Страница 19 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.46 Скопируйте рисунок 1.32 в тетрадь. Проведите ещё два диаметра окружности и обозначьте их.

1.46

Для выполнения данного задания необходимо воспроизвести рисунок окружности (предположим, с центром в точке О) и затем выполнить построение двух диаметров.

Диаметр окружности — это любой отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через её центр. Длина диаметра равна удвоенному радиусу ($d = 2r$).

Чтобы провести и обозначить два новых диаметра, следуйте шагам:

1. С помощью линейки проведите прямую линию через центр окружности О. Точки, в которых эта линия пересекает окружность, обозначьте буквами, например, C и D. Полученный отрезок CD является первым новым диаметром.
2. Аналогично проведите вторую прямую линию через центр О, но под другим углом. Точки ее пересечения с окружностью обозначьте другими буквами, например, E и F. Отрезок EF — это второй новый диаметр.

Пример выполненного задания представлен на рисунке ниже, где синим и красным цветом выделены два дополнительно проведенных диаметра CD и EF.

Таким образом, в окружность с центром О были добавлены и обозначены два новых диаметра: CD и EF.

Ответ: На рисунке выше в качестве примера проведены два новых диаметра CD и EF, которые проходят через центр окружности O и соединяют противолежащие точки на ней.

1.47 ИССЛЕДУЕМ

Начертите окружность. Отметьте на окружности точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Проведите отрезки $AB$, $AC$ и $AD$. Как должен проходить отрезок, соединяющий две точки окружности, чтобы он имел наибольшую длину?

Сделайте вывод: отрезок, соединяющий две точки одной окружности, имеет наибольшую длину, если ...

Исследуем

Для того чтобы определить, какой отрезок, соединяющий две точки на окружности, имеет наибольшую длину, проведем рассуждение. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Задача состоит в том, чтобы найти самую длинную из всех возможных хорд.

1. Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

2. Выберем на окружности две произвольные точки, например $A$ и $B$, и соединим их отрезком. Мы получили хорду $AB$.

3. Теперь соединим эти точки с центром окружности $O$. Образуется треугольник $\triangle AOB$, сторонами которого являются два радиуса $OA$, $OB$ и хорда $AB$.

4. Воспользуемся свойством, известным как неравенство треугольника: длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон. Применительно к нашему треугольнику это означает: $AB < OA + OB$.

5. Так как $OA$ и $OB$ — это радиусы окружности, их длины равны $R$. Подставим это значение в неравенство: $AB < R + R$, что равносильно $AB < 2R$.

6. Это неравенство показывает, что длина любой хорды, которая не проходит через центр окружности, строго меньше удвоенного радиуса ($2R$).

7. Рассмотрим теперь частный случай, когда хорда проходит через центр окружности $O$. Такая хорда называется диаметром. Пусть это хорда $CD$. Точки $C$, $O$ и $D$ лежат на одной прямой. Длина диаметра равна сумме длин двух радиусов: $CD = CO + OD = R + R = 2R$.

8. Сравнив полученные результаты, мы заключаем, что любая хорда, не являющаяся диаметром, короче диаметра. Следовательно, отрезок, соединяющий две точки окружности, имеет наибольшую возможную длину, равную $2R$, именно тогда, когда он является диаметром.

Как должен проходить отрезок, соединяющий две точки окружности, чтобы он имел наибольшую длину?

Чтобы отрезок, соединяющий две точки окружности, имел наибольшую длину, он должен проходить через центр этой окружности. Такой отрезок является диаметром окружности.

Ответ: Отрезок, соединяющий две точки окружности, должен проходить через ее центр.

Сделайте вывод: отрезок, соединяющий две точки одной окружности, имеет наибольшую длину, если ...

Ответ: ... он проходит через центр этой окружности (является ее диаметром).

1.48 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ

На рисунке 1.33 изображены несколько отрезков и круг. Установите на глаз, какие из отрезков можно закрыть этим кругом. Проверьте себя, воспользовавшись циркулем. Как должны быть связаны длина отрезка и диаметр круга, чтобы отрезок можно было закрыть кругом?

Установите на глаз, какие из отрезков можно закрыть этим кругом. Проверьте себя, воспользовавшись циркулем.

Поскольку рисунок 1.33 не приложен, выполнить это задание для конкретных отрезков невозможно. Однако можно описать общий подход к его решению.

Визуальная оценка: На глаз сравните длину каждого отрезка с диаметром круга (самым широким местом круга). Те отрезки, которые выглядят короче диаметра или равными ему, предположительно можно закрыть кругом.

Проверка циркулем:
1. С помощью циркуля измерьте диаметр круга. Для этого установите ножки циркуля на две противоположные точки окружности (самые удаленные друг от друга).
2. Не меняя раствора циркуля, сравните его с длиной каждого отрезка. Установите одну ножку циркуля на один конец отрезка.
3. Если вторая ножка циркуля находится на другом конце отрезка или за ним, это означает, что длина отрезка не превышает диаметр круга. Такой отрезок можно закрыть кругом. Если же вторая ножка не достает до конца отрезка, то его длина больше диаметра, и его закрыть кругом нельзя.

