Страница 6 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Найдите на рисунке 1.2 замкнутые и незамкнутые линии.

Для ответа на этот вопрос необходимо изображение "рисунка 1.2", которое не было предоставлено. Ниже приведено общее объяснение, которое поможет вам самостоятельно найти замкнутые и незамкнутые линии на вашем рисунке.

Замкнутые линии — это такие линии, у которых начальная и конечная точки совпадают. Они образуют непрерывный замкнутый контур, не имеющий свободных концов. Если начать обводить такую линию карандашом из любой точки, то вы вернетесь в ту же самую точку. Примерами замкнутых линий являются окружность, овал, треугольник, квадрат.
Ответ: На рисунке 1.2 замкнутыми линиями будут все фигуры, которые образуют сплошной замкнутый контур.

Незамкнутые линии — это линии, у которых начальная и конечная точки не совпадают. У таких линий есть два отчетливо видимых конца. Примерами незамкнутых линий являются отрезок, дуга, спираль или любая ломаная линия, у которой концы не соединены.
Ответ: На рисунке 1.2 незамкнутыми линиями будут все линии, у которых есть два свободных конца (начало и конец не совпадают).

Какая из линий $2$ и $4$ самопересекающаяся?

Самопересекающейся линией называется такая линия, которая пересекает саму себя. Это означает, что у линии есть по крайней мере одна точка, через которую она проходит дважды, образуя петлю или узел.
Если рассмотреть предложенные линии, то линия ② является простой кривой, она не имеет точек самопересечения. Линия ④, в свою очередь, имеет точку, в которой она пересекает сама себя. Таким образом, именно линия ④ является самопересекающейся.

Ответ: линия ④.

Убедитесь, что линия $\textcircled{9}$ замкнутая и самопересекающаяся (для этого проведите по ней кончиком карандаша). Сколько у неё точек самопересечения?

Чтобы проанализировать линию ⑨, необходимо мысленно или физически провести по ней кончиком карандаша.

Во-первых, убедимся, что линия замкнутая. Если мы начнем движение из любой точки на линии и будем непрерывно следовать по ней, мы в итоге вернемся в исходную точку. Это означает, что у линии нет начала и конца, следовательно, она является замкнутой.

Во-вторых, обратим внимание на самопересечения. Проводя по линии, можно заметить, что в одном месте она пересекает саму себя. Это происходит там, где "хвостик" фигуры пересекает её основную часть. Других точек, где линия пересекала бы саму себя, нет.

Таким образом, у линии ⑨ есть одна точка самопересечения.

Ответ: 1

Чем схожи и чем различаются линии (6) и (7)?

Поскольку на изображении не показаны сами линии ⑥ и ⑦, дать однозначный ответ невозможно. Однако в учебных заданиях такого типа чаще всего предлагается сравнить ломаную и кривую линии. Проанализируем их сходства и различия на этом примере.

Чем схожи:

• И та, и другая являются линиями — то есть геометрическими фигурами.
• Обе линии имеют определенную длину, которую можно измерить.
• Обе линии могут быть как незамкнутыми (иметь начало и конец), так и замкнутыми (образовывать замкнутый контур без начала и конца).

Чем различаются:

• Одна из линий (предположим, ⑥) является ломаной. Она состоит из нескольких прямолинейных отрезков, которые называются звеньями. Точки, где звенья соединяются, называются вершинами.
• Другая линия (предположим, ⑦) является кривой. У нее нет прямых участков, она плавно меняет свое направление на всем своем протяжении.

Ответ: Сходство линий в том, что обе являются геометрическими фигурами, имеют протяженность (длину) и могут быть замкнутыми или незамкнутыми. Различие заключается в их форме: одна линия (ломаная) состоит из соединенных прямых отрезков, а вторая (кривая) — плавно изгибается, не имея прямых участков.

Опишите линии ①–⑤, используя термины, с которыми вы познакомились.

Поскольку на изображении отсутствуют сами линии, ниже приведено описание пяти основных типов линий, которые обычно изучаются в рамках данной темы.

① Эта линия является прямой. Она не изгибается и не имеет изломов. В зависимости от контекста, это может быть: прямая (бесконечна в обе стороны), луч (имеет начало, но не имеет конца) или отрезок (ограничен двумя точками). Чаще всего под таким номером изображают отрезок.

Ответ: Прямая линия (или отрезок).

