Страница 32 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.31 Сравните указанные величины.

1) Длины:

а) $980 \text{ см}$ и $10 \text{ м}$;

б) $5 \text{ км}$ и $5125 \text{ м}$;

в) $100 \text{ см}$ и $1000 \text{ мм}$;

г) $1 \text{ м } 7 \text{ см}$ и $169 \text{ см}$;

д) $8 \text{ км}$ и $7 \text{ км } 900 \text{ м}$;

е) $4 \text{ км } 300 \text{ м}$ и $4300 \text{ м}$.

2) Массы:

а) $25 \text{ т}$ и $19570 \text{ кг}$;

б) $7 \text{ ц}$ и $712 \text{ кг}$;

в) $3 \text{ т } 2 \text{ ц}$ и $3200 \text{ кг}$;

г) $2 \text{ кг}$ и $1950 \text{ г}$;

д) $2 \text{ т}$ и $50 \text{ ц}$;

е) $7 \text{ кг } 250 \text{ г}$ и $7025 \text{ г}$.

3) Промежутки времени:

а) $7 \text{ ч}$ и $700 \text{ мин}$;

б) $300 \text{ мин}$ и $5 \text{ ч}$;

в) $270 \text{ с}$ и $4 \text{ мин } 20 \text{ с}$;

г) $3 \text{ ч } 15 \text{ мин}$ и $195 \text{ мин}$.

1) Длины:

а) Сравним 980 см и 10 м. Для этого переведем метры в сантиметры. В одном метре 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Тогда $10 \text{ м} = 10 \cdot 100 \text{ см} = 1000 \text{ см}$.
Сравниваем 980 см и 1000 см. Так как $980 < 1000$, то $980 \text{ см} < 10 \text{ м}$.
Ответ: $980 \text{ см} < 10 \text{ м}$.

б) Сравним 5 км и 5125 м. Переведем километры в метры. В одном километре 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Тогда $5 \text{ км} = 5 \cdot 1000 \text{ м} = 5000 \text{ м}$.
Сравниваем 5000 м и 5125 м. Так как $5000 < 5125$, то $5 \text{ км} < 5125 \text{ м}$.
Ответ: $5 \text{ км} < 5125 \text{ м}$.

в) Сравним 100 см и 1000 мм. Переведем сантиметры в миллиметры. В одном сантиметре 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Тогда $100 \text{ см} = 100 \cdot 10 \text{ мм} = 1000 \text{ мм}$.
Сравниваем 1000 мм и 1000 мм. Величины равны: $1000 = 1000$.
Ответ: $100 \text{ см} = 1000 \text{ мм}$.

г) Сравним 1 м 7 см и 169 см. Переведем 1 м 7 см в сантиметры. $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Тогда $1 \text{ м } 7 \text{ см} = 100 \text{ см} + 7 \text{ см} = 107 \text{ см}$.
Сравниваем 107 см и 169 см. Так как $107 < 169$, то $1 \text{ м } 7 \text{ см} < 169 \text{ см}$.
Ответ: $1 \text{ м } 7 \text{ см} < 169 \text{ см}$.

д) Сравним 8 км и 7 км 900 м. Переведем обе величины в метры. $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
$8 \text{ км} = 8 \cdot 1000 \text{ м} = 8000 \text{ м}$.
$7 \text{ км } 900 \text{ м} = 7 \cdot 1000 \text{ м} + 900 \text{ м} = 7000 \text{ м} + 900 \text{ м} = 7900 \text{ м}$.
Сравниваем 8000 м и 7900 м. Так как $8000 > 7900$, то $8 \text{ км} > 7 \text{ км } 900 \text{ м}$.
Ответ: $8 \text{ км} > 7 \text{ км } 900 \text{ м}$.

е) Сравним 4 км 300 м и 4300 м. Переведем 4 км 300 м в метры. $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Тогда $4 \text{ км } 300 \text{ м} = 4 \cdot 1000 \text{ м} + 300 \text{ м} = 4000 \text{ м} + 300 \text{ м} = 4300 \text{ м}$.
Сравниваем 4300 м и 4300 м. Величины равны: $4300 = 4300$.
Ответ: $4 \text{ км } 300 \text{ м} = 4300 \text{ м}$.