Ответ: Закрыть кругом можно те отрезки, длина которых не превышает диаметр этого круга.

Как должны быть связаны длина отрезка и диаметр круга, чтобы отрезок можно было закрыть кругом?

Чтобы отрезок можно было закрыть кругом, он должен полностью помещаться внутри этого круга (включая его границу).

Самое большое расстояние между двумя точками круга — это его диаметр. Диаметр является самой длинной из всех хорд (отрезков, соединяющих две точки на окружности). Следовательно, любой отрезок, который можно поместить в круг, не может быть длиннее его диаметра.

Таким образом, для того чтобы отрезок можно было закрыть кругом, его длина должна быть меньше или равна диаметру круга.

Если обозначить длину отрезка как $L$, а диаметр круга как $D$, то условие можно записать в виде неравенства:
$L \le D$

Учитывая, что диаметр равен двум радиусам ($D = 2R$), условие также можно записать как:
$L \le 2R$

Ответ: Длина отрезка должна быть меньше или равна диаметру круга.

1.49 Отметьте в тетради точку $O$. Постройте две окружности с центром в этой точке: первую – радиусом $2 \text{ см}$, вторую – радиусом $3 \text{ см}$. Закрасьте цветным карандашом область, расположенную между этими окружностями. Как бы вы назвали получившуюся фигуру?

Для выполнения этого задания необходимо последовательно выполнить несколько действий. Сначала нужно отметить в тетради точку и обозначить ее буквой $O$. Эта точка будет служить общим центром для двух окружностей.

Далее, с помощью циркуля и линейки, строим первую окружность. Для этого устанавливаем раствор циркуля на 2 см, помещаем иглу циркуля в точку $O$ и чертим окружность. Радиус этой окружности $r_1 = 2$ см.

После этого строим вторую окружность. Увеличиваем раствор циркуля до 3 см. Не меняя положения иглы циркуля (оставляя ее в точке $O$), чертим вторую окружность. Радиус этой окружности $r_2 = 3$ см. В результате мы получили две окружности с общим центром, которые называются концентрическими.

Следующий шаг — закрасить цветным карандашом область, расположенную между построенными окружностями. Эта область ограничена изнутри меньшей окружностью и снаружи — большей.

Получившаяся в итоге фигура, которая представляет собой часть плоскости, заключенную между двумя концентрическими окружностями, называется кольцом.

Ответ: получившаяся фигура называется кольцом.

1.50 Строим по алгоритму

1) Выполните построения в тетради по следующему алгоритму:

• Проведите прямую по какой-нибудь линии сетки.

• Через каждые 3 клеточки отметьте на ней 5 точек.

• Проведите окружности радиусом 4 клеточки с центрами в этих точках.

2) Раскрасьте получившийся узор таким образом, как будто вы накладываете каждый следующий круг на предыдущий.

Рис. 1.32

Рис. 1.33

Лопасть прялки

1) Выполните построения в тетради по следующему алгоритму:

Для выполнения построений следуем шагам, описанным в алгоритме.

1. Проведем прямую линию. Для удобства выберем одну из горизонтальных линий сетки в тетради.

2. Отметим на этой прямой 5 точек. Начнем с первой точки, назовем ее $O_1$. Затем, отсчитав от нее 3 клетки вправо, поставим вторую точку $O_2$. Повторим эту операцию еще 3 раза, чтобы получить точки $O_3, O_4, O_5$. Расстояние между центрами соседних окружностей составит 3 клетки.

3. Из каждой отмеченной точки, как из центра, проведем окружность. Радиус каждой окружности, согласно условию, равен $R = 4$ клетки. Для этого можно использовать циркуль, установив его раствор равным 4 клеткам.

Так как расстояние между центрами (3 клетки) меньше радиуса окружностей (4 клетки), окружности будут пересекаться. В результате получится узор из пяти последовательно пересекающихся окружностей.

Вот как будет выглядеть итоговое построение на сетке:

Ответ:

2) Раскрасьте получившийся узор таким образом, как будто вы накладываете каждый следующий круг на предыдущий.

Для раскрашивания узора представим, что круги, построенные вокруг центров $O_1, O_2, O_3, O_4, O_5$, накладываются друг на друга последовательно. Круг с центром в $O_1$ является самым нижним слоем. На него накладывается круг с центром в $O_2$, который, в свою очередь, частично перекрывается кругом с центром в $O_3$, и так далее. Самый верхний круг — с центром в $O_5$, он виден целиком.

Чтобы наглядно показать этот эффект, раскрасим каждый круг в свой цвет:

• Круг 1 (центр $O_1$) — желтый.

• Круг 2 (центр $O_2$) — зеленый. Он будет перекрывать часть желтого круга.

• Круг 3 (центр $O_3$) — синий. Он перекрывает часть зеленого круга.

• Круг 4 (центр $O_4$) — оранжевый. Он перекрывает часть синего круга.

• Круг 5 (центр $O_5$) — красный. Он лежит поверх всех и полностью виден.

Ответ: