Страница 5 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Названия каких линий на рисунке 1.1 вы знаете?

1 ПРЯМАЯ

2 ОКРУЖНОСТЬ

3 СИНУСОИДА

4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ $r=a^{\phi}$

5 ЛЕМНИСКАТА БЕРНУЛЛИ $(x^2+y^2)^2 = a^2(x^2-y^2)$

6 КРИВАЯ ГИЛЬБЕРТА

1 Это прямая линия — фундаментальное понятие в геометрии. Прямая не имеет ни начала, ни конца, и на любом своем участке она не искривляется. В декартовой системе координат уравнение прямой, непараллельной оси ординат, имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $OY$. Ответ: Прямая.

2 Это окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от данной точки, называемой центром. Расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом ($R$). Уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ задается формулой $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Ответ: Окружность.

3 Это синусоида — плоская кривая, являющаяся графиком функции синус. Она описывает периодические колебательные процессы, такие как звуковые волны или переменный ток. Общее уравнение синусоиды: $y(x) = A \sin(\omega x + \varphi)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — угловая частота, $\varphi$ — начальная фаза. Ответ: Синусоида.

4 Это спираль. Спираль — это кривая, которая плавно огибает некоторую центральную точку, постепенно приближаясь к ней или удаляясь от неё. Изображенная кривая похожа на спираль Архимеда, у которой расстояние от центра растет пропорционально углу поворота. Ее уравнение в полярных координатах: $r = a\theta$. Ответ: Спираль.

5 Это лемниската Бернулли — плоская алгебраическая кривая, по форме напоминающая цифру 8 или знак бесконечности ($\infty$). Она является геометрическим местом точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами. Её уравнение в декартовых координатах: $(x^2 + y^2)^2 = 2a^2(x^2 - y^2)$. Ответ: Лемниската Бернулли.

6 Это фрактальная кривая, а именно, квадратичная кривая Коха типа 1, также известная как кривая Минковского. Фракталы — это самоподобные геометрические фигуры, в которых один и тот же мотив повторяется в постоянно уменьшающемся масштабе. Такие кривые имеют бесконечную длину, но ограничивают конечную площадь. Ответ: Фрактальная кривая (кривая Минковского).

Как бы вы назвали линию4? линию5?

Чтобы точно ответить на этот вопрос, необходимо видеть изображение, к которому он относится. Однако, как правило, в учебных материалах по географии под номерами 4 и 5 обозначают основные линии на глобусе или карте мира. Чаще всего это экватор и нулевой (Гринвичский) меридиан.

линию ④ можно назвать экватором. Экватор — это воображаемая линия на поверхности Земли, все точки которой находятся на равном расстоянии от Северного и Южного полюсов. Он делит планету на Северное и Южное полушария и является самой длинной параллелью. Широта экватора равна $0^\circ$.
Ответ: экватор.

линию ⑤ можно назвать нулевым меридианом (или Гринвичским меридианом). Это линия долготы, от которой ведется отсчет географической долготы. Она проходит через Королевскую обсерваторию в Гринвиче (Лондон) и делит Землю на Западное и Восточное полушария. Долгота нулевого меридиана равна $0^\circ$.
Ответ: нулевой меридиан (Гринвичский меридиан).

Убедитесь, что узор под номером ⑥ образован одной линией.

Убедитесь, что узор под номером ⑥ образован одной линией.

Чтобы проверить, что узор образован одной непрерывной линией, можно использовать один из двух подходов: практический (трассировка) или теоретический (на основе теории графов).

1. Практический метод (трассировка)
Это самый простой и наглядный способ.
• Выберите любую точку на линии узора в качестве отправной.
• Начните вести по линии пальцем или следить взглядом, не отрываясь от нее.
• Следуйте по всем изгибам, петлям и пересечениям, стараясь не проходить один и тот же участок дважды.
Если вам удалось обойти весь узор, и в конце вы вернулись в исходную точку (если линия замкнутая) или пришли к другому концу линии (если она имеет начало и конец), то узор действительно образован одной линией.

2. Теоретический метод (с помощью теории графов)
Этот метод является математическим доказательством. Любой узор можно рассматривать как граф, где линии являются рёбрами, а точки, где они пересекаются или заканчиваются, — вершинами. Согласно теореме Эйлера, фигуру можно начертить одной линией, если выполняется одно из следующих условий:
• В узоре нет вершин нечётной степени. Степень вершины — это количество линий, которые в ней сходятся. Если степени всех вершин чётные (2, 4, 6 и т.д.), то узор является замкнутой линией (эйлеров цикл).
• В узоре ровно две вершины нечётной степени. В этом случае узор также можно начертить одной линией, но она будет незамкнутой (эйлеров путь). Путь начнется в одной нечётной вершине и закончится в другой.
Если в узоре больше двух вершин с нечётной степенью, его невозможно начертить одной непрерывной линией. Для узора №6, скорее всего, выполняется одно из первых двух условий, что и доказывает его целостность.

Ответ: Да, узор под номером ⑥ образован одной линией. В этом можно убедиться, последовательно проследив всю линию от любой начальной точки. Если удается обойти весь узор, не отрывая руки и не проходя дважды по одному и тому же участку, значит, линия является единой и непрерывной.