2) Массы:

а) Сравним 25 т и 19 570 кг. Переведем тонны в килограммы. В одной тонне 1000 килограммов: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.
Тогда $25 \text{ т} = 25 \cdot 1000 \text{ кг} = 25000 \text{ кг}$.
Сравниваем 25000 кг и 19570 кг. Так как $25000 > 19570$, то $25 \text{ т} > 19570 \text{ кг}$.
Ответ: $25 \text{ т} > 19570 \text{ кг}$.

б) Сравним 7 ц и 712 кг. Переведем центнеры в килограммы. В одном центнере 100 килограммов: $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
Тогда $7 \text{ ц} = 7 \cdot 100 \text{ кг} = 700 \text{ кг}$.
Сравниваем 700 кг и 712 кг. Так как $700 < 712$, то $7 \text{ ц} < 712 \text{ кг}$.
Ответ: $7 \text{ ц} < 712 \text{ кг}$.

в) Сравним 3 т 2 ц и 3200 кг. Переведем 3 т 2 ц в килограммы. $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$, $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
Тогда $3 \text{ т } 2 \text{ ц} = 3 \cdot 1000 \text{ кг} + 2 \cdot 100 \text{ кг} = 3000 \text{ кг} + 200 \text{ кг} = 3200 \text{ кг}$.
Сравниваем 3200 кг и 3200 кг. Величины равны: $3200 = 3200$.
Ответ: $3 \text{ т } 2 \text{ ц} = 3200 \text{ кг}$.

г) Сравним 2 кг и 1950 г. Переведем килограммы в граммы. В одном килограмме 1000 граммов: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.
Тогда $2 \text{ кг} = 2 \cdot 1000 \text{ г} = 2000 \text{ г}$.
Сравниваем 2000 г и 1950 г. Так как $2000 > 1950$, то $2 \text{ кг} > 1950 \text{ г}$.
Ответ: $2 \text{ кг} > 1950 \text{ г}$.

д) Сравним 2 т и 50 ц. Переведем тонны в центнеры. В одной тонне 10 центнеров: $1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$.
Тогда $2 \text{ т} = 2 \cdot 10 \text{ ц} = 20 \text{ ц}$.
Сравниваем 20 ц и 50 ц. Так как $20 < 50$, то $2 \text{ т} < 50 \text{ ц}$.
Ответ: $2 \text{ т} < 50 \text{ ц}$.

е) Сравним 7 кг 250 г и 7025 г. Переведем 7 кг 250 г в граммы. $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.
Тогда $7 \text{ кг } 250 \text{ г} = 7 \cdot 1000 \text{ г} + 250 \text{ г} = 7000 \text{ г} + 250 \text{ г} = 7250 \text{ г}$.
Сравниваем 7250 г и 7025 г. Так как $7250 > 7025$, то $7 \text{ кг } 250 \text{ г} > 7025 \text{ г}$.
Ответ: $7 \text{ кг } 250 \text{ г} > 7025 \text{ г}$.

3) Промежутки времени:

а) Сравним 7 ч и 700 мин. Переведем часы в минуты. В одном часе 60 минут: $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.
Тогда $7 \text{ ч} = 7 \cdot 60 \text{ мин} = 420 \text{ мин}$.
Сравниваем 420 мин и 700 мин. Так как $420 < 700$, то $7 \text{ ч} < 700 \text{ мин}$.
Ответ: $7 \text{ ч} < 700 \text{ мин}$.

б) Сравним 300 мин и 5 ч. Переведем часы в минуты. $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.
Тогда $5 \text{ ч} = 5 \cdot 60 \text{ мин} = 300 \text{ мин}$.
Сравниваем 300 мин и 300 мин. Величины равны: $300 = 300$.
Ответ: $300 \text{ мин} = 5 \text{ ч}$.

в) Сравним 270 с и 4 мин 20 с. Переведем 4 мин 20 с в секунды. В одной минуте 60 секунд: $1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$.
Тогда $4 \text{ мин } 20 \text{ с} = 4 \cdot 60 \text{ с} + 20 \text{ с} = 240 \text{ с} + 20 \text{ с} = 260 \text{ с}$.
Сравниваем 270 с и 260 с. Так как $270 > 260$, то $270 \text{ с} > 4 \text{ мин } 20 \text{ с}$.
Ответ: $270 \text{ с} > 4 \text{ мин } 20 \text{ с}$.

г) Сравним 3 ч 15 мин и 195 мин. Переведем 3 ч 15 мин в минуты. $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.
Тогда $3 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 3 \cdot 60 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 180 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 195 \text{ мин}$.
Сравниваем 195 мин и 195 мин. Величины равны: $195 = 195$.
Ответ: $3 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 195 \text{ мин}$.

