Страница 13 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.26 НАБЛЮДАЕМ

а) На рисунке 1.20, а показано, как можно спаять каркас куба из четырёх одинаковых кусков проволоки. А можно ли спаять каркас куба из шести одинаковых кусков проволоки?

б) Верно ли, что на рисунках 1.20, а и 1.20, б изображён один и тот же каркас?

а)

Каркас куба состоит из 12 рёбер одинаковой длины. Пусть длина одного ребра равна $a$. Тогда общая длина всей проволоки, необходимой для создания каркаса, составляет $12a$.

Если использовать шесть одинаковых кусков проволоки, то каждый кусок должен иметь длину $12a / 6 = 2a$. Такой кусок проволоки может покрыть два ребра куба, соединённых под прямым углом в одной из вершин.

Задача сводится к тому, чтобы разбить все 12 рёбер куба на 6 пар смежных рёбер. Это возможно. Приведём один из примеров такой разбивки. Пронумеруем вершины куба, используя координаты $(x, y, z)$, где каждая координата может быть 0 или 1. Тогда 6 кусков проволоки могут быть согнуты и расположены следующим образом:

• 1-й кусок: соединяет вершины по пути $(0,1,0) \to (0,0,0) \to (0,0,1)$
• 2-й кусок: соединяет вершины по пути $(1,0,1) \to (1,1,1) \to (1,1,0)$
• 3-й кусок: соединяет вершины по пути $(1,1,0) \to (0,1,0) \to (0,1,1)$
• 4-й кусок: соединяет вершины по пути $(1,0,0) \to (1,0,1) \to (0,0,1)$
• 5-й кусок: соединяет вершины по пути $(0,0,0) \to (1,0,0) \to (1,1,0)$
• 6-й кусок: соединяет вершины по пути $(1,1,1) \to (0,1,1) \to (0,0,1)$

В этой конструкции каждое из 12 рёбер куба используется ровно один раз. Следовательно, спаять каркас куба из шести одинаковых кусков проволоки возможно.

Ответ: Да, можно.

б)

Каркас куба — это геометрический объект, который определяется своей структурой: он имеет 8 вершин и 12 рёбер, которые их соединяют определённым образом. Способ сборки каркаса (из 4, 6 или 12 кусков) или способ его изображения (в разной проекции, перспективе или в виде графа на плоскости) не меняет сам объект.

На рисунке 1.20, а показан каркас куба. Можно предположить, что на рисунке 1.20, б также изображён каркас куба, но, возможно, в другом ракурсе или в виде плоской схемы (например, диаграммы Шлегеля). Вне зависимости от способа изображения, если оба рисунка представляют собой одну и ту же трёхмерную структуру (граф куба), то на них изображён один и тот же каркас.

Ответ: Да, верно.

1.27 Найдите значение выражения; считайте устно, называйте промежуточные результаты:

a) $35 : 7 \cdot 6$

$80 \cdot 6 : 10$

$720 : 9 \cdot 2$

б) $32 : 4 \cdot 7$

$30 \cdot 6 : 20$

$270 : 3 \cdot 8$

в) $36 : 9 \cdot 7$

$50 \cdot 8 : 40$

$240 : 6 \cdot 3$

$35 : 7 \cdot 6$
Поскольку умножение и деление имеют одинаковый приоритет, выполняем действия по порядку слева направо.
Первое действие (деление): $35 : 7 = 5$.
Второе действие (умножение): $5 \cdot 6 = 30$.
Ответ: 30

$80 \cdot 6 : 10$
Выполняем действия по порядку слева направо.
Первое действие (умножение): $80 \cdot 6 = 480$.
Второе действие (деление): $480 : 10 = 48$.
Ответ: 48

$720 : 9 \cdot 2$
Выполняем действия по порядку слева направо.
Первое действие (деление): $720 : 9 = 80$.
Второе действие (умножение): $80 \cdot 2 = 160$.
Ответ: 160

$32 : 4 \cdot 7$
Выполняем действия по порядку слева направо.
Первое действие (деление): $32 : 4 = 8$.
Второе действие (умножение): $8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: 56

$30 \cdot 6 : 20$
Выполняем действия по порядку слева направо.
Первое действие (умножение): $30 \cdot 6 = 180$.
Второе действие (деление): $180 : 20 = 9$.
Ответ: 9

$270 : 3 \cdot 8$
Выполняем действия по порядку слева направо.
Первое действие (деление): $270 : 3 = 90$.
Второе действие (умножение): $90 \cdot 8 = 720$.
Ответ: 720

$36 : 9 \cdot 7$
Выполняем действия по порядку слева направо.
Первое действие (деление): $36 : 9 = 4$.
Второе действие (умножение): $4 \cdot 7 = 28$.
Ответ: 28

$50 \cdot 8 : 40$
Выполняем действия по порядку слева направо.
Первое действие (умножение): $50 \cdot 8 = 400$.
Второе действие (деление): $400 : 40 = 10$.
Ответ: 10

$240 : 6 \cdot 3$
Выполняем действия по порядку слева направо.
Первое действие (деление): $240 : 6 = 40$.
Второе действие (умножение): $40 \cdot 3 = 120$.
Ответ: 120

1.28 Найдите значение выражения:

а) $4 \cdot 4 + 8 \cdot 3;$

б) $6 \cdot 9 + 5 \cdot 4;$

в) $9 \cdot 3 + 8 \cdot 2;$

г) $4 \cdot 8 + 7 \cdot 7;$

д) $3 \cdot 7 + 4 \cdot 9;$

е) $6 \cdot 7 + 7 \cdot 4.$

а) $4 \cdot 4 + 8 \cdot 3$

В соответствии с порядком выполнения математических операций, сначала выполняем умножение, а затем сложение.

