Номер 1.22, страница 12 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 1.2. Прямая. Части прямой. Ломаная. Глава 1. Линии - номер 1.22, страница 12.

1.22 НАБЛЮДАЕМ На рисунке 1.17 изображён куб.

1) Назовите: а) все отрезки, одним из концов кото-рых является точка $M$; б) какую-нибудь ломаную, со-стоящую из трёх отрезков; в) несколько ломаных, по-которым можно пройти из точки $A$ в точку $K$.

2) Какой путь короче: $ABKM$ или $ABCDNM$? Назовите ещё какой-нибудь путь такой же длины, что и $ABKM$, и путь такой же длины, что и $ABCDNM$.

3) Сколько кусков проволоки нужно взять, чтобы спаять из них каркас куба?

Рис. 1.17

1)

а) Точка M является одной из вершин куба. Из каждой вершины куба выходит по три ребра. Судя по рисунку, вершина M соединена рёбрами с вершинами K, C и N.

Ответ: MK, MC, MN.

б) Ломаная линия — это линия, составленная из последовательно соединённых отрезков. Чтобы составить ломаную из трёх отрезков, нужно выбрать путь, проходящий через четыре вершины. Например, путь из вершины A через B и K в M.

Ответ: ABKM (состоит из отрезков AB, BK, KM).

в) Пройти из точки А в точку K по рёбрам куба можно разными путями (ломаными). Вот несколько примеров:

• Путь из двух отрезков: A → B → K. Ломаная ABK.
• Другой путь из двух отрезков: A → L → K. Ломаная ALK.
• Более длинный путь, например, из четырёх отрезков: A → D → N → M → K. Ломаная ADNMК.

Ответ: ABK, ALK, ADNMК.

2)

Поскольку фигура является кубом, все её рёбра имеют одинаковую длину. Обозначим эту длину как $a$. Длина пути (ломаной) равна произведению количества отрезков (рёбер) в нём на длину одного ребра.

• Путь ABKM состоит из 3 отрезков (AB, BK, KM). Его длина равна $3a$.
• Путь ABCDNM состоит из 5 отрезков (AB, BC, CD, DN, NM). Его длина равна $5a$.

Сравнивая длины, получаем, что $3a < 5a$. Следовательно, путь ABKM короче.

Теперь назовём другие пути такой же длины. В качестве примера приведём пути, которые так же, как и исходные, начинаются в точке А и заканчиваются в точке M.

• Путь, состоящий из 3 отрезков (такой же длины, как ABKM): A → D → N → M. Ломаная ADNM.
• Путь, состоящий из 5 отрезков (такой же длины, как ABCDNM): A → L → K → B → C → M. Ломаная ALKBCM.

Ответ: Путь ABKM короче. Путь такой же длины, что и ABKM, — ADNM. Путь такой же длины, что и ABCDNM, — ALKBCM.

3)

Каркас куба — это модель, состоящая из его рёбер. Чтобы узнать, сколько кусков проволоки потребуется, нужно посчитать количество рёбер у куба.

Это можно сделать несколькими способами:

• У куба 8 вершин, и из каждой выходит по 3 ребра. Произведение $8 \times 3 = 24$. Поскольку каждое ребро соединяет две вершины, оно было посчитано дважды. Значит, количество рёбер равно $24 \div 2 = 12$.
• У куба 6 граней, каждая из которых — квадрат. У квадрата 4 ребра. Произведение $6 \times 4 = 24$. Поскольку каждое ребро является общим для двух смежных граней, оно также было посчитано дважды. Значит, количество рёбер равно $24 \div 2 = 12$.

Таким образом, для спайки каркаса куба нужно 12 кусков проволоки.

Ответ: 12.