Страница 18 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Начертите десять отрезков с общим концом в точке $O$, равных $3$ см. Другие концы этих отрезков лежат на одной окружности. Проведите её сначала от руки, а затем с помощью циркуля.

Для выполнения данного задания необходимо понять, что все отрезки, выходящие из одной точки ($O$) и имеющие одинаковую длину (3 см), являются радиусами одной и той же окружности. Точка $O$ будет центром этой окружности, а длина отрезков — её радиусом. Построение выполняется в несколько шагов.

Построение отрезков

1. На листе бумаги отметьте точку и обозначьте её буквой $O$. Это будет центр окружности и общая точка для всех отрезков.

2. С помощью линейки проведите из точки $O$ отрезок длиной 3 см. Второй конец отрезка обозначьте, например, как $A_1$.

3. Повторите действие, проведя из той же точки $O$ еще девять отрезков длиной 3 см в разных направлениях. Их вторые концы обозначьте как $A_2, A_3, \ldots, A_{10}$.

В результате у вас будут начерчены десять отрезков ($OA_1, OA_2, \ldots, OA_{10}$), все равные 3 см и с общим началом в точке $O$.

Проведение окружности от руки

Точки $A_1, A_2, \ldots, A_{10}$ по определению лежат на окружности с центром в $O$ и радиусом $R=3$ см, так как все они удалены от точки $O$ на одинаковое расстояние.

Теперь соедините эти точки плавной, непрерывной линией. Старайтесь вести линию так, чтобы она образовывала ровный круг. Это будет окружность, начерченная от руки.

Проведение окружности с помощью циркуля

1. Возьмите циркуль и, используя линейку, установите расстояние между его иголкой и грифелем равным 3 см.

2. Установите иголку циркуля в точку $O$.

3. Не меняя раствора циркуля, аккуратно проведите замкнутую линию. Если все построения были выполнены точно, грифель циркуля пройдет через все ранее отмеченные точки $A_1, A_2, \ldots, A_{10}$.

Ответ: В результате выполненных действий построена окружность с центром в точке $O$ и радиусом 3 см. Другие концы десяти отрезков, проведенных из центра $O$, лежат на этой окружности.

Объясните, как вы понимаете выражение «окружность, вращаясь вокруг центра, скользит сама по себе».

Это выражение описывает свойство осевой или вращательной симметрии окружности. Смысл его в том, что при повороте окружности вокруг своего центра на любой угол она совмещается сама с собой.

Рассмотрим это с математической точки зрения.

Пусть у нас есть окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R$. Уравнение такой окружности: $x^2 + y^2 = R^2$.

Возьмем любую точку $A(x, y)$, лежащую на этой окружности. Ее координаты удовлетворяют уравнению, то есть $x^2 + y^2 = R^2$.

Теперь повернем эту точку вокруг центра (0, 0) на произвольный угол $\alpha$. Координаты новой точки $A'(x', y')$ можно найти по формулам поворота:

$x' = x \cos\alpha - y \sin\alpha$

$y' = x \sin\alpha + y \cos\alpha$

Чтобы понять, осталась ли новая точка $A'$ на той же самой окружности, нужно проверить, удовлетворяют ли ее координаты исходному уравнению. Подставим $x'$ и $y'$ в левую часть уравнения окружности:

$(x')^2 + (y')^2 = (x \cos\alpha - y \sin\alpha)^2 + (x \sin\alpha + y \cos\alpha)^2$

Раскроем скобки:

$= (x^2 \cos^2\alpha - 2xy \cos\alpha \sin\alpha + y^2 \sin^2\alpha) + (x^2 \sin^2\alpha + 2xy \sin\alpha \cos\alpha + y^2 \cos^2\alpha)$

Сгруппируем слагаемые:

$= x^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + y^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$= x^2(1) + y^2(1) = x^2 + y^2$

А поскольку мы знаем, что исходная точка $A(x, y)$ лежала на окружности, то $x^2 + y^2 = R^2$.

Следовательно, $(x')^2 + (y')^2 = R^2$. Это доказывает, что новая точка $A'$ также лежит на этой же окружности.

Так как мы выбрали произвольную точку и произвольный угол, это означает, что при любом повороте вокруг центра каждая точка окружности переходит в другую точку этой же окружности. В результате вся фигура (окружность) в целом остается на своем месте, то есть совмещается сама с собой. Именно этот процесс и описывается фразой «скользит сама по себе».

