Номер 1.25, страница 12 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 1.2. Прямая. Части прямой. Ломаная. Глава 1. Линии - номер 1.25, страница 12.

1.25 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Начертите две пересекающиеся прямые. Проведите третью прямую, пересекающую каждую из этих прямых и не проходящую через их точку пересечения. Сколько точек пересечения прямых у вас получилось?

2) В некотором городке всего три попарно пересекающиеся прямолинейные улицы. На каждом перекрёстке установлен светофор. Других светофоров в городе нет. Сколько всего светофоров в этом городке? Было решено проложить новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через уже имеющиеся перекрёстки. Сколько придётся установить светофоров? А если прокладка улиц в городке будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городке с десятью улицами?

Рис. 1.18

Рис. 1.19

Рис. 1.20

1)

Пусть даны две пересекающиеся прямые a и b. Они пересекаются в одной точке, назовем ее M. Проведем третью прямую c так, чтобы она пересекала прямую a и прямую b, но не проходила через точку M. Прямая c пересечет прямую a в новой точке N, а прямую b — в еще одной новой точке K. Так как прямая c не проходит через M, а прямые a и b различны, все три точки пересечения (M, N, K) будут уникальными. Таким образом, у нас получится 3 точки пересечения.
Ответ: 3 точки пересечения.

2)

Сколько всего светофоров в этом городке?
В городе 3 прямолинейные улицы, и они попарно пересекаются. Это означает, что каждая пара улиц образует один перекресток. Чтобы найти общее количество перекрестков, необходимо посчитать количество уникальных пар, которые можно составить из 3 улиц. Это классическая задача на комбинаторику — нахождение числа сочетаний из 3 элементов по 2.
Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Для нашего случая $n=3$ и $k=2$:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$.
Таким образом, в городе 3 перекрестка. Поскольку на каждом перекрестке установлен один светофор, всего в городе 3 светофора.
Ответ: 3 светофора.

Было решено проложить новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через уже имеющиеся перекрёстки. Сколько придётся установить светофоров?
В городе уже есть 3 улицы. Прокладывается новая, четвертая улица. По условию, она пересекает все 3 старые улицы. Так как все улицы — это прямые, новая улица создаст по одному новому перекрестку с каждой из трех старых улиц. Условие, что новая улица не проходит через уже существующие перекрестки, гарантирует, что все 3 новых перекрестка будут уникальными и не будут совпадать со старыми. Следовательно, в городе появится 3 новых перекрестка. На каждый из них нужно будет установить по одному светофору.
Ответ: Придётся установить 3 светофора.

А если прокладка улиц в городке будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городке с десятью улицами?
Да, можно. Условие "прокладка улиц будет продолжена таким же образом" означает, что каждая улица в городе пересекается с каждой другой улицей, и при этом никакие три улицы не пересекаются в одной точке. В этом случае общее число перекрестков (и, соответственно, светофоров) будет равно числу всех возможных пар улиц. Нам нужно найти число сочетаний из 10 улиц по 2.
Используем ту же формулу $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n=10$ и $k=2$:
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.
Таким образом, в городе с десятью улицами будет 45 перекрестков.
Ответ: В городе с десятью улицами будет 45 светофоров.