Страница 20 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.51 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

1) Скопируйте в тетрадь рисунок 1.34.

2) Рассмотрите рисунок. Выберите верные утверждения.

а) Центры окружностей лежат на одной прямой.

б) Окружности имеют общий центр.

в) Радиусы окружностей равны 10, 15 и 20 мм.

г) Все окружности проходят через одну точку.

3) На рисунке 1.34 центры окружностей лежат на линии сетки, расположенной горизонтально. Нарисуйте этот узор из окружностей так, чтобы центры окружностей лежали на линии сетки, расположенной вертикально.

Рис. 1.34

1) Скопируйте в тетрадь рисунок 1.34.

Это практическое задание, которое необходимо выполнить в своей тетради, перерисовав три окружности согласно образцу на рисунке 1.34.

2) Рассмотрите рисунок. Выберите верные утверждения.

а) Центры окружностей лежат на одной прямой.

При рассмотрении рисунка видно, что центры всех трех окружностей расположены на одной горизонтальной линии координатной сетки. Таким образом, это утверждение является верным.

Ответ: Верно.

б) Окружности имеют общий центр.

Окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими. На рисунке у каждой окружности свой собственный центр, и эти центры смещены относительно друг друга. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

в) Радиусы окружностей равны 10, 15 и 20 мм.

Измерим радиусы окружностей в условных единицах (клетках сетки):

• Радиус самой маленькой окружности $R_1$ составляет 2 клетки.
• Радиус средней окружности $R_2$ составляет 3 клетки.
• Радиус самой большой окружности $R_3$ составляет 4 клетки.

Соотношение радиусов равно $2:3:4$.

Проверим соотношение предложенных в утверждении значений: $10:15:20$. Если разделить каждое число на 5, мы получим то же соотношение: $2:3:4$. Это означает, что если принять масштаб, в котором одна клетка сетки равна 5 мм, то радиусы действительно будут 10 мм, 15 мм и 20 мм. В рамках подобных задач, где проверяется пропорциональность, это утверждение считается верным.

Ответ: Верно.

г) Все окружности проходят через одну точку.

На рисунке отчетливо видно, что все три окружности касаются друг друга в одной общей точке, которая находится в левой части узора. Эта точка принадлежит всем трем окружностям. Утверждение является верным.

Ответ: Верно.

Итоговый выбор верных утверждений: а), в), г).

3) На рисунке 1.34 центры окружностей лежат на линии сетки, расположенной горизонтально. Нарисуйте этот узор из окружностей так, чтобы центры окружностей лежали на линии сетки, расположенной вертикально.

Для выполнения этого задания необходимо воспроизвести исходный узор, повернув его на 90 градусов. Алгоритм построения будет следующим:

1. Выберите на листе в клетку вертикальную линию. На ней будут располагаться центры всех окружностей.
2. На этой линии выберите точку, которая будет центром одной из окружностей, например, самой большой (с радиусом 4 клетки), и начертите ее.
3. От центра большой окружности отступите вверх или вниз по вертикальной линии на расстояние, равное сумме радиусов большой и средней окружностей, деленной на их отношение (в данном случае, на 1 клетку), чтобы найти центр средней окружности (с радиусом 3 клетки). Начертите ее так, чтобы она касалась большой.
4. Аналогично найдите центр маленькой окружности (с радиусом 2 клетки) и начертите ее.

В результате получится узор, аналогичный исходному, но вытянутый по вертикали, а не по горизонтали. Общая точка касания всех окружностей теперь будет расположена сверху или снизу.

Ответ: Необходимо начертить три окружности с радиусами в 2, 3 и 4 клетки так, чтобы их центры лежали на одной вертикальной линии, а сами окружности имели одну общую точку касания.

1.52 1) Длину окружности приближённо можно найти, умножив её радиус на 6. ($C \approx 6r$). Начертите окружность радиусом 2 см и найдите длину окружности двумя способами: измерением и вычислением. Сравните результаты.

2) Как можно приближённо вычислить длину окружности, если известен её диаметр? ($C \approx 3d$)

1)

Для нахождения длины окружности воспользуемся двумя способами, как указано в задаче.

Способ 1: Вычисление

В условии сказано, что длину окружности $C$ можно приближенно найти, умножив её радиус $r$ на 6. Радиус окружности по условию равен 2 см.

