Номер 1.47, страница 19 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 1.4. Окружность. Глава 1. Линии - номер 1.47, страница 19.

1.47 ИССЛЕДУЕМ

Начертите окружность. Отметьте на окружности точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Проведите отрезки $AB$, $AC$ и $AD$. Как должен проходить отрезок, соединяющий две точки окружности, чтобы он имел наибольшую длину?

Сделайте вывод: отрезок, соединяющий две точки одной окружности, имеет наибольшую длину, если ...

Исследуем

Для того чтобы определить, какой отрезок, соединяющий две точки на окружности, имеет наибольшую длину, проведем рассуждение. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Задача состоит в том, чтобы найти самую длинную из всех возможных хорд.

1. Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

2. Выберем на окружности две произвольные точки, например $A$ и $B$, и соединим их отрезком. Мы получили хорду $AB$.

3. Теперь соединим эти точки с центром окружности $O$. Образуется треугольник $\triangle AOB$, сторонами которого являются два радиуса $OA$, $OB$ и хорда $AB$.

4. Воспользуемся свойством, известным как неравенство треугольника: длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон. Применительно к нашему треугольнику это означает: $AB < OA + OB$.

5. Так как $OA$ и $OB$ — это радиусы окружности, их длины равны $R$. Подставим это значение в неравенство: $AB < R + R$, что равносильно $AB < 2R$.

6. Это неравенство показывает, что длина любой хорды, которая не проходит через центр окружности, строго меньше удвоенного радиуса ($2R$).

7. Рассмотрим теперь частный случай, когда хорда проходит через центр окружности $O$. Такая хорда называется диаметром. Пусть это хорда $CD$. Точки $C$, $O$ и $D$ лежат на одной прямой. Длина диаметра равна сумме длин двух радиусов: $CD = CO + OD = R + R = 2R$.

8. Сравнив полученные результаты, мы заключаем, что любая хорда, не являющаяся диаметром, короче диаметра. Следовательно, отрезок, соединяющий две точки окружности, имеет наибольшую возможную длину, равную $2R$, именно тогда, когда он является диаметром.

Как должен проходить отрезок, соединяющий две точки окружности, чтобы он имел наибольшую длину?

Чтобы отрезок, соединяющий две точки окружности, имел наибольшую длину, он должен проходить через центр этой окружности. Такой отрезок является диаметром окружности.

Ответ: Отрезок, соединяющий две точки окружности, должен проходить через ее центр.

Сделайте вывод: отрезок, соединяющий две точки одной окружности, имеет наибольшую длину, если ...

Ответ: ... он проходит через центр этой окружности (является ее диаметром).