Номер 2, страница 18 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Вопросы. 1.4. Окружность. Глава 1. Линии - номер 2, страница 18.

Объясните, как вы понимаете выражение «окружность, вращаясь вокруг центра, скользит сама по себе».

Это выражение описывает свойство осевой или вращательной симметрии окружности. Смысл его в том, что при повороте окружности вокруг своего центра на любой угол она совмещается сама с собой.

Рассмотрим это с математической точки зрения.

Пусть у нас есть окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R$. Уравнение такой окружности: $x^2 + y^2 = R^2$.

Возьмем любую точку $A(x, y)$, лежащую на этой окружности. Ее координаты удовлетворяют уравнению, то есть $x^2 + y^2 = R^2$.

Теперь повернем эту точку вокруг центра (0, 0) на произвольный угол $\alpha$. Координаты новой точки $A'(x', y')$ можно найти по формулам поворота:

$x' = x \cos\alpha - y \sin\alpha$

$y' = x \sin\alpha + y \cos\alpha$

Чтобы понять, осталась ли новая точка $A'$ на той же самой окружности, нужно проверить, удовлетворяют ли ее координаты исходному уравнению. Подставим $x'$ и $y'$ в левую часть уравнения окружности:

$(x')^2 + (y')^2 = (x \cos\alpha - y \sin\alpha)^2 + (x \sin\alpha + y \cos\alpha)^2$

Раскроем скобки:

$= (x^2 \cos^2\alpha - 2xy \cos\alpha \sin\alpha + y^2 \sin^2\alpha) + (x^2 \sin^2\alpha + 2xy \sin\alpha \cos\alpha + y^2 \cos^2\alpha)$

Сгруппируем слагаемые:

$= x^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + y^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$= x^2(1) + y^2(1) = x^2 + y^2$

А поскольку мы знаем, что исходная точка $A(x, y)$ лежала на окружности, то $x^2 + y^2 = R^2$.

Следовательно, $(x')^2 + (y')^2 = R^2$. Это доказывает, что новая точка $A'$ также лежит на этой же окружности.

Так как мы выбрали произвольную точку и произвольный угол, это означает, что при любом повороте вокруг центра каждая точка окружности переходит в другую точку этой же окружности. В результате вся фигура (окружность) в целом остается на своем месте, то есть совмещается сама с собой. Именно этот процесс и описывается фразой «скользит сама по себе».

Ответ: Выражение означает, что окружность обладает полной вращательной симметрией: любой поворот вокруг ее центра на любой угол отображает окружность на саму себя. Каждая ее точка перемещается («скользит») по окружности, занимая положение другой точки, но сама форма и положение окружности в пространстве при этом не меняются.