2.32 Сколько чисел содержится в указанном отрезке натурального ряда:

а) от 10 до 100 включительно;

б) от 100 до 1000 включительно;

в) от 500 до 2000 включительно?

Для нахождения количества натуральных чисел в отрезке от $a$ до $b$ включительно, используется общая формула:

$N = b - a + 1$

где $N$ — искомое количество чисел, $a$ — начальное число отрезка, $b$ — конечное число отрезка.

Применим эту формулу к каждому из указанных отрезков.

а) от 10 до 100 включительно;

В данном случае $a = 10$, $b = 100$.

Подставляем значения в формулу:

$N = 100 - 10 + 1 = 90 + 1 = 91$

Таким образом, в отрезке от 10 до 100 включительно содержится 91 число.

Ответ: 91

б) от 100 до 1000 включительно;

Здесь $a = 100$, $b = 1000$.

Вычисляем по формуле:

$N = 1000 - 100 + 1 = 900 + 1 = 901$

Следовательно, в отрезке от 100 до 1000 включительно содержится 901 число.

Ответ: 901

в) от 500 до 2000 включительно?

В этом случае $a = 500$, $b = 2000$.

Проводим расчет:

$N = 2000 - 500 + 1 = 1500 + 1 = 1501$

Значит, в отрезке от 500 до 2000 включительно содержится 1501 число.

Ответ: 1501

РАССУЖДАЕМ (2.33–2.35)

2.33 Можно ли сравнить числа, в которых некоторые цифры заменены звёздочкой:

а) 18*** и 20***;

б) 3***4 и 3***7;

в) 9*4*4 и 8*4*4;

г) **11 и *1111;

д) *071 и 6*4;

е) ***9 и 1***9?

а) 18*** и 20***

Оба числа являются пятизначными. При сравнении чисел с одинаковым количеством разрядов их сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда (слева). В разряде десятков тысяч у первого числа стоит цифра 1, а у второго — 2. Поскольку $1 < 2$, второе число всегда будет больше первого, независимо от того, какие цифры заменяют звёздочки. Наибольшее возможное значение первого числа — 18999, а наименьшее возможное значение второго — 20000. Так как $18999 < 20000$, сравнение возможно однозначно.

Ответ: Да, можно. $18*** < 20***$.

б) 3***4 и 3***7

Оба числа — пятизначные, и их первые цифры совпадают. Результат сравнения зависит от цифр, скрытых за звёздочками. Если неизвестные цифры в первом числе образуют большее число, чем во втором, то и первое число будет больше. Например, $39994 > 30007$. Однако возможна и обратная ситуация: $30004 < 39997$. Так как результат сравнения неоднозначен, выполнить его нельзя.

Ответ: Нет, нельзя.

в) 9*4*4 и 8*4*4

Оба числа являются пятизначными. Сравниваем цифры в старшем разряде (разряде десятков тысяч). У первого числа это 9, а у второго — 8. Поскольку $9 > 8$, первое число всегда будет больше второго, независимо от значений, скрытых за звёздочками. Наименьшее возможное значение первого числа (90404) больше наибольшего возможного значения второго числа (89494).

Ответ: Да, можно. $9*4*4 > 8*4*4$.

г) **111 и *1111

Оба числа — пятизначные (первая звёздочка не может быть нулём). Результат сравнения зависит от неизвестных цифр в старших разрядах. Например, если взять числа $20111$ и $11111$, то $20111 > 11111$. А если взять числа $10111$ и $21111$, то $10111 < 21111$. Поскольку результат сравнения может быть разным, однозначно сравнить числа нельзя.

Ответ: Нет, нельзя.

д) *071 и 6*4

Первое число `*071` — четырёхзначное, так как первая цифра не может быть нулём. Наименьшее возможное значение этого числа — 1071. Второе число `6*4` — трёхзначное. Наибольшее возможное значение этого числа — 694. Любое четырёхзначное число всегда больше любого трёхзначного числа.

Ответ: Да, можно. $*071 > 6*4$.

е) **9 и 1***9

Первое число `**9` — трёхзначное (первая цифра не может быть нулём). Его наибольшее возможное значение — 999. Второе число `1***9` — пятизначное. Его наименьшее возможное значение — 10009. Любое пятизначное число всегда больше любого трёхзначного числа.

Ответ: Да, можно. $**9 < 1***9$.

