Страница 21 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.56 ИЩЕМ СПОСОБ КОПИРОВАНИЯ

Арбелос — это и нож, которым пользовались ещё древнегреческие сапожники, и геометрическая фигура, ограниченная тремя полуокружностями, похожая на этот нож (рис. 1.35). Начертите арбелос в тетради, задав размеры самостоятельно.

Арбелос — это геометрическая фигура, ограниченная тремя полуокружностями, построенными на одном отрезке. Чтобы начертить арбелос, необходимо выполнить следующие шаги. Для наглядности будем использовать конкретные размеры.

1. Начертите на прямой отрезок $AB$. Это будет диаметр наибольшей полуокружности. Для примера, пусть его длина будет $D = 10$ см.
2. Найдите середину отрезка $AB$ — точку $O$. Эта точка будет центром большой полуокружности. Радиус этой полуокружности будет $R = D/2 = 10/2 = 5$ см.
3. С помощью циркуля постройте полуокружность с центром в точке $O$ и радиусом $R=5$ см с одной стороны от отрезка $AB$.
4. Выберите на диаметре $AB$ любую точку $C$ (не совпадающую с $A$ или $B$). Эта точка разделит большой диаметр $AB$ на два меньших отрезка: $AC$ и $CB$. Пусть, например, точка $C$ выбрана так, что длина отрезка $AC$ равна $d_1 = 6$ см. Тогда длина отрезка $CB$ будет $d_2 = AB - AC = 10 - 6 = 4$ см.
5. Отрезок $AC$ является диаметром первой внутренней полуокружности. Найдите его середину $O_1$. Радиус первой малой полуокружности будет $r_1 = d_1/2 = 6/2 = 3$ см. Постройте полуокружность с центром в $O_1$ и радиусом $r_1$ с той же стороны от прямой $AB$, что и большая полуокружность.
6. Отрезок $CB$ является диаметром второй внутренней полуокружности. Найдите его середину $O_2$. Радиус второй малой полуокружности будет $r_2 = d_2/2 = 4/2 = 2$ см. Постройте полуокружность с центром в $O_2$ и радиусом $r_2$ с той же стороны от прямой $AB$.

Фигура, ограниченная дугами трех построенных полуокружностей, и является арбелосом.

Обратите внимание, что сумма диаметров двух меньших полуокружностей равна диаметру большой полуокружности ($d_1 + d_2 = D$), а сумма их радиусов равна радиусу большой полуокружности ($r_1 + r_2 = R$). В нашем примере: $6 \text{ см} + 4 \text{ см} = 10 \text{ см}$ и $3 \text{ см} + 2 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Ответ: Чтобы начертить арбелос, нужно построить большую полуокружность, затем на ее диаметре как на основании построить две меньшие полуокружности так, чтобы сумма их диаметров была равна диаметру большой полуокружности. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки согласно описанным выше шагам.

1.57 Саша сделал по дорожке 20 шагов и измерил длину пройденного пути.

Получилось 10 м. Какова средняя длина его шага?

Чтобы найти среднюю длину одного шага, необходимо общую длину пройденного пути разделить на количество сделанных шагов.

Обозначим общую длину пути как $S$, а количество шагов как $N$. Среднюю длину шага обозначим как $l$.

Согласно условию задачи:
Общий путь $S = 10$ м.
Количество шагов $N = 20$.

Формула для нахождения средней длины шага выглядит следующим образом:
$l = \frac{S}{N}$

Подставим известные значения в формулу и выполним вычисление:
$l = \frac{10 \text{ м}}{20} = 0.5 \text{ м}$

Результат можно также представить в сантиметрах. Зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$:
$0.5 \text{ м} = 0.5 \times 100 \text{ см} = 50 \text{ см}$
Ответ: средняя длина шага составляет 0,5 м (или 50 см).

1.58 Найдите значение выражения:

а) $(15 - 8) \cdot (20 - 15);$

б) $(14 - 6) \cdot (30 - 24);$

в) $(11 - 4) \cdot (20 - 12);$

г) $(16 - 7) \cdot (30 - 25).$

Чтобы найти значение выражения $(15 - 8) \cdot (20 - 15)$, необходимо сначала выполнить действия в скобках, а затем перемножить полученные результаты.

1. Вычислим разность в первых скобках: $15 - 8 = 7$.

2. Вычислим разность во вторых скобках: $20 - 15 = 5$.

3. Умножим результаты: $7 \cdot 5 = 35$.

Ответ: 35

Чтобы найти значение выражения $(14 - 6) \cdot (30 - 24)$, необходимо сначала выполнить действия в скобках, а затем перемножить полученные результаты.

1. Вычислим разность в первых скобках: $14 - 6 = 8$.

2. Вычислим разность во вторых скобках: $30 - 24 = 6$.

3. Умножим результаты: $8 \cdot 6 = 48$.

Ответ: 48

Чтобы найти значение выражения $(11 - 4) \cdot (20 - 12)$, необходимо сначала выполнить действия в скобках, а затем перемножить полученные результаты.

