Страница 16 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.37 Исследуем

Из точки $A$ в точку $C$ (рис. 1.25) ведут три пути: по отрезку $AC$, по ломаной $ADC$, по ломаной $ABC$. Какой путь самый короткий?

Сделайте вывод, какой путь длиннее: по ломаной или по отрезку, соединяющему концы ломаной.

Рис. 1.25

Какой путь самый короткий?

Для определения самого короткого пути из точки А в точку С воспользуемся fundamental-ным свойством геометрии — неравенством треугольника. Это свойство утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей, оставшейся стороны.

Рассмотрим предложенные пути:

1. Путь по ломаной ADC: Этот путь состоит из двух отрезков, AD и DC. Точки A, D, C образуют треугольник ADC. Согласно неравенству треугольника, сумма длин сторон AD и DC больше длины стороны AC. Математически это записывается так: $AD + DC > AC$.

2. Путь по ломаной ABC: Этот путь состоит из отрезков AB и BC. Точки A, B, C образуют треугольник ABC. По аналогии с предыдущим пунктом, согласно неравенству треугольника: $AB + BC > AC$.

3. Путь по отрезку AC: Это прямой путь между точками A и C.

Сравнивая длины всех трех маршрутов, мы видим, что путь по отрезку AC короче, чем путь по ломаной ADC, и также короче, чем путь по ломаной ABC. Следовательно, самый короткий путь — это прямая линия, соединяющая точки А и С.

Ответ: Самый короткий путь — по отрезку AC.

Сделайте вывод, какой путь длиннее: по ломаной или по отрезку, соединяющему концы ломаной.

На основе предыдущего анализа можно сформулировать общий вывод. Длина любой ломаной линии (состоящей из двух или более отрезков) всегда больше длины отрезка прямой, который соединяет начальную и конечную точки этой ломаной. Это следует из многократного применения неравенства треугольника.

Таким образом, путь по ломаной линии всегда будет длиннее, чем путь по отрезку, соединяющему её концы. Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка прямой, соединяющего эти точки.

Ответ: Путь по ломаной линии длиннее, чем путь по отрезку, соединяющему концы этой ломаной.

1.38 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Представьте, что на вашей линейке со временем стёрлись все деления, кроме трёх: 0, 3 и 10 (рис. 1.26). Как с помощью одной лишь этой линейки построить отрезок длиной 4 см; 2 см; 5 см? Ответ дайте в виде числового выражения.

Подсказка. Вырежите модель такой линейки из бумаги.

Рис. 1.26

Имея линейку с отметками 0, 3 и 10, мы можем откладывать отрезки длиной 3 см (используя отметки 0 и 3), 10 см (используя отметки 0 и 10) и 7 см (используя отметки 3 и 10). Комбинируя эти длины (складывая и вычитая), можно получить отрезки других длин.

4 см

Чтобы построить отрезок длиной 4 см, можно сначала отложить отрезок длиной 10 см, а затем последовательно "отнять" от него два отрезка по 3 см. Геометрически это выглядит так:
1. На прямой отмечаем точку А. С помощью линейки откладываем от нее отрезок АВ длиной 10 см (совмещая отметку 0 с точкой А и ставя точку В у отметки 10).
2. От точки В откладываем в обратном направлении (к точке А) отрезок ВС длиной 3 см. Длина полученного отрезка АС будет равна $10 - 3 = 7$ см.
3. От точки С снова откладываем в обратном направлении отрезок CD длиной 3 см. Итоговый отрезок AD будет иметь искомую длину $7 - 3 = 4$ см.
Это построение соответствует числовому выражению $10 - 3 - 3$.

Ответ: $10 - 3 - 3$

2 см

Для построения отрезка длиной 2 см можно сложить четыре отрезка по 3 см, а затем вычесть из полученной длины отрезок в 10 см.
1. На прямой от начальной точки А последовательно откладываем четыре отрезка по 3 см. Получим отрезок AE, длина которого равна $3 + 3 + 3 + 3 = 12$ см.
2. От конечной точки E откладываем в обратном направлении (к точке А) отрезок EF длиной 10 см.
3. Оставшийся отрезок AF будет иметь длину $12 - 10 = 2$ см.
Это построение соответствует числовому выражению $3 + 3 + 3 + 3 - 10$.

