1 010 110 000.

2.27 Назовите числа сначала в порядке возрастания, а потом в порядке убывания; в каждом случае запишите цепочку неравенств:

а) 89, 61, 88, 49;

б) 576, 675, 568, 615;

в) 1033, 831, 1130, 1008.

Образец. $3 < 7 < 12 < 20$, $20 > 12 > 7 > 3$.

а) Чтобы расположить числа 89, 61, 88, 49 в порядке возрастания, нужно найти наименьшее число и двигаться к наибольшему. Самое маленькое число — 49, затем 61, потом 88, и самое большое — 89. Запишем это в виде цепочки неравенств.

В порядке возрастания: $49 < 61 < 88 < 89$.

Чтобы расположить числа в порядке убывания, нужно начать с самого большого числа и двигаться к самому маленькому.

В порядке убывания: $89 > 88 > 61 > 49$.

Ответ: $49 < 61 < 88 < 89$; $89 > 88 > 61 > 49$.

б) Рассмотрим числа 576, 675, 568, 615. Чтобы расположить их в порядке возрастания, сравним их. Сначала идут числа, у которых меньше сотен. Из чисел 576 и 568 меньшим является 568. Затем, сравнивая числа 675 и 615, видим, что 615 меньше. Таким образом, получаем следующую последовательность.

В порядке возрастания: $568 < 576 < 615 < 675$.

В порядке убывания последовательность будет обратной, то есть от самого большого числа к самому маленькому.

В порядке убывания: $675 > 615 > 576 > 568$.

Ответ: $568 < 576 < 615 < 675$; $675 > 615 > 576 > 568$.

в) Рассмотрим числа 1033, 831, 1130, 1008. Для расположения их в порядке возрастания заметим, что число 831 — единственное трехзначное, значит, оно самое маленькое. Остальные числа — четырехзначные. Сравнивая их по разрядам, начиная со старшего, получаем, что 1008 меньше, чем 1033, а 1033 меньше, чем 1130.

В порядке возрастания: $831 < 1008 < 1033 < 1130$.

В порядке убывания последовательность будет обратной.

В порядке убывания: $1130 > 1033 > 1008 > 831$.

Ответ: $831 < 1008 < 1033 < 1130$; $1130 > 1033 > 1008 > 831$.

2.28 Назовите два ближайших числа, между которыми находится данное число, и запишите ответ в виде двойного неравенства; каждое неравенство прочитайте, правильно склоняя числительные:

а) 28;

б) 84;

в) 145;

г) 219;

д) 1001;

е) 10101.

а) Для числа 28 ближайшими целыми числами являются 27 (предшествующее) и 29 (последующее).
Запишем ответ в виде двойного неравенства: $27 < 28 < 29$.
Это неравенство читается так: «Число двадцать восемь больше двадцати семи, но меньше двадцати девяти».
Ответ: $27 < 28 < 29$.

б) Для числа 84 ближайшими целыми числами являются 83 (предшествующее) и 85 (последующее).
Запишем ответ в виде двойного неравенства: $83 < 84 < 85$.
Это неравенство читается так: «Число восемьдесят четыре больше восьмидесяти трех, но меньше восьмидесяти пяти».
Ответ: $83 < 84 < 85$.

в) Для числа 145 ближайшими целыми числами являются 144 (предшествующее) и 146 (последующее).
Запишем ответ в виде двойного неравенства: $144 < 145 < 146$.
Это неравенство читается так: «Число сто сорок пять больше ста сорока четырех, но меньше ста сорока шести».
Ответ: $144 < 145 < 146$.

г) Для числа 219 ближайшими целыми числами являются 218 (предшествующее) и 220 (последующее).
Запишем ответ в виде двойного неравенства: $218 < 219 < 220$.
Это неравенство читается так: «Число двести девятнадцать больше двухсот восемнадцати, но меньше двухсот двадцати».
Ответ: $218 < 219 < 220$.

