Страница 28 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.12 Перечертите в тетрадь ломаную (рис. 2.2). Измерьте и запишите длину каждого звена. Вычислите длину ломаной (выразите ее в сантиметрах и миллиметрах).

Рис. 2.2

Для решения задачи предположим, что ломаная линия начерчена на стандартной тетрадной сетке, где сторона одной клетки равна 5 мм (0,5 см). Поскольку физически измерить отрезки линейкой невозможно, мы вычислим их длины с помощью теоремы Пифагора. Каждый отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого можно измерить по клеткам сетки.

Звено AB: Катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является звено AB, равны 3 и 5 клеткам. Длина в клетках: $L_{AB} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5,83$ клетки.
Переведем в миллиметры: $5,83 \times 5 \text{ мм} \approx 29,15 \text{ мм}$.
Округляя до целого значения, получаем длину звена 29 мм.

Звено BC: Катеты соответствующего прямоугольного треугольника равны 3 и 1 клетке. Длина в клетках: $L_{BC} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3,16$ клетки.
Переведем в миллиметры: $3,16 \times 5 \text{ мм} \approx 15,8 \text{ мм}$.
Округляя до целого значения, получаем длину звена 16 мм.

Звено CD: Катеты соответствующего прямоугольного треугольника равны 3 и 3 клеткам. Длина в клетках: $L_{CD} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \approx 4,24$ клетки.
Переведем в миллиметры: $4,24 \times 5 \text{ мм} \approx 21,2 \text{ мм}$.
Округляя до целого значения, получаем длину звена 21 мм.

Ответ: Длина звена AB ≈ 29 мм (2,9 см); длина звена BC ≈ 16 мм (1,6 см); длина звена CD ≈ 21 мм (2,1 см).

Чтобы найти общую длину ломаной, сложим длины всех её звеньев: $L = L_{AB} + L_{BC} + L_{CD} \approx 29 \text{ мм} + 16 \text{ мм} + 21 \text{ мм} = 66 \text{ мм}$.
Теперь выразим результат в сантиметрах и миллиметрах. Так как в одном сантиметре 10 миллиметров, получаем: $66 \text{ мм} = 60 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 6 \text{ см} 6 \text{ мм}$.

Ответ: Длина ломаной составляет 66 мм, или 6 см 6 мм.

2.13 Найдите значение выражения (вычисляйте промежуточные результаты устно):

а) $(7 + 14) \cdot (3 + 29);$

б) $(6 + 19) \cdot (28 + 7);$

в) $(6 + 18) \cdot 15;$

г) $(9 + 12) \cdot (16 + 25).$

а) $(7 + 14) \cdot (3 + 29)$

Для решения данного выражения необходимо сначала выполнить действия в скобках, а затем перемножить полученные результаты.

1. Вычисляем сумму в первой скобке: $7 + 14 = 21$.

2. Вычисляем сумму во второй скобке: $3 + 29 = 32$.

3. Умножаем результаты: $21 \cdot 32 = 672$.

Ответ: 672

б) $(6 + 19) \cdot (28 + 7)$

Следуем порядку действий: сначала сложение в скобках, затем умножение.

1. Вычисляем сумму в первой скобке: $6 + 19 = 25$.

2. Вычисляем сумму во второй скобке: $28 + 7 = 35$.

3. Умножаем результаты: $25 \cdot 35 = 875$.

Ответ: 875

в) $(6 + 18) \cdot 15$

Сначала выполняем действие в скобках, а затем умножение.

1. Вычисляем сумму в скобке: $6 + 18 = 24$.

2. Умножаем полученную сумму на 15: $24 \cdot 15 = 360$.

Ответ: 360

г) $(9 + 12) \cdot (16 + 25)$

Порядок действий аналогичен предыдущим примерам.

1. Вычисляем сумму в первой скобке: $9 + 12 = 21$.

2. Вычисляем сумму во второй скобке: $16 + 25 = 41$.

3. Умножаем результаты: $21 \cdot 41 = 861$.

Ответ: 861

2.14 Купили 1 кг 500 г слив, лимонов в 2 раза меньше, чем слив, а персиков в 3 раза больше, чем лимонов. Сколько всего купили фруктов? (Выразите массу в килограммах и граммах.)

Для решения задачи выполним вычисления по шагам.

1. Найдем массу лимонов.

Сначала переведем массу слив в граммы для удобства расчетов, зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

Масса слив: $1 \text{ кг } 500 \text{ г} = 1000 \text{ г} + 500 \text{ г} = 1500 \text{ г}$.

По условию, лимонов купили в 2 раза меньше, чем слив. Следовательно, массу слив нужно разделить на 2:

$1500 \text{ г} : 2 = 750 \text{ г}$.

2. Найдем массу персиков.

По условию, персиков купили в 3 раза больше, чем лимонов. Следовательно, массу лимонов нужно умножить на 3:

$750 \text{ г} \cdot 3 = 2250 \text{ г}$.

3. Найдем общую массу всех фруктов.

Чтобы найти общую массу, сложим массу слив, лимонов и персиков:

$1500 \text{ г} \text{ (сливы)} + 750 \text{ г} \text{ (лимоны)} + 2250 \text{ г} \text{ (персики)} = 4500 \text{ г}$.

4. Выразим общую массу в килограммах и граммах.

Общая масса фруктов составляет 4500 граммов. Переведем это значение в килограммы и граммы:

$4500 \text{ г} = 4000 \text{ г} + 500 \text{ г} = 4 \text{ кг } 500 \text{ г}$.

Ответ: всего купили 4 кг 500 г фруктов.

2.15 Имеются полные банки с жидкостью ёмкостью 360 мл, 500 мл, 680 мл, 800 мл. Можно ли слить всю эту жидкость в бидон, ёмкость которого 2 л 500 мл?

Чтобы определить, поместится ли вся жидкость в бидон, необходимо найти общий объем жидкости во всех банках и сравнить его с емкостью бидона.

1. Вычислим общий объем жидкости, сложив объемы из каждой банки:
$360 \text{ мл} + 500 \text{ мл} + 680 \text{ мл} + 800 \text{ мл} = 2340 \text{ мл}$.

2. Переведем емкость бидона в миллилитры для удобства сравнения. В одном литре содержится 1000 миллилитров ($1 \text{ л} = 1000 \text{ мл}$), поэтому:
$2 \text{ л } 500 \text{ мл} = 2 \times 1000 \text{ мл} + 500 \text{ мл} = 2000 \text{ мл} + 500 \text{ мл} = 2500 \text{ мл}$.

3. Сравним полученные значения: общий объем жидкости и емкость бидона.
Общий объем жидкости: $2340 \text{ мл}$.
Емкость бидона: $2500 \text{ мл}$.
$2340 \text{ мл} < 2500 \text{ мл}$.

Поскольку общий объем жидкости меньше емкости бидона, вся жидкость поместится.

Ответ: да, можно.