1. Вычислим разность в первых скобках: $11 - 4 = 7$.

2. Вычислим разность во вторых скобках: $20 - 12 = 8$.

3. Умножим результаты: $7 \cdot 8 = 56$.

Ответ: 56

Чтобы найти значение выражения $(16 - 7) \cdot (30 - 25)$, необходимо сначала выполнить действия в скобках, а затем перемножить полученные результаты.

1. Вычислим разность в первых скобках: $16 - 7 = 9$.

2. Вычислим разность во вторых скобках: $30 - 25 = 5$.

3. Умножим результаты: $9 \cdot 5 = 45$.

Ответ: 45

1.59 a) Маша купила три пачки печенья по 70 р. за пачку и один пакет сока за 98 р. Какую сдачу получила Маша, если она дала кассиру 500 р.?

б) Хватит ли 1000 р., чтобы купить 6 кассет для видеокамеры по 175 р.? А какое наибольшее число видеокассет можно купить на эти деньги? Сколько денег останется?

а)

1. Сначала найдем общую стоимость печенья. Маша купила 3 пачки по 70 рублей каждая:

$3 \times 70 = 210$ р.

2. Теперь найдем общую стоимость всей покупки, прибавив стоимость сока, которая составляет 98 рублей:

$210 + 98 = 308$ р.

3. Наконец, вычислим сдачу, которую Маша получила с 500 рублей:

$500 - 308 = 192$ р.

Ответ: 192 рубля.

б)

Эта задача состоит из трех вопросов, ответим на них по порядку.

1. Хватит ли 1000 р., чтобы купить 6 кассет для видеокамеры по 175 р.?

Найдем стоимость 6 кассет:

$6 \times 175 = 1050$ р.

Сравним полученную сумму с имеющимися деньгами: $1050$ р. > $1000$ р. Таким образом, денег не хватит.

2. Какое наибольшее число видеокассет можно купить на эти деньги?

Разделим общую сумму денег на цену одной кассеты, чтобы найти максимальное количество кассет, которое можно купить. Нас интересует целая часть от деления:

$1000 : 175 = 5$ (остаток 125)

Следовательно, на 1000 рублей можно купить 5 видеокассет.

3. Сколько денег останется?

Найдем стоимость 5 кассет:

$5 \times 175 = 875$ р.

Теперь вычислим остаток (сдачу):

$1000 - 875 = 125$ р.

Ответ: нет, 1000 рублей не хватит на 6 кассет. Наибольшее число видеокассет, которое можно купить, — 5. Останется 125 рублей.

1.60 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Найдите среди данных записей неверные и объясните, в чём ошибка.

1) $1 \text{ км } 90 \text{ м} = 190 \text{ м}.$

2) $3 \text{ м } 50 \text{ см} = 35 \text{ дм}.$

3) $247 \text{ мм} = 2 \text{ м } 47 \text{ см}.$

4) $1865 \text{ м} = 1 \text{ км } 865 \text{ м}.$

Проанализируем каждое равенство на верность.

1) 1 км 90 м = 190 м

Это утверждение неверно. Для проверки переведем левую часть равенства в метры. В одном километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$), поэтому $1 \text{ км } 90 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 90 \text{ м} = 1090 \text{ м}$. Так как $1090 \text{ м} \neq 190 \text{ м}$, запись неверна. Ошибка в том, что 1 километр был ошибочно принят за 100 метров.
Ответ: неверно.

2) 3 м 50 см = 35 дм

Это утверждение верно. Для проверки переведем левую часть в дециметры. Используя соотношения $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$ и $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$ (то есть $50 \text{ см} = 5 \text{ дм}$), получаем: $3 \text{ м } 50 \text{ см} = 3 \times 10 \text{ дм} + 5 \text{ дм} = 30 \text{ дм} + 5 \text{ дм} = 35 \text{ дм}$. Левая и правая части равны, следовательно, запись верна.
Ответ: верно.

3) 247 мм = 2 м 47 см

Это утверждение неверно. Для проверки переведем правую часть в миллиметры. Так как $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$ и $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, то $2 \text{ м } 47 \text{ см} = (2 \times 1000) \text{ мм} + (47 \times 10) \text{ мм} = 2000 \text{ мм} + 470 \text{ мм} = 2470 \text{ мм}$. Сравнивая, видим, что $247 \text{ мм} \neq 2470 \text{ мм}$. Ошибка заключается в неверном соотнесении единиц измерения. Правильно было бы записать, что $247 \text{ мм} = 24 \text{ см } 7 \text{ мм}$.
Ответ: неверно.

4) 1865 м = 1 км 865 м

Это утверждение верно. Для проверки переведем метры в километры. Зная, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, мы можем представить $1865 \text{ м}$ как $1000 \text{ м} + 865 \text{ м}$. Заменив $1000 \text{ м}$ на $1 \text{ км}$, получаем $1 \text{ км } 865 \text{ м}$. Равенство верное.
Ответ: верно.