д) Для числа 1001 ближайшими целыми числами являются 1000 (предшествующее) и 1002 (последующее).
Запишем ответ в виде двойного неравенства: $1000 < 1001 < 1002$.
Это неравенство читается так: «Число одна тысяча один больше одной тысячи, но меньше одной тысячи двух».
Ответ: $1000 < 1001 < 1002$.

е) Для числа 10101 ближайшими целыми числами являются 10100 (предшествующее) и 10102 (последующее).
Запишем ответ в виде двойного неравенства: $10100 < 10101 < 10102$.
Это неравенство читается так: «Число десять тысяч сто один больше десяти тысяч ста, но меньше десяти тысяч ста двух».
Ответ: $10100 < 10101 < 10102$.

2.29 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Найдите среди данных записей неверные и объясните, в чём ошибка.

1) $11 < 12 < 13.$

2) $20 < 24 > 25.$

3) $32 > 31 > 30.$

4) $16 > 18 < 22.$

1) Запись $11 < 12 < 13$ верна. Двойное неравенство означает, что должны выполняться оба условия: $11 < 12$ и $12 < 13$. Оба эти неравенства истинны.
Ответ: Верно.

2) Запись $20 < 24 > 25$ неверна. Эта запись состоит из двух неравенств: $20 < 24$ (что является верным) и $24 > 25$ (что является неверным). Ошибка заключается в том, что число 24 меньше числа 25, следовательно, правильным было бы неравенство $24 < 25$.
Ответ: Неверно.

3) Запись $32 > 31 > 30$ верна. Двойное неравенство означает, что должны выполняться оба условия: $32 > 31$ и $31 > 30$. Оба эти неравенства истинны.
Ответ: Верно.

4) Запись $16 > 18 < 22$ неверна. Эта запись состоит из двух неравенств: $16 > 18$ (что является неверным) и $18 < 22$ (что является верным). Ошибка заключается в том, что число 16 меньше числа 18, следовательно, правильным было бы неравенство $16 < 18$.
Ответ: Неверно.

2.30 Запишите данное утверждение, используя знаки неравенств:

а) число a больше 15; $a > 15$

б) число b меньше 100; $b < 100$

в) число a больше числа c; $a > c$

г) число c меньше 30 и больше 20; $20 < c < 30$

д) число d больше 25 и меньше 35; $25 < d < 35$

е) число 14 больше числа a и меньше числа b. $a < 14 < b$

а) Утверждение "число a больше 15" означает, что значение переменной a находится справа от 15 на числовой прямой. Для записи этого утверждения используется знак "больше" ($>$).
Ответ: $a > 15$

б) Утверждение "число b меньше 100" означает, что значение переменной b находится слева от 100 на числовой прямой. Для записи этого утверждения используется знак "меньше" ($<$).
Ответ: $b < 100$

в) Утверждение "число a больше числа c" означает, что значение переменной a больше значения переменной c. Это записывается с помощью знака "больше" ($>$).
Ответ: $a > c$

г) Утверждение "число c меньше 30 и больше 20" представляет собой двойное неравенство. Это означает, что c одновременно удовлетворяет двум условиям: $c < 30$ и $c > 20$. Такое утверждение можно записать в виде одного двойного неравенства, где c заключено между 20 и 30.
Ответ: $20 < c < 30$

д) Утверждение "число d больше 25 и меньше 35" также является двойным неравенством. Оно означает, что d одновременно больше 25 ($d > 25$) и меньше 35 ($d < 35$). Это записывается в виде одного двойного неравенства, где d находится в интервале между 25 и 35.
Ответ: $25 < d < 35$

е) Утверждение "число 14 больше числа a и меньше числа b" состоит из двух частей. Первая часть: "14 больше числа a", что записывается как $14 > a$ (или, что то же самое, $a < 14$). Вторая часть: "14 меньше числа b", что записывается как $14 < b$. Объединяя эти два условия, мы получаем двойное неравенство, показывающее, что 14 находится между a и b.
Ответ: $a < 14 < b$