Ответ: $3 + 3 + 3 + 3 - 10$

5 см

Чтобы получить отрезок длиной 5 см, можно сложить пять отрезков по 3 см и вычесть из результата отрезок длиной 10 см.
1. На прямой от начальной точки А последовательно откладываем пять отрезков по 3 см. Получим отрезок AF, длина которого равна $3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15$ см.
2. От конечной точки F откладываем в обратном направлении (к точке А) отрезок FG длиной 10 см.
3. Искомый отрезок AG будет иметь длину $15 - 10 = 5$ см.
Это построение соответствует числовому выражению $3 + 3 + 3 + 3 + 3 - 10$.

Ответ: $3 + 3 + 3 + 3 + 3 - 10$

1.39 1) Отрезок AB в 2 раза длиннее отрезка KM (рис. 1.27). Это можно записать так: $AB = 2KM$. Запишите с помощью равенства: отрезок OC в 4 раза длиннее отрезка EK; отрезок CD в 4 раза короче отрезка MK.

2) Во сколько раз отрезок AB длиннее отрезка KM, если:
а) $AB = 3KM$;
б) $AB = 5KM$;
в) $AB = 10KM$? Начертите пару отрезков, удовлетворяющих этому условию.

3) Измерьте отрезок AB, взяв в качестве единицы измерения отрезок CD; отрезок EF (рис. 1.28). Запишите ответ.

4) Отрезок AB измерили отрезком CD и получили, что $AB = 10CD$. Чему равна длина отрезка AB, если $CD = 3$ см 5 мм?

5) Известно, что $AB = 10$ см, $CD = 5$ мм. Запишите результат, который получится, если отрезок AB измерить отрезком CD.

1) Утверждение "отрезок OC в 4 раза длиннее отрезка EK" можно записать в виде равенства: $OC = 4 \cdot EK$.
Утверждение "отрезок CD в 4 раза короче отрезка MK" означает, что отрезок MK в 4 раза длиннее отрезка CD. Это можно записать в виде равенства: $MK = 4 \cdot CD$.
Ответ: $OC = 4 \cdot EK$; $MK = 4 \cdot CD$.

2) Из равенства $AB = n \cdot KM$ следует, что отрезок AB длиннее отрезка KM в $n$ раз.
а) Если $AB = 3KM$, то отрезок AB длиннее отрезка KM в 3 раза.
б) Если $AB = 5KM$, то отрезок AB длиннее отрезка KM в 5 раз.
в) Если $AB = 10KM$, то отрезок AB длиннее отрезка KM в 10 раз.
Чтобы начертить пару отрезков, удовлетворяющих, например, условию а), можно выбрать произвольную длину для отрезка KM, например 1 см, и начертить отрезок AB, длина которого будет в 3 раза больше, то есть 3 см.
Ответ: а) в 3 раза; б) в 5 раз; в) в 10 раз.

3) Для решения этой задачи необходимо изображение (рис. 1.28), на котором показаны отрезки AB, CD и EF. Так как изображение отсутствует, измерить отрезки и дать ответ невозможно.
Ответ: Для решения задачи недостаточно данных.

4) Дано, что $AB = 10 \cdot CD$ и $CD = 3 \text{ см } 5 \text{ мм}$.
Сначала переведем длину отрезка CD в одну единицу измерения, например, в миллиметры. В одном сантиметре 10 миллиметров.
$CD = 3 \text{ см } 5 \text{ мм} = 3 \cdot 10 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 30 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 35 \text{ мм}$.
Теперь найдем длину отрезка AB:
$AB = 10 \cdot CD = 10 \cdot 35 \text{ мм} = 350 \text{ мм}$.
Переведем результат в сантиметры: $350 \text{ мм} = 35 \text{ см}$.
Ответ: 35 см.

5) "Измерить отрезок AB отрезком CD" означает найти, сколько раз отрезок CD укладывается в отрезке AB. Для этого нужно найти отношение их длин.
Дано: $AB = 10 \text{ см}$, $CD = 5 \text{ мм}$.
Приведем длины отрезков к одной единице измерения, например, к миллиметрам.
$AB = 10 \text{ см} = 10 \cdot 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$.
$CD = 5 \text{ мм}$.
Теперь найдем отношение длин:
$\frac{AB}{CD} = \frac{100 \text{ мм}}{5 \text{ мм}} = 20$.
Это означает, что отрезок CD укладывается в отрезке AB 20 раз. Результат измерения можно записать в виде равенства: $AB = 20 \cdot CD$.
Ответ: $AB = 20 \cdot CD$.