2.34 Напишите какое-нибудь пятизначное число, которое меньше 10 101 и оканчивается цифрой 7. Сколько таких чисел можно записать?

Напишите какое-нибудь пятизначное число, которое меньше 10 101 и оканчивается цифрой 7.

Нужно найти пятизначное число $N$, которое удовлетворяет условиям: $N < 10 101$ и последняя цифра $N$ равна 7.
Наименьшее пятизначное число — 10 000.
Ближайшее к нему число, оканчивающееся на 7, — это 10 007.
Проверим, подходит ли оно:
• Это пятизначное число.
• Оно меньше 10 101 ($10 007 < 10 101$).
• Оно оканчивается на 7.
Все условия выполняются. В качестве примера можно взять это число.
Ответ: 10 007.

Сколько таких чисел можно записать?

Теперь найдем общее количество таких чисел.
Искомое число $N$ должно удовлетворять трем условиям:
1. $N$ — пятизначное, то есть $N \ge 10 000$.
2. $N$ меньше 10 101, то есть $N < 10 101$.
3. $N$ оканчивается на 7. Это значит, что число можно представить в виде $N = 10k + 7$ для некоторого целого числа $k$.

Объединим условия 1 и 2 в одно двойное неравенство:
$10 000 \le N < 10 101$

Теперь подставим в это неравенство выражение для $N$ из условия 3:
$10 000 \le 10k + 7 < 10 101$

Чтобы найти возможные значения $k$, решим это неравенство. Сначала вычтем 7 из всех его частей:
$10 000 - 7 \le 10k < 10 101 - 7$
$9993 \le 10k < 10094$

Теперь разделим все части на 10:
$999.3 \le k < 1009.4$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, то оно может принимать значения от 1000 до 1009 включительно.
Найдем количество таких целых чисел:
Количество = (Последнее значение) - (Первое значение) + 1
Количество = $1009 - 1000 + 1 = 10$.

Таким образом, существует ровно 10 целых значений для $k$, а значит, и 10 чисел, удовлетворяющих заданным условиям.
Ответ: 10.

2.35 Запишите:

а) самое маленькое трёхзначное число, в котором все цифры разные;

б) самое большое четырёхзначное число, в котором все цифры разные;

в) самое большое трёхзначное число, в записи которого нет цифры 9 и все цифры разные;

г) самое маленькое пятизначное число, в записи которого два нуля, а остальные цифры разные.

а) Чтобы найти самое маленькое трёхзначное число, в котором все цифры разные, необходимо в разряд сотен поставить наименьшую возможную цифру, отличную от нуля. Это цифра 1. В разряд десятков ставим наименьшую из оставшихся цифр — 0. В разряд единиц ставим следующую по возрастанию цифру, которую мы ещё не использовали, — 2. Таким образом, получаем число 102.
Ответ: 102.

б) Чтобы найти самое большое четырёхзначное число с разными цифрами, нужно заполнить разряды, начиная со старшего, самыми большими цифрами в порядке убывания. В разряд тысяч ставим 9. В разряд сотен — 8. В разряд десятков — 7. В разряд единиц — 6. Получается число 9876.
Ответ: 9876.

в) Чтобы найти самое большое трёхзначное число, в записи которого нет цифры 9 и все цифры разные, действуем аналогично предыдущему пункту. Поскольку цифру 9 использовать нельзя, самой большой доступной цифрой является 8. Ставим её в разряд сотен. В разряд десятков ставим следующую по величине из оставшихся — 7. В разряд единиц — 6. Получается число 876.
Ответ: 876.

г) Чтобы найти самое маленькое пятизначное число, в котором два нуля, а остальные цифры разные, нужно рассуждать следующим образом. В старший разряд (десятки тысяч) ставим наименьшую цифру, не равную нулю, — это 1. Чтобы число было наименьшим, два нуля должны занимать следующие по старшинству разряды — тысяч и сотен. Оставшиеся разряды (десятки и единицы) нужно заполнить наименьшими из неиспользованных цифр в порядке возрастания. Мы уже использовали 1 и 0. Следующие наименьшие цифры — 2 и 3. Ставим 2 в разряд десятков и 3 в разряд единиц. Получается число 10023.
Ответ: 10023.