1) $4 \cdot 4 = 16$

2) $8 \cdot 3 = 24$

3) $16 + 24 = 40$

Ответ: 40

б) $6 \cdot 9 + 5 \cdot 4$

Сначала выполняем операции умножения, а затем — сложение.

1) $6 \cdot 9 = 54$

2) $5 \cdot 4 = 20$

3) $54 + 20 = 74$

Ответ: 74

в) $9 \cdot 3 + 8 \cdot 2$

Порядок действий: сначала умножение, потом сложение.

1) $9 \cdot 3 = 27$

2) $8 \cdot 2 = 16$

3) $27 + 16 = 43$

Ответ: 43

г) $4 \cdot 8 + 7 \cdot 7$

В первую очередь выполняются действия умножения.

1) $4 \cdot 8 = 32$

2) $7 \cdot 7 = 49$

Затем выполняется сложение.

3) $32 + 49 = 81$

Ответ: 81

д) $3 \cdot 7 + 4 \cdot 9$

Выполняем действия в правильном порядке: сначала умножение, затем сложение.

1) $3 \cdot 7 = 21$

2) $4 \cdot 9 = 36$

3) $21 + 36 = 57$

Ответ: 57

е) $6 \cdot 7 + 7 \cdot 4$

Сначала выполняются операции умножения.

1) $6 \cdot 7 = 42$

2) $7 \cdot 4 = 28$

Вторым действием выполняется сложение.

3) $42 + 28 = 70$

Ответ: 70

1.29 а) Стол стоит 1020 р., а стул – 170 р. Во сколько раз стул дешевле стола? На сколько рублей?

б) Грузоподъёмность первых вертолётов 500 кг, а современных вертолётов 40 000 кг. Во сколько раз грузоподъёмность современных вертолётов превышает грузоподъёмность первых вертолётов? На сколько килограммов?

а)

1. Чтобы определить, во сколько раз стул дешевле стола, необходимо разделить стоимость стола на стоимость стула:

$1020 \div 170 = 6$

Это означает, что стул дешевле стола в 6 раз.

2. Чтобы определить, на сколько рублей стул дешевле стола, необходимо из стоимости стола вычесть стоимость стула:

$1020 - 170 = 850 \text{ (рублей)}$

Это означает, что стул дешевле стола на 850 рублей.

Ответ: стул дешевле стола в 6 раз и на 850 рублей.

б)

1. Чтобы определить, во сколько раз грузоподъёмность современных вертолётов превышает грузоподъёмность первых, необходимо разделить грузоподъёмность современных вертолётов на грузоподъёмность первых:

$40\,000 \div 500 = 80$

Это означает, что грузоподъёмность современных вертолётов превышает грузоподъёмность первых в 80 раз.

2. Чтобы определить, на сколько килограммов грузоподъёмность современных вертолётов больше, необходимо из грузоподъёмности современных вертолётов вычесть грузоподъёмность первых:

$40\,000 - 500 = 39\,500 \text{ (кг)}$

Это означает, что грузоподъёмность современных вертолётов больше на 39 500 кг.

Ответ: грузоподъёмность современных вертолётов превышает грузоподъёмность первых в 80 раз и на 39 500 кг.

Расскажите, как сравнить отрезки $AB$ и $MK$ (см. рис. 1.21). Какой из отрезков длиннее?

а) б) Рис. 1.21

Как сравнить отрезки AB и MK

Чтобы сравнить два отрезка AB и MK с помощью циркуля, нужно выполнить следующие действия:

1. Взять циркуль и измерить длину первого отрезка, AB. Для этого нужно установить иглу циркуля в точку A, а ножку с грифелем — в точку B (как показано на рис. 1.21 а). Раствор (раскрытие) циркуля теперь равен длине отрезка AB.
2. Не изменяя раствор циркуля, перенести его на второй отрезок, MK. Установить иглу циркуля в точку M.
3. Посмотреть, где окажется вторая ножка циркуля (с грифелем) относительно точки K. На рис. 1.21 б) видно, что ножка с грифелем находится между точками M и K, не достигая точки K.

Это действие называется откладыванием отрезка. Мы отложили отрезок, равный AB, на луче MK от его начала.

Ответ: Чтобы сравнить отрезки, нужно с помощью циркуля измерить один из них и отложить его на втором отрезке от одного из его концов.

Какой из отрезков длиннее

На рисунке 1.21 б) показано, что при откладывании длины отрезка AB от точки M, конец отложенного отрезка не совпал с точкой K, а оказался между M и K. Это означает, что отрезок AB полностью помещается внутри отрезка MK, и при этом остается еще часть отрезка от конца отложенного AB до точки K.

Таким образом, длина отрезка AB меньше длины отрезка MK, что записывается как $AB < MK$. Следовательно, отрезок MK длиннее отрезка AB.

Ответ: Отрезок MK длиннее.