② Это кривая линия. Она характеризуется плавным изменением своего направления. Данная линия, скорее всего, является незамкнутой, так как её начальная и конечная точки не совпадают.

Ответ: Незамкнутая кривая линия.

③ Это ломаная линия. Она составлена из нескольких последовательно соединенных отрезков, которые называются звеньями. Эта линия является незамкнутой, потому что ее начало и конец находятся в разных точках. Длина ломаной линии равна сумме длин всех её звеньев. Если звенья имеют длины $l_1, l_2, \dots, l_n$, то общая длина $L$ вычисляется по формуле: $L = l_1 + l_2 + \dots + l_n$.

Ответ: Незамкнутая ломаная линия.

④ Это замкнутая кривая линия. У такой линии нет начала и конца, так как они совпадают, образуя сплошной контур без углов. Эта линия ограничивает некоторую область на плоскости. Примерами могут служить окружность или овал.

Ответ: Замкнутая кривая линия.

⑤ Это замкнутая ломаная линия, более известная как многоугольник. Она состоит из отрезков (сторон), которые соединены таким образом, что образуют замкнутую фигуру. Точки соединения сторон называются вершинами. Длина такой линии называется периметром и равна сумме длин всех её сторон. Например, периметр $P$ треугольника со сторонами $a, b, c$ равен $P = a + b + c$.

Ответ: Замкнутая ломаная линия (многоугольник).

На сколько областей делит плоскость линия (3) (см. рис. 1.2)? линия (5)? линия (8)?

Поскольку изображение "рис. 1.2" недоступно, решение основано на наиболее вероятных и стандартных для таких задач типах линий.

линия ③

Предположим, что линия ③ представляет собой простую замкнутую кривую без самопересечений (например, окружность или овал). Согласно теореме Жордана, любая такая линия делит плоскость ровно на две области: внутреннюю (ограниченную) и внешнюю (неограниченную). Таким образом, плоскость делится на 2 области.

Ответ: 2

линия ⑤

Предположим, что линия ⑤ является замкнутой кривой с самопересечениями в форме пятиконечной звезды (пентаграммы), нарисованной одной линией. Чтобы найти количество областей, на которые такая линия делит плоскость, можно воспользоваться формулой Эйлера для связного плоского графа: $V - E + F = 2$, где $V$ – количество вершин (точек самопересечения), $E$ – количество рёбер (участков линии между вершинами), а $F$ – количество областей (включая внешнюю неограниченную область).

Для пятиконечной звезды:
- Количество вершин $V = 5$ (пять точек, где линия пересекает сама себя).
- Количество рёбер $E = 10$ (пять внешних отрезков, образующих лучи, и пять отрезков, образующих внутренний пятиугольник).

Подставим эти значения в формулу Эйлера:
$5 - 10 + F = 2$
$-5 + F = 2$
$F = 7$

Следовательно, линия в виде пятиконечной звезды делит плоскость на 7 областей (1 центральная, 5 "лучевых" и 1 внешняя).

Ответ: 7

линия ⑧

Предположим, что линия ⑧ представляет собой замкнутую кривую с одним самопересечением, похожую на цифру 8 или знак бесконечности ("восьмёрка"). Такая линия образует две петли, которые соприкасаются в одной точке.

Подсчитать области можно напрямую: есть две внутренние области (внутри каждой петли) и одна внешняя область, которая окружает всю фигуру. Всего получается 3 области.

Этот же результат можно получить по формуле Эйлера. Для "восьмёрки":
- Количество вершин $V = 1$ (одна точка самопересечения).
- Количество рёбер $E = 2$ (две петли).

Подставляем в формулу $V - E + F = 2$:
$1 - 2 + F = 2$
$-1 + F = 2$
$F = 3$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 3

Что представляет собой с точки зрения геометрии граница Австралии? Знаете ли вы ещё подобные государства?

С точки зрения геометрии граница Австралии представляет собой замкнутую кривую (или замкнутую линию). Это линия, которая не имеет ни начала, ни конца и полностью окружает некоторую область на плоскости (в данном случае, на поверхности Земли). Поскольку Австралия является островным континентом и не имеет сухопутных границ с другими государствами, вся её граница — это непрерывная береговая линия, отделяющая сушу от океана.

Ответ: Замкнутая кривая (линия).