1.40 Пусть отрезок $KM$ (см. рис. 1.27) изображает 10 м. Чему равна длина отрезка $AB$? Начертите отрезок, соответствующий 60 м, 5 м, 45 м.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (1.41–1.42)

Для решения задачи необходимо сначала определить масштаб чертежа. В условии сказано, что отрезок KM изображает 10 м. Поскольку сам рисунок 1.27, на который ссылается задача, отсутствует, мы не можем измерить точную длину отрезка KM. Сделаем стандартное для таких задач предположение, что его длина на чертеже составляет 2 см.

Исходя из этого допущения, устанавливаем масштаб:

2 см на чертеже = 10 м в реальности.

Теперь найдем, какому реальному расстоянию соответствует 1 см на чертеже. Для этого разделим 10 метров на 2 сантиметра:

$10 \text{ м} \div 2 \text{ см} = 5 \text{ м/см}$

Таким образом, масштаб чертежа: 1 см представляет 5 м в реальности.

Чтобы найти реальную длину отрезка AB, необходимо измерить его длину на рисунке 1.27 в сантиметрах и умножить полученное значение на 5 (согласно нашему масштабу). Если обозначить длину отрезка AB на рисунке как $L_{см}$, то его реальная длина $L_{м}$ будет вычисляться по формуле:

$L_{м} = L_{см} \times 5$

Так как рисунок недоступен, мы не можем провести измерение и дать конкретный численный ответ.

Ответ: Для определения реальной длины отрезка AB необходимо измерить его длину на рисунке 1.27 в сантиметрах и умножить полученное значение на 5.

Чтобы начертить отрезки, соответствующие заданным реальным длинам, нужно рассчитать их длину на чертеже в сантиметрах, используя найденный нами масштаб (1 см = 5 м). Расчет производится путем деления реальной длины на 5.

1. Длина отрезка для 60 м:
$60 \text{ м} \div 5 \text{ м/см} = 12 \text{ см}$.
Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 12 см.

2. Длина отрезка для 5 м:
$5 \text{ м} \div 5 \text{ м/см} = 1 \text{ см}$.
Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 1 см.

3. Длина отрезка для 45 м:
$45 \text{ м} \div 5 \text{ м/см} = 9 \text{ см}$.
Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 9 см.

Ответ: Нужно начертить отрезки длиной 12 см (для 60 м), 1 см (для 5 м) и 9 см (для 45 м).

1.41 Постройте отрезок AB. Отметьте на глаз точку C — середину отрезка AB, а затем точки D и E — середины отрезков AC и CB. Вы получили схематический рисунок к задаче: «Точка C — середина отрезка AB, а точки D и E — середины отрезков AC и CB. Найдите длины отрезков DE и AB, если $AD = 3$ см». Решите задачу.

Рис. 1.27

$AB = 2KM$

Рис. 1.28

Нахождение длины отрезка DE

1. По условию задачи, точка D является серединой отрезка AC. Это означает, что она делит отрезок AC на два равных отрезка: AD и DC. Таким образом, $AD = DC$.
Поскольку нам дано, что $AD = 3$ см, то и $DC = 3$ см.

2. Точка C является серединой отрезка AB, следовательно $AC = CB$.
Длину отрезка AC можно найти как сумму длин его частей: $AC = AD + DC = 3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6$ см.
Так как $AC = CB$, то длина отрезка $CB$ также равна 6 см.

3. Точка E является серединой отрезка CB. Это означает, что она делит отрезок CB на две равные части: CE и EB. Таким образом, $CE = \frac{CB}{2}$.
$CE = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3$ см.

4. Отрезок DE состоит из двух отрезков: DC и CE. Его длина равна их сумме: $DE = DC + CE$.
Подставляем найденные значения: $DE = 3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6$ см.

Ответ: длина отрезка DE равна 6 см.

Нахождение длины отрезка AB

1. Точка C является серединой отрезка AB, поэтому длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB: $AB = AC + CB$.
Из предыдущих вычислений мы знаем, что $AC = 6$ см и $CB = 6$ см.

2. Подставляем значения и вычисляем длину AB:
$AB = 6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 12$ см.

Также можно было заметить, что отрезок AB состоит из четырех равных частей: AD, DC, CE, EB, каждая из которых по 3 см. Тогда общая длина $AB = 4 \cdot AD = 4 \cdot 3 \text{ см} = 12$ см.

Ответ: длина отрезка AB равна 12 см.