Ответ: Выражение означает, что окружность обладает полной вращательной симметрией: любой поворот вокруг ее центра на любой угол отображает окружность на саму себя. Каждая ее точка перемещается («скользит») по окружности, занимая положение другой точки, но сама форма и положение окружности в пространстве при этом не меняются.

Назовите диаметр окружности (см. рис. 1.31).

$d = 2r$

Рис. 1.31

По определению, диаметр окружности — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через её центр.

На рисунке 1.31 изображена окружность с центром в точке $O$. Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на окружности.

Отрезок $DB$ соединяет две точки на окружности ($D$ и $B$) и проходит через её центр (точку $O$). Следовательно, отрезок $DB$ является диаметром данной окружности.

Ответ: Диаметром окружности является отрезок $DB$.

Начертите окружность радиусом 2 см;

4 см 5 мм.

2 см

Чтобы начертить окружность с радиусом 2 см, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Возьмите циркуль и линейку.
2. С помощью линейки установите расстояние между ножкой циркуля с иглой и ножкой с грифелем равным 2 см. Это значение является радиусом ($r$) будущей окружности.
3. Выберите на листе бумаги точку и отметьте её как центр окружности (например, точка O).
4. Поместите ножку циркуля с иглой в центр O.
5. Не меняя раствора циркуля, проведите замкнутую линию, вращая циркуль.

В результате будет начерчена окружность, все точки которой удалены от центра O на 2 см. Диаметр ($d$) данной окружности можно вычислить по формуле $d = 2r$, он составит $2 \times 2 = 4$ см.

Ответ: Начерчена окружность с радиусом 2 см.

4 см 5 мм

Чтобы начертить окружность с радиусом 4 см 5 мм, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Прежде всего, переведем величину радиуса в одну единицу измерения. В одном сантиметре 10 миллиметров, поэтому $5 \text{ мм} = 0,5 \text{ см}$. Таким образом, искомый радиус $r$ равен $4 \text{ см} + 0,5 \text{ см} = 4,5 \text{ см}$.
2. Возьмите циркуль и линейку.
3. С помощью линейки установите расстояние между ножками циркуля равным 4,5 см.
4. Выберите на листе бумаги точку и отметьте её как центр окружности (например, точка O).
5. Поместите ножку циркуля с иглой в центр O.
6. Не меняя раствора циркуля, проведите замкнутую линию, вращая циркуль.

В результате будет начерчена окружность, все точки которой удалены от центра O на 4,5 см. Диаметр ($d$) данной окружности можно вычислить по формуле $d = 2r$, он составит $2 \times 4,5 = 9$ см.

Ответ: Начерчена окружность с радиусом 4 см 5 мм (что составляет 4,5 см).

Чему равен диаметр окружности, если её радиус равен 12 см; 10 дм?

Диаметр окружности ($d$) всегда в два раза больше её радиуса ($r$). Эта зависимость выражается следующей формулой:

$d = 2 \cdot r$

Чтобы решить задачу, необходимо применить эту формулу к каждому из предложенных значений радиуса.

Если радиус равен 12 см

Подставляем значение радиуса $r = 12$ см в формулу:

$d = 2 \cdot 12$ см

$d = 24$ см

Ответ: 24 см.

Если радиус равен 10 дм

Аналогично подставляем значение радиуса $r = 10$ дм в формулу:

$d = 2 \cdot 10$ дм

$d = 20$ дм

Ответ: 20 дм.

Чему равен радиус окружности, если её диаметр равен 6 см; 9 см; 12 м?

Радиус окружности ($r$) равен половине её диаметра ($d$). Эта зависимость выражается формулой:

$r = \frac{d}{2}$

Применим эту формулу для каждого из заданных значений диаметра.

Для диаметра 6 см:

Чтобы найти радиус, разделим диаметр на 2.

$r = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

Ответ: 3 см.

Для диаметра 9 см:

Чтобы найти радиус, разделим диаметр на 2.

$r = \frac{9 \text{ см}}{2} = 4,5 \text{ см}$

Ответ: 4,5 см.

Для диаметра 12 м:

Чтобы найти радиус, разделим диаметр на 2.

$r = \frac{12 \text{ м}}{2} = 6 \text{ м}$

Ответ: 6 м.