Номер 1.55, страница 20 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 1.4. Окружность. Глава 1. Линии - номер 1.55, страница 20.

1.55 1) Начертите в тетради отрезок AB длиной 3 см. Проведите окружность с центром в точке A радиусом 2 см. Проведите окружность с центром в точке B радиусом 2 см 5 мм. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой C. Чему равно расстояние от точки C до точки A; до точки B?

Старейший глобус

(Нюрнберг, 1492 г.)

Арбелос

Рис. 1.35

2) Начертите отрезок AB, равный 6 см. Найдите две точки, которые находятся на расстоянии 4 см от точки A и на расстоянии 5 см от точки B.

1)

Согласно условию задачи, мы строим отрезок AB длиной 3 см.
Далее мы проводим две окружности:
- Первую с центром в точке A и радиусом $R_A = 2$ см.
- Вторую с центром в точке B и радиусом $R_B = 2$ см 5 мм = $2.5$ см.
Точка C — это одна из точек пересечения этих двух окружностей.
По определению окружности, любая точка, лежащая на ней, удалена от центра на расстояние, равное радиусу.
Поскольку точка C лежит на первой окружности (с центром A), расстояние от C до A равно радиусу этой окружности. Таким образом, расстояние AC = 2 см.
Поскольку точка C лежит на второй окружности (с центром B), расстояние от C до B равно радиусу этой окружности. Таким образом, расстояние BC = 2.5 см.

Ответ: расстояние от точки C до точки A равно 2 см; расстояние от точки C до точки B равно 2 см 5 мм (или 2.5 см).

2)

Нам нужно найти точки, которые одновременно находятся на расстоянии 4 см от точки A и 5 см от точки B.
Множество всех точек, удаленных от точки A на 4 см, — это окружность с центром в A и радиусом $R_A = 4$ см.
Множество всех точек, удаленных от точки B на 5 см, — это окружность с центром в B и радиусом $R_B = 5$ см.
Искомые точки — это точки пересечения этих двух окружностей.
Чтобы найти эти точки, нужно выполнить следующие построения:
1. Начертить отрезок AB длиной 6 см.
2. Построить окружность с центром в точке A и радиусом 4 см.
3. Построить окружность с центром в точке B и радиусом 5 см.
Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами (d) больше разности их радиусов, но меньше их суммы ($|R_A - R_B| < d < R_A + R_B$).
В нашем случае: $d = 6$ см, $R_A = 4$ см, $R_B = 5$ см.
Проверим условие: $|4 - 5| < 6 < 4 + 5$, что равносильно $1 < 6 < 9$. Неравенство верное, значит, окружности пересекаются в двух точках.
Эти две точки пересечения и являются искомыми.

Ответ: искомые точки — это две точки пересечения окружности с центром A и радиусом 4 см и окружности с центром B и радиусом 5 см.