$C \approx 6 \cdot r$

$C \approx 6 \cdot 2 = 12$ (см)

Таким образом, вычисленная длина окружности составляет 12 см.

Способ 2: Измерение

Чтобы измерить длину окружности, необходимо сначала начертить её с помощью циркуля, установив его раствор равным радиусу 2 см. Затем можно взять гибкую нить, аккуратно уложить её вдоль всей линии окружности, после чего выпрямить нить и измерить её длину с помощью линейки. Этот практический метод позволяет получить приближенное значение длины окружности.

Сравнение результатов

Точная формула длины окружности: $C = 2\pi r$. Используя более точное значение $\pi \approx 3,14$, получим:

$C = 2 \cdot 3,14 \cdot 2 = 12,56$ (см)

Результат, полученный при измерении нитью, будет очень близок к этому значению (например, 12,5 или 12,6 см). Результат, полученный по предложенной в задаче приближенной формуле (12 см), оказывается меньше, чем результат измерения. Расхождение возникает из-за того, что в приближенной формуле $C \approx 6r$ фактически используется приближение $\pi \approx 3$, что меньше его истинного значения.

Ответ: Длина окружности, найденная вычислением по приближенной формуле, равна 12 см. Длина окружности, найденная измерением, будет приблизительно равна 12,6 см. Результат вычисления немного меньше результата, полученного при измерении.

2)

Известно, что диаметр окружности $d$ связан с её радиусом $r$ соотношением $d = 2r$. Отсюда можно выразить радиус через диаметр: $r = \frac{d}{2}$.

Воспользуемся приближенной формулой для длины окружности из первого пункта: $C \approx 6r$.

Подставим в эту формулу выражение для радиуса через диаметр:

$C \approx 6 \cdot \left(\frac{d}{2}\right)$

$C \approx 3d$

Следовательно, чтобы приближенно вычислить длину окружности, зная её диаметр, нужно умножить диаметр на 3.

Ответ: Чтобы приближенно вычислить длину окружности, нужно её диаметр умножить на 3.

1.53 ИЩЕМ ИНФОРМАЦИЮ

Глобус Земли – это вращающаяся модель земного шара с его картографическим изображением. Как называются окружности, нанесённые на глобус?

Окружности, нанесённые на глобус, являются элементами градусной сетки и служат для определения географических координат. Эти линии делятся на несколько основных типов.

Меридианы

Это условные полуокружности, которые соединяют Северный и Южный полюсы Земли. Они показывают направление «север-юг» и используются для определения долготы. Все меридианы имеют одинаковую длину. Нулевым меридианом, от которого ведётся отсчёт, является Гринвичский меридиан.

Ответ: Меридианы.

Параллели

Это окружности, которые проведены параллельно экватору. Они показывают направление «запад-восток» и используются для определения широты. Их длина уменьшается от экватора к полюсам.

Ответ: Параллели.

Экватор

Это самая длинная параллель (широта $0^\circ$), которая делит земной шар на Северное и Южное полушария. Экватор является большой окружностью, то есть его центр совпадает с центром Земли.

Ответ: Экватор.

Тропики и полярные круги

Это особые параллели, которые отмечают важные астрономические границы. К ним относятся: Северный тропик (Тропик Рака) и Южный тропик (Тропик Козерога), которые ограничивают жаркий пояс, а также Северный полярный круг и Южный полярный круг, которые ограничивают полярные области, где наблюдаются полярный день и полярная ночь.

Ответ: Тропики и полярные круги.

1.54 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

Отметьте в тетради точки $A$ и $B$. Измерьте расстояние между ними. Начертите окружность с центром в точке $A$, проходящую через точку $B$. Начертите окружность с центром в точке $B$, проходящую через точку $A$. Чему равен радиус каждой из окружностей? Каково расстояние от точек пересечения окружностей до их центров?

Для решения этой задачи выполним последовательные шаги, основанные на определениях из геометрии.

1. Сначала мысленно или в тетради отметим две различные точки $A$ и $B$. Расстояние между этими точками обозначим как $d$. Таким образом, длина отрезка $AB = d$.

2. Теперь построим две окружности:

• Первая окружность с центром в точке $A$, проходящая через точку $B$.
• Вторая окружность с центром в точке $B$, проходящая через точку $A$.

Эти две окружности пересекутся в двух точках. Обозначим их $C$ и $D$.

