Номер 2, страница 18 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 1. Линии. 1.4. Окружность. Вопросы - номер 2, страница 18.

Условие.

Объясните, как вы понимаете выражение «окружность, вращаясь вокруг центра, скользит сама по себе».

Решение 6.

Это выражение описывает свойство осевой или вращательной симметрии окружности. Смысл его в том, что при повороте окружности вокруг своего центра на любой угол она совмещается сама с собой.

Рассмотрим это с математической точки зрения.

Пусть у нас есть окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R$. Уравнение такой окружности: $x^2 + y^2 = R^2$.

Возьмем любую точку $A(x, y)$, лежащую на этой окружности. Ее координаты удовлетворяют уравнению, то есть $x^2 + y^2 = R^2$.

Теперь повернем эту точку вокруг центра (0, 0) на произвольный угол $\alpha$. Координаты новой точки $A'(x', y')$ можно найти по формулам поворота:

$x' = x \cos\alpha - y \sin\alpha$

$y' = x \sin\alpha + y \cos\alpha$

Чтобы понять, осталась ли новая точка $A'$ на той же самой окружности, нужно проверить, удовлетворяют ли ее координаты исходному уравнению. Подставим $x'$ и $y'$ в левую часть уравнения окружности:

$(x')^2 + (y')^2 = (x \cos\alpha - y \sin\alpha)^2 + (x \sin\alpha + y \cos\alpha)^2$

Раскроем скобки:

$= (x^2 \cos^2\alpha - 2xy \cos\alpha \sin\alpha + y^2 \sin^2\alpha) + (x^2 \sin^2\alpha + 2xy \sin\alpha \cos\alpha + y^2 \cos^2\alpha)$

Сгруппируем слагаемые:

$= x^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + y^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$= x^2(1) + y^2(1) = x^2 + y^2$

А поскольку мы знаем, что исходная точка $A(x, y)$ лежала на окружности, то $x^2 + y^2 = R^2$.

Следовательно, $(x')^2 + (y')^2 = R^2$. Это доказывает, что новая точка $A'$ также лежит на этой же окружности.

Так как мы выбрали произвольную точку и произвольный угол, это означает, что при любом повороте вокруг центра каждая точка окружности переходит в другую точку этой же окружности. В результате вся фигура (окружность) в целом остается на своем месте, то есть совмещается сама с собой. Именно этот процесс и описывается фразой «скользит сама по себе».

Ответ: Выражение означает, что окружность обладает полной вращательной симметрией: любой поворот вокруг ее центра на любой угол отображает окружность на саму себя. Каждая ее точка перемещается («скользит») по окружности, занимая положение другой точки, но сама форма и положение окружности в пространстве при этом не меняются.