Номер 1.26, страница 13 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 1. Линии. 1.2. Прямая. Части прямой. Ломаная. Упражнения - номер 1.26, страница 13.

Условие.

1.26 НАБЛЮДАЕМ

а) На рисунке 1.20, а показано, как можно спаять каркас куба из четырёх одинаковых кусков проволоки. А можно ли спаять каркас куба из шести одинаковых кусков проволоки?

б) Верно ли, что на рисунках 1.20, а и 1.20, б изображён один и тот же каркас?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Каркас куба состоит из 12 рёбер одинаковой длины. Пусть длина одного ребра равна $a$. Тогда общая длина всей проволоки, необходимой для создания каркаса, составляет $12a$.

Если использовать шесть одинаковых кусков проволоки, то каждый кусок должен иметь длину $12a / 6 = 2a$. Такой кусок проволоки может покрыть два ребра куба, соединённых под прямым углом в одной из вершин.

Задача сводится к тому, чтобы разбить все 12 рёбер куба на 6 пар смежных рёбер. Это возможно. Приведём один из примеров такой разбивки. Пронумеруем вершины куба, используя координаты $(x, y, z)$, где каждая координата может быть 0 или 1. Тогда 6 кусков проволоки могут быть согнуты и расположены следующим образом:

• 1-й кусок: соединяет вершины по пути $(0,1,0) \to (0,0,0) \to (0,0,1)$
• 2-й кусок: соединяет вершины по пути $(1,0,1) \to (1,1,1) \to (1,1,0)$
• 3-й кусок: соединяет вершины по пути $(1,1,0) \to (0,1,0) \to (0,1,1)$
• 4-й кусок: соединяет вершины по пути $(1,0,0) \to (1,0,1) \to (0,0,1)$
• 5-й кусок: соединяет вершины по пути $(0,0,0) \to (1,0,0) \to (1,1,0)$
• 6-й кусок: соединяет вершины по пути $(1,1,1) \to (0,1,1) \to (0,0,1)$

В этой конструкции каждое из 12 рёбер куба используется ровно один раз. Следовательно, спаять каркас куба из шести одинаковых кусков проволоки возможно.

Ответ: Да, можно.

б)

Каркас куба — это геометрический объект, который определяется своей структурой: он имеет 8 вершин и 12 рёбер, которые их соединяют определённым образом. Способ сборки каркаса (из 4, 6 или 12 кусков) или способ его изображения (в разной проекции, перспективе или в виде графа на плоскости) не меняет сам объект.

На рисунке 1.20, а показан каркас куба. Можно предположить, что на рисунке 1.20, б также изображён каркас куба, но, возможно, в другом ракурсе или в виде плоской схемы (например, диаграммы Шлегеля). Вне зависимости от способа изображения, если оба рисунка представляют собой одну и ту же трёхмерную структуру (граф куба), то на них изображён один и тот же каркас.

Ответ: Да, верно.