Теперь ответим на вопросы из задачи.

Чему равен радиус каждой из окружностей?

Радиус окружности — это расстояние от её центра до любой точки, лежащей на этой окружности.

Для первой окружности, с центром в точке $A$, точка $B$ лежит на ней по условию. Следовательно, её радиус, обозначим его $R_A$, равен длине отрезка $AB$.

$R_A = AB = d$

Для второй окружности, с центром в точке $B$, точка $A$ лежит на ней по условию. Следовательно, её радиус, обозначим его $R_B$, равен длине отрезка $BA$.

$R_B = BA = d$

Таким образом, радиусы обеих окружностей равны между собой и равны расстоянию между их центрами.

Ответ: Радиус каждой из окружностей равен расстоянию между точками $A$ и $B$.

Каково расстояние от точек пересечения окружностей до их центров?

Пусть $C$ — одна из точек пересечения окружностей.

Поскольку точка $C$ лежит на первой окружности (с центром в $A$), расстояние от неё до центра $A$ равно радиусу этой окружности:

$AC = R_A = AB = d$

Поскольку точка $C$ также лежит и на второй окружности (с центром в $B$), расстояние от неё до центра $B$ равно радиусу второй окружности:

$BC = R_B = BA = d$

То же самое верно и для второй точки пересечения $D$: $AD = d$ и $BD = d$.

Таким образом, расстояние от любой точки пересечения до каждого из центров ($A$ или $B$) равно расстоянию между самими центрами.

Ответ: Расстояние от точек пересечения окружностей до их центров равно радиусу этих окружностей, то есть расстоянию между точками $A$ и $B$.

1.55 1) Начертите в тетради отрезок AB длиной 3 см. Проведите окружность с центром в точке A радиусом 2 см. Проведите окружность с центром в точке B радиусом 2 см 5 мм. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой C. Чему равно расстояние от точки C до точки A; до точки B?

Старейший глобус

(Нюрнберг, 1492 г.)

Арбелос

Рис. 1.35

2) Начертите отрезок AB, равный 6 см. Найдите две точки, которые находятся на расстоянии 4 см от точки A и на расстоянии 5 см от точки B.

1)

Согласно условию задачи, мы строим отрезок AB длиной 3 см.
Далее мы проводим две окружности:
- Первую с центром в точке A и радиусом $R_A = 2$ см.
- Вторую с центром в точке B и радиусом $R_B = 2$ см 5 мм = $2.5$ см.
Точка C — это одна из точек пересечения этих двух окружностей.
По определению окружности, любая точка, лежащая на ней, удалена от центра на расстояние, равное радиусу.
Поскольку точка C лежит на первой окружности (с центром A), расстояние от C до A равно радиусу этой окружности. Таким образом, расстояние AC = 2 см.
Поскольку точка C лежит на второй окружности (с центром B), расстояние от C до B равно радиусу этой окружности. Таким образом, расстояние BC = 2.5 см.

Ответ: расстояние от точки C до точки A равно 2 см; расстояние от точки C до точки B равно 2 см 5 мм (или 2.5 см).

2)

Нам нужно найти точки, которые одновременно находятся на расстоянии 4 см от точки A и 5 см от точки B.
Множество всех точек, удаленных от точки A на 4 см, — это окружность с центром в A и радиусом $R_A = 4$ см.
Множество всех точек, удаленных от точки B на 5 см, — это окружность с центром в B и радиусом $R_B = 5$ см.
Искомые точки — это точки пересечения этих двух окружностей.
Чтобы найти эти точки, нужно выполнить следующие построения:
1. Начертить отрезок AB длиной 6 см.
2. Построить окружность с центром в точке A и радиусом 4 см.
3. Построить окружность с центром в точке B и радиусом 5 см.
Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами (d) больше разности их радиусов, но меньше их суммы ($|R_A - R_B| < d < R_A + R_B$).
В нашем случае: $d = 6$ см, $R_A = 4$ см, $R_B = 5$ см.
Проверим условие: $|4 - 5| < 6 < 4 + 5$, что равносильно $1 < 6 < 9$. Неравенство верное, значит, окружности пересекаются в двух точках.
Эти две точки пересечения и являются искомыми.

Ответ: искомые точки — это две точки пересечения окружности с центром A и радиусом 4 см и окружности с центром B и радиусом 5 см.