Да, известны и другие подобные государства. Это все островные государства, которые не имеют сухопутных границ. Их государственная граница также является замкнутой кривой (или совокупностью нескольких замкнутых кривых, если страна расположена на архипелаге).

К таким государствам относятся, например:

• Исландия
• Мадагаскар
• Новая Зеландия
• Япония
• Куба
• Шри-Ланка
• Филиппины
• Ирландия (остров, но государство Республика Ирландия имеет сухопутную границу с Северной Ирландией)
• Великобритания (также имеет сухопутную границу с Ирландией)

Следовательно, чистыми примерами, как и Австралия, являются те, что не имеют сухопутных границ вообще.

Ответ: Да, такие государства существуют. Это островные нации без сухопутных границ, например: Исландия, Мадагаскар, Япония, Куба, Новая Зеландия.

1.1 ИЩЕМ ИНФОРМАЦИЮ

Слово «линия» встречается в различных словосочетаниях, например «линия горизонта». Найдите другие словосочетания и выражения, в которых есть слово «линия».

Слово «линия» является многозначным и входит в состав множества словосочетаний и выражений, используемых в самых разных сферах человеческой деятельности. Вот некоторые примеры, сгруппированные по областям применения.

В географии и природе:

• Береговая линия
• Линия экватора
• Линия перемены дат
• Линия прибоя
• Линия водораздела

В науке и технике:

• Телефонная линия
• Линия электропередачи (ЛЭП)
• Сборочная линия (конвейер)
• Командная линия (в программировании)
• Числовая линия (в математике)
• Силовая линия (в физике, например, магнитного поля)

В военном деле:

• Линия фронта
• Линия обороны
• Линия огня
• Демаркационная линия

В обществе, быту и спорте:

• Линия метрополитена
• Сюжетная линия
• Линия поведения
• Прямая линия (формат общения с аудиторией)
• Финишная линия
• Стартовая линия

В искусстве, моде и внешности:

• Линия жизни (в хиромантии)
• Линия талии
• Линия одежды (коллекция)
• Косметическая линия
• Линия силуэта

Во фразеологизмах и выражениях в переносном значении:

• Гнуть свою линию (настаивать на своем)
• Красная линия (граница, которую нельзя переступать)
• Генеральная линия (основное направление в деятельности)
• Линия судьбы

Ответ: Примерами словосочетаний со словом «линия» являются: линия фронта, телефонная линия, сюжетная линия, береговая линия, линия метро, линия поведения, линия жизни, линия одежды, а также устойчивые выражения, например, «гнуть свою линию».

1.2 Возьмите мяч и на его поверхности отметьте мелом две точки. Проведите через них линию. Можно ли через эти две точки провести другую линию?

Рис. 1.3

Развязка автомобильных дорог

1.2

Да, через две точки, отмеченные на поверхности мяча, можно провести другую линию. Этот ответ основан на принципах сферической геометрии, которая отличается от привычной нам геометрии на плоскости.

На плоской поверхности аксиома гласит, что через две различные точки можно провести только одну прямую. На поверхности сферы (мяча) аналогом прямой линии является кратчайшее расстояние между двумя точками, которое называется геодезической линией. Геодезические линии на сфере — это дуги так называемых больших окружностей. Большая окружность — это окружность, полученная при пересечении сферы плоскостью, которая проходит через центр сферы (например, экватор или меридианы на глобусе).

Рассмотрим ключевой случай. Если выбрать на поверхности мяча две диаметрально противоположные точки (их называют антиподами, как Северный и Южный полюсы на Земле), то через них можно провести не одну, а бесконечное множество больших окружностей. Каждая из этих окружностей будет определять кратчайший путь между этими двумя точками. Например, все меридианы на глобусе соединяют полюсы и являются геодезическими линиями.

Если же точки не являются диаметрально противоположными, то через них проходит только одна кратчайшая линия (одна дуга большой окружности). Однако вопрос не уточняет, что линия должна быть кратчайшей. Поэтому между двумя точками всегда можно провести бесконечное множество других, более длинных кривых линий.

Следовательно, в любом случае ответ на вопрос положителен.

Ответ: Да, можно. Если точки на мяче диаметрально противоположны, через них можно провести бесконечное множество кратчайших линий (дуг больших окружностей). Если же под «линией» понимать любую произвольную кривую, то другую линию можно провести между любыми двумя точками на поверхности.