2.36 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Чтобы ступеньки были удобными и безопасными, они должны удовлетворять следующим двум требованиям (рис. 2.3):

• Высота ступеньки должна быть больше 170 мм и меньше 190 мм. ($170 < h < 190$)

• Сумма глубины и удвоенной высоты должна быть больше 590 мм и меньше 640 мм. ($590 < d + 2h < 640$)

Рис. 2.3

1) Какие из ступенек (см. таблицу) соответствуют этим требованиям?

Ступенька | Высота, мм | Глубина, мм

1 | 200 | 220

2 | 180 | 250

3 | 185 | 280

Подсказка. Чтобы проверить соответствие второму требованию, составьте неравенства и проверьте, верны ли они.

2) Выполните необходимые измерения и проверьте, удовлетворяют ли этим требованиям ступеньки лестниц в школе, в вашем доме.

3) Представьте, что вы работаете в фирме, занимающейся производством и установкой деревянных лестниц. Вам необходимо сделать проект лестницы на второй этаж дачного дома, причём высота лестницы 270 см, планируемая высота ступеньки 180 мм. Сколько ступенек получится? В каких пределах может находиться глубина ступеньки, чтобы удовлетворять второму требованию?

1)

Для того чтобы ступенька соответствовала требованиям, она должна удовлетворять двум условиям одновременно.

Условие 1 (высота, $h$): $170 \text{ мм} < h < 190 \text{ мм}$.

Условие 2 (формула удобства): $590 \text{ мм} < d + 2h < 640 \text{ мм}$, где $d$ — глубина ступеньки.

Проверим каждую ступеньку из таблицы:

• Ступенька 1: Высота $h = 200$ мм, глубина $d = 220$ мм.

  Проверка условия 1: $170 < 200 < 190$. Неравенство неверно, так как $200 > 190$. Ступенька не соответствует требованиям.

• Ступенька 2: Высота $h = 180$ мм, глубина $d = 250$ мм.

  Проверка условия 1: $170 < 180 < 190$. Неравенство верно.

  Проверка условия 2: Вычисляем $d + 2h = 250 + 2 \cdot 180 = 250 + 360 = 610$ мм. Проверяем неравенство $590 < 610 < 640$. Неравенство верно. Ступенька соответствует обоим требованиям.

• Ступенька 3: Высота $h = 185$ мм, глубина $d = 280$ мм.

  Проверка условия 1: $170 < 185 < 190$. Неравенство верно.

  Проверка условия 2: Вычисляем $d + 2h = 280 + 2 \cdot 185 = 280 + 370 = 650$ мм. Проверяем неравенство $590 < 650 < 640$. Неравенство неверно, так как $650 > 640$. Ступенька не соответствует требованиям.

Таким образом, только ступенька 2 удовлетворяет заданным требованиям.

Ответ: Ступенька 2.

2)

Это практическое задание, которое требует реальных измерений. Для его выполнения необходимо с помощью рулетки или линейки измерить высоту ($h$) и глубину ($d$) одной из ступенек лестницы в указанном месте (школе или доме). После получения замеров нужно подставить их в два неравенства, указанных в условии:

1. Проверить, выполняется ли условие $170 \text{ мм} < h < 190 \text{ мм}$.
2. Вычислить значение выражения $d + 2h$ и проверить, выполняется ли условие $590 \text{ мм} < d + 2h < 640 \text{ мм}$.

Если оба неравенства верны, то ступеньки удовлетворяют требованиям.

Ответ: Для ответа на этот вопрос необходимо провести реальные измерения.

3)

Сначала определим, сколько ступенек получится. Для этого переведем общую высоту лестницы в миллиметры и разделим на высоту одной ступеньки.

Общая высота лестницы: $270 \text{ см} = 2700 \text{ мм}$.

Высота одной ступеньки: $h = 180 \text{ мм}$.

Количество ступенек: $N = \frac{2700 \text{ мм}}{180 \text{ мм}} = 15$.

Теперь определим, в каких пределах может находиться глубина ступеньки ($d$), чтобы удовлетворять второму требованию: $590 < d + 2h < 640$.

Подставим известную высоту $h = 180$ мм в неравенство:

$590 < d + 2 \cdot 180 < 640$

$590 < d + 360 < 640$

Чтобы найти пределы для $d$, вычтем 360 из всех частей двойного неравенства:

$590 - 360 < d < 640 - 360$

$230 < d < 280$

Таким образом, глубина ступеньки должна быть больше 230 мм и меньше 280 мм.

Ответ: Получится 15 ступенек. Глубина ступеньки может находиться в пределах от 